【正文】 段是原線段與較小的線段的比例中項(xiàng)，叫做把這條線段黃金分割。說明：把一條線段黃金分割的點(diǎn)，叫做這條線段的黃金分割點(diǎn)，在線段AB上截取這條線段的51倍得到點(diǎn)C，則點(diǎn)C就是AB的黃金分割點(diǎn)。2二、平行線分線段成比例平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。格式：如果直線L1∥L2∥L3，AB＝ BC，那么：A1B1＝B1C1，如圖4－l 說明：由此定理可知推論1和推論2推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線必平分另一腰。格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，EF∥AD，那么DF=FC推論2：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊。格式，如果△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，DE∥BC，那么AE＝EC，如圖4—3平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。說明：平行線等分線段定理是平行線分線段成比問定理的特殊情況。本資料由中小學(xué)教學(xué)資源網(wǎng)【】整理提供！中小學(xué)教學(xué)資源網(wǎng)【】天天更新全部精品3．平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。說明1：平行線分線段成比例定理可用形象的語言來表達(dá)。如圖4—4說明2：圖4－4的三種圖形中這些成比例線段的位置關(guān)系依然存在。三角形一邊的平行線的判定定理。如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。三角形一邊的平行線的判定定理：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例。線段的內(nèi)分點(diǎn)：在一條線段上的一個(gè)點(diǎn)，將線段分成兩條線段，這個(gè)點(diǎn)叫做這條線段的內(nèi)分點(diǎn)。線段的外分點(diǎn)：在一條線段的延長線上的點(diǎn)，有時(shí)也叫做這條線段的外分點(diǎn)。說明：外分點(diǎn)分線段所得的兩條線段，也就是這個(gè)點(diǎn)分別和線段的兩個(gè)端點(diǎn)確定的線段。三、相似三角形相似三角形：兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。說明：證兩個(gè)三角形相似時(shí)和證兩個(gè)三角形全等一樣，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，這樣便于找出相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比k，叫做相似比（或叫做相似系數(shù)）。相似三角形的基本定理：平分于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。本資料由中小學(xué)教學(xué)資源網(wǎng)【】整理提供！中小學(xué)教學(xué)資源網(wǎng)【】天天更新全部精品說明：這個(gè)定理反映了相似三角形的存在性，所以有的書把它叫做相似三角形的存在定理，它是證明三角形相似的判定定理的理論基礎(chǔ)。三角形相似的判定定理：（1）判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么就兩個(gè)三角形相似?？珊唵握f成：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。（2）判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡單說成：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。（3）判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡單說成：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。（4）直角三角形相似的判定定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。說明：以上四個(gè)判定定理不難證明，以下判定三角形相似的命題是正確的，在解題時(shí)，也可以用它們來判定兩個(gè)三角形的相似。第一：頂角（或底角）相等的兩個(gè)等腰三角形相似。第二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。第三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。第四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。第五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形．相似。相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形性質(zhì)1：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。（2）相似三角形性質(zhì)2：相似三角形周長的比等于相似比。說明：以上兩個(gè)性質(zhì)簡單記為：相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比。（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。說明：兩個(gè)三角形相似，根據(jù)定義可知它們具有對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例這個(gè)性質(zhì)。介紹有特點(diǎn)的兩個(gè)三角形（1）共邊三角形指有一條公共邊的兩個(gè)三角形叫做共邊三角形。（2）共角三角形有一個(gè)角相等或互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫做共角三角形，如圖4－6本資料由中小學(xué)教學(xué)資源網(wǎng)【】整理提供！中小學(xué)教學(xué)資源網(wǎng)【】天天更新全部精品（3）公邊共角有一個(gè)公共角，而且還有一條公共邊的兩個(gè)三角形叫做公邊共角三角形。說明：具有公邊共角的兩個(gè)三角形相似，則公邊的平方等于疊在一條直線上的兩邊的乘積：如圖4—7若△ACD∽△ABC，則AC2＝ADAB 例題：abbca+b=,=.求:已知：2354分析：已知等比條件時(shí)常有以下幾種求值方法：(1)設(shè)比值為k。(2)比例的基本性質(zhì)；(3)方程的思想，=及=2354，解：由得a:b=2:3,b:c=5:4,即a:b:c=10:15:=10k,b=15k,c=12k, 則(a+b):(b－c)=25: 已知：如圖5－126(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線交于O點(diǎn)，過O作EF∥BC，112+=EF。(3)若MN為梯形中位線，分別交AB，DC于E，：(1)OE=OF。(2)ADBC求證AF∥：(1)=dd,a=c(或b=d或a=b)，則b=d(或a=c或c=d)； ①若ab=a,則a=b(只適用于線段，對(duì)實(shí)數(shù)不成立)； ②若daca39。c39。==39。39。dddd,a=a′,b=b′,c=c′,則d=d′.③若,(2)+=+=ADBCEFabc”類型后：(3)證明時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為“cc+=1①化為ab直接求出各比值，或可用中間比求出各比值再相加，證明比值的和為1；本資料由中小學(xué)教學(xué)資源網(wǎng)【】整理提供！中小學(xué)教學(xué)資源網(wǎng)【】天天更新全部精品②直接通分或移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為證明四條線段成比例.(4)可用分析法證明第(3)題，CD交于S，AF∥MC∴ AF∥MC成立.(5)，分別交AB，BD，AC，CD于E，O1，O2，F(xiàn)，如圖5－126(b),O1F 與O2F是否相等?為什么?(6)其它常用的推廣問題的方法有：類比、從特殊到一般等例3 已知：如圖5－127，在ΔABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，DE⊥AC于E，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，BE交AD于N，：AF⊥：(1)分解基本圖形探求解題思路.(2)總結(jié)利用相似三角形的性質(zhì)證明兩角相等，進(jìn)一步證明兩直線位置關(guān)系(平行、垂直等)ADDE=的方法，利用ΔADE∽ΔDCE得到DCCFADDF=BCCE,結(jié)合∠3=∠C,得到ΔBEC∽ΔAFD，因此∠1=∠ 結(jié)合中點(diǎn)定義得到得到AF⊥BE.(3)總結(jié)證明四條線段成比例的常用方法：①比例的定義；②平行線分線段成比例定理；③三角形相似的預(yù)備定理；④直接利用相似三角形的性質(zhì)；⑤利用中間比等量代換；⑥利用面【】整理提供！中小學(xué)教學(xué)資源網(wǎng)【】天天更新全部精品例4 已知：如圖5－128，RtΔABC中，∠ACB=90176。，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥：(1)CD3=AAEBFAB；(2)BC2：AC2=CE:EA。(3)BC3:AC3=BF:：掌握基本圖形“RtΔABC，∠C=90176。，CD⊥AB于D”①勾股定理：AC+BC=AB.②面積公式：ACBC=AB③三個(gè)比例中項(xiàng)：AC=ADAB,BC=BDBA,CD=DA=2BD ⑤BC證明：第(1)題： 2∵ CD=ADBD, 422∴ CD=ADBD=(AEAC)(BFBC)=(AEBF)(ACBC)=(AEBF)(ABCD).第(2)題： 2BC2BDBABDBDDFCE====2ADEAAE,命題得ADABADAC ∵,利用ΔBDF∽ΔDAE，(3)題：BC2BDABBD==2ADABAD, AC∵BC4BD2BFBCBC3BF===423AEAC,∴ACAE AD ∴AC本資料由中小學(xué)教學(xué)資源網(wǎng)【】整理提供！