概率論與隨機過程ppt課件-資料下載頁
2025-05-01 02:28本頁面
【正文】 2)分別求 U,V的概率密度 ,(3)討論 U,V的獨立性 . 解 : 首先 (X,Y)的概率密度為 ? ???? ??? ??其它00,0),( yxeyxf yx 記 A={(x,y)|x0,y0},顯然有 P{(X,Y)∈A}=1, 對變換 (Δ): , 當 (x,y) ∈A 時 ,(u,v)的值域為 :G={(u,v)|u0,v0} ????????yxvyxu 且此變換滿足定理中的條件 (i)(ii)(iii)變換 (Δ) 解得 ?????????vuyvuvx11所以 ? ?? ?? ?? ?? ? 222111111,vuvuvvuvvvyuyvxuxvuyx???????????????????? 由定理得 (U,V)的聯(lián)合密度為 ? ? ? ?????? ?????其它00,01, 2vuvuevuu?(2)可由 (U,V)的聯(lián)合密度求出 U,V的概率密度 fU(u),fV(v) ? ?????? ???????? ???????其它001),()( 0 2ueudvvuedvvuufuuU ?? ? ? ?????? ?????? ???? ?????其它00111),()( 0 22vvduvueduvuvfuV ?(3)容易看出 ,對于任意 u,v有 , 所以 U,V相互獨立 . ? ? )()(, vfufvu VU??例 2: 設 X,Y相互獨立 ,服從同一分布 N(0,1)而 ,(R,Θ) 是平面上隨機點 (X,Y)相應的極經(jīng) ,極角 ,即有關系 ???????s inc o sRYRX求 (R,Θ) 的聯(lián)合密度 . 解 :記 A={(x,y)|(x,y)≠0},G={(r,θ)|r0,0≤θ2π}, 顯然有 P{(X,Y)∈A}=1 且變換 滿足定理 的條件 ,并且 ??? ?? ??s inc o sry rx? ?? ? rrrryx ?????????? c o ss i ns i nc o s,由定理得 (R,Θ) 的聯(lián)合密度為 ? ? ? ??????????其它0,21,22Grrerr????順便我們看出 R,Θ 的概率密度分別為 。00)( 22????????其它rerrfrR ????? ????其它02021)( ???rf并且 R與 Θ 是相互獨立的。 注釋 在求 Z=g(X,Y)的概率密度時 ,可以再找一個 X與 Y 的函數(shù) W=h(X,Y)使得對變換 滿足定理的 條件 ,利用定理的結(jié)論就可以求出（ Z,W）的聯(lián)合密 度，再由聯(lián)合密度便可求出 Z的概率密度。 可以用此方法導出 X+Y， X/Y， XY， XY等簡單函 數(shù)的概率密度的一般公式。要求是重點掌握在獨立 性條件下求幾個簡單函數(shù) X+Y， Min(X,Y)， Max(X,Y) 的分布。 ?????),(),(yxhwyxgz 小結(jié) 本章以二維隨機變量為主，討論了多維隨機變量的 (1)聯(lián)合分布 (2)邊緣分布 (3)X,Y的獨立性 (4)條件分布 (5) 二維隨機變量函數(shù)的分布。 對于多維隨機變量不難推廣，請同學自學 關于正態(tài)分布的一些結(jié)論： 1．若 X?N(181。,σ 2)，則 。)1,0(~* NXX????2．若 X?N(181。,σ 2)，則 ? ? 。),(~ 212121 ?? kkkNkXkY ???3．若 Xi服從二維正態(tài)分布 N(181。i,σ i2), Xi相互獨立， i=1,2,… ,n. 則 ),(~1211??????? niiniinii XNXZ ?4． (X,Y)服從二維正態(tài)分布， ρ=0 ? X與 Y相互獨立（ ?X與 Y不相關）； 5． (X,Y)服從二維正態(tài)分布 ? X,Y也服從正態(tài)分布； (X,Y)服從二維正態(tài)分布 ?其條件分布也是正態(tài)分布 。 6．若 X,Y為正態(tài)同分布且相互獨立 ? 服從瑞利分布； 22 YXZ ?? 若 X,Y為正態(tài)同分布且相互獨立 ?Z=X/Y服從柯西分布； 7．數(shù)字特征：見下章。
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