隨機(jī)過程與排隊論ppt課件-資料下載頁
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【正文】 Y),m(Yc o v ()n,m(C Y ??}kk)n(Y)n(Y,0k)0(Y)n(Y{P 121211nn 21 ????????)kk()nn(kkkk nnknkkn 121212121211111 qpCqpC????????222121211knkkk nnkn qpCC ????))k(X,)j(Xc ov(n1km1j?????))k(X,)k(Xc ov (m1j??? mpq?一般 )n,mm i n (pq)n,m(C Y ??2021/11/11 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 顧小豐 49－ 39 獨立增量過程的性質(zhì) 1. 如果 {X(t),t?0}是 平穩(wěn)獨立增量過程， X(0)＝ 0，則 1) 均值函數(shù) m(t)＝ at， a為常數(shù)； 2) 方差函數(shù) D(t)＝ ?2t， ?為正常數(shù)； 3) 協(xié)方差函數(shù) C(s,t)＝ ?2min(s,t)。 2. 獨立增量過程的有限維分布由一維分布和增量分布決定。 2021/11/11 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 顧小豐 49－ 40 證明 1. 1） 設(shè) m(t)＝ E[X(t)]，則 m(t+s)＝ E[X(t+s)] ＝ E[X(t+s)X(s)+X(s)X(0)] ＝ E[X(t+s)X(s)]+E[X(s)X(0)] ＝ E[X(t)]+E[X(s)] ＝ m(t)+m(s) 由數(shù)學(xué)分析知識知： m(t)＝ at，其中常數(shù) a＝ m(1)。 f(x)連續(xù)，若 f(x+y) = f(x)+f(y)，則 f(x) = kx。 2021/11/11 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 顧小豐 49－ 41 證明 (續(xù) 1) 2） 設(shè) D(t)＝ D[X(t)]，則 D(t+s)＝ D[X(t+s)] ＝ D[X(t+s)X(s)+X(s)X(0)] ＝ D[X(t+s)X(s)]+D[X(s)X(0)] ＝ D[X(t)]+D[X(s)]＝ D(t)+D(s) 由數(shù)學(xué)分析知識： D(t)＝ ?2t， 其中 ?2＝ D(1)為正常數(shù) 。 f(x)連續(xù)，若 f(x+y) = f(x)+f(y)，則 f(x) = kx。 2021/11/11 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 顧小豐 49－ 42 證明 (續(xù) 2) 3） C(s,t)＝ E{[X(t)]m(t)][X(s)m(s)]} ＝ E[X(t)X(s)]m(s)m(t) ＝ E{[X(t)X(s)+X(s)]X(s)}m(s)m(t) 一般地， C(s,t)＝ ?2min(s,t)。 假設(shè) t s，否則變形為 E{[X(s)X(t)+X(t)]X(t)}m(s)m(t) ＝ E[X(t)X(s)]E[X(s)]+E[X2(s)]m(s)m(t) ＝ m(ts)m(s)+D(s)m2(s)m(s)m(t) ＝ a(ts)as+?2sa2s2a2st ts ＝ ?2s 2021/11/11 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 顧小豐 49－ 43 證明 (續(xù) 3) 2. 任取 t1t2…t n?T，令 Y1＝ X(t1)， Y2＝ X(t2)X(t1)， … ， Yn＝ X(tn)X(tn1) 由增量的獨立性知， Y1,Y2,…,Y n為相互獨立的隨機(jī)變量，且 X(t1)＝ Y1， X(t2)＝ Y1+Y2， … ， X(tn)＝ Y1+Y2+…+Y n 記 ?(t1,u1)為 X(t1)的特征函數(shù)； ?(tktk1,u)為 X(tk)X(tk－ 1)的特征函數(shù)； ?(t1,t2,…,t n。u1,u2,…,u n)為 X(t1),X(t2), …,X(t n)的聯(lián)合特征函數(shù)。 2021/11/11 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 顧小豐 49－ 44 證明 (續(xù) 4) 由特征函數(shù)的定義及 Y1,Y2,…,Y n的獨立性，有?(t1,t2,…,t n。u1,u2,…,u n) }e{E )]t(xu)t(xu)t(xu[i nn2211 ???? ?}e{E )]YYY(u)YY(uYu[i n21n21211 ???????? ??}e{E ]YuY)uu(Y)uuu[(i nn2n21n21 ????????? ???)e(E}e{E}e{E nn2n21n21 Yiu]Y)uu[(i]Y)uuu[(i ??? ??????2021/11/11 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 顧小豐 49－ 45 證明 (續(xù) 5) 因此，只要由一維分布和增量分布就可以完全確定獨立增量過程的有限維分布。 )tt,u(.).tt,uu().t,uuu(1nnn12n21n21?????????????????? ?????????n2knk)t(X)t(X1n21)t(X)uu()t,uuu(1kk1??2021/11/11 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 顧小豐 49－ 46 說明 1. 特別地 ， 對 a＞ ?， P{X(a)=0}＝ 1的情況下 ，因為 X(t1)＝ X(t1)X(a)， 所以只要知道增量分布就可以完全確定 獨立增量過程的有限維分布 。 2. 對于平穩(wěn)獨立增量過程 {X(t),t?[a,b]}， 若 a?， P{X(a)=0}＝ 1。 因為增量 X(t2)X(t1)的分布與 X(t2t1+a)X(a)與 X(t2t1)的分布相同 ， 所以實際上只要知道 X(t)的一維分布就可以推出它的有限維分布 。 2021/11/11 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 顧小豐 49－ 47 本講主要內(nèi)容 ?隨機(jī)過程的基本概念 ? 隨機(jī)過程的定義 ? 隨機(jī)過程的分布 ? 隨機(jī)過程的數(shù)字特征 ?重要隨機(jī)過程 ? 獨立過程 ? 獨立增量過程 2021/11/11 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 顧小豐 49－ 48 下一講內(nèi)容預(yù)告 ?正態(tài)過程 ?維納過程 2021/11/11 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 顧小豐 49－ 49 P66～ 69 1. 9. 15. 19. 習(xí) 題 二
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