【正文】 常常可以通過 串聯(lián) 或者 并聯(lián) 兩個典型非線性特性的描述函數(shù)來求取。 求取方法： 串聯(lián)： 將兩個環(huán)節(jié)視為一個整體來推導(dǎo)描述函數(shù) 等效為 )919(,1422 ???? XXXM???? M M?x y? Mx y查表 93得 制作 羅家祥 審校 胥布工 描述函數(shù)法 并聯(lián)： 合并兩個環(huán)節(jié)的一次諧波 ????????????????? ??????XXXXXMXXMXN,4,4)( 22??M M???M M?x yx y)(92)9(s i n)(s i n))()(()s i n ()s i n ()(21212111111tXXNtXXNXNtYtYty?????????????9 3 )(9)()()( 21 XNXNXN ??查表 93得 制作 羅家祥 審校 胥布工 描述函數(shù)法 非線性控制系統(tǒng)的描述函數(shù)分析方法 考慮非線性系統(tǒng) )949()()(1)()()()()(?????jGXNjGXNjRjCjT???系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性：)959(0)()(1 ?? ?jGXN閉環(huán)特征方程：)969()(1)( XNjG ??? ?)()()(1 XjQXPXN ???稱為負倒描述函數(shù) 給定 X，即可確定復(fù)平面上的點 ，根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)，此點就是系統(tǒng)出現(xiàn)臨界振蕩的臨界點。當(dāng) G(j?)的奈奎斯特曲線穿過此點時，系統(tǒng)出現(xiàn) 極限環(huán)。 ))(),(( XQXPr )( XN )( sG ce制作 羅家祥 審校 胥布工 描述函數(shù)法 1．穩(wěn)定性的判定 穩(wěn)定判據(jù)： 設(shè)非線性控制系統(tǒng)的線性部分 G(s)在 s平面右半面無極點 。若以 X為參數(shù)的 1/N(X)的曲線 沒有 被以 ?為參數(shù)的 G(j?)的曲線包圍 ，則系統(tǒng)穩(wěn)定。 上述穩(wěn)定性意味著系統(tǒng)沒有極限環(huán)。 ? 若 1/N(X)的曲線 被 G(j?)的曲線包圍 ，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。 ? 若 1/N(X)的曲線與 G(j?)的曲線相交 ，可能是穩(wěn)定的極限環(huán)，也可能是不穩(wěn)定的極限環(huán)，兩條曲線的相交點就確定了極限環(huán)的振幅和頻率 (X*, ?*)。 )(1XN?X??X?1ImRe)(~?jG?2制作 羅家祥 審校 胥布工 描述函數(shù)法 2．自持振蕩的確定 相交點 A：當(dāng)有小擾動 ?X0時， 根據(jù)奈氏判據(jù)， N(X*?X)時系統(tǒng)穩(wěn)定，而 N(X*+?X)時系統(tǒng)不穩(wěn)定， 后一種情況振幅逐步增加直到相交點 B； 相交點 B：當(dāng)有小擾動 ?X0時，據(jù)奈氏判據(jù)， N(X*?X)時系統(tǒng)不穩(wěn)定，而 N(X*+?X)時系統(tǒng)穩(wěn)定，兩種情況都退回到 B點。 設(shè) ?X0為微小的擾動。極限環(huán)穩(wěn)定性判據(jù)為 ① 若 N(X*+?X)時得到的線性化系統(tǒng)是 穩(wěn)定 的，而 N(X*?X)時得到的系統(tǒng)是 不穩(wěn)定 的，則 極限環(huán) (X*, ?*)是 穩(wěn)定 的； ② 反之 N(X*+?X)時得到的線性化系統(tǒng) 不穩(wěn)定 ， N(X*?X)是 穩(wěn)定 的，則 極限環(huán) (X*, ?*)是 不穩(wěn)定 。 Im Re)(*XXN ?? )( * XXN ??X??)(1XN?)(*XXN ??)(*XXN ??X?0BA制作 羅家祥 審校 胥布工 )(1XN? AIm Re?A ?A)( ?jG?0? 描述函數(shù)法 例 913 已知一個非線性控制系統(tǒng)的線性部分的傳遞函數(shù)為 )979()136)(1( 12)136)(1( 12)( 22 ????? ?????????? jjssssGjsjs考慮（ 1）理想繼電器（ 2）滯環(huán)繼電器，試確定自持振蕩。 A: (X*,?*)=(, ) A: (X*,?*)=(, ) N(X*+ ?X)沒被 G(j?)包圍，穩(wěn)定； N(X* ?X)被 G(j?)包圍，不穩(wěn)定； 兩個交點 A確定的極限環(huán)穩(wěn)定，系統(tǒng)穩(wěn)定的自持振蕩分別為： )( * XXN ??)(1XN?)( * XXN ??AIm Re)( ?jG0?) i n ()(~) i n ()(~ ttxttx ?? 和制作 羅家祥 審校 胥布工 描述函數(shù)法 綜合問題舉例 例 914 考慮如圖 933(a)所示的非線性三階控制系統(tǒng)。 )989(1,14)(,)1)(( 10)( 22 ?????? XXXXNjjjjG ?????分析系統(tǒng)存在的自振，并設(shè)計串聯(lián)校正裝置消除系統(tǒng)的自振，從而使系統(tǒng)穩(wěn)定。 解 : 在復(fù)平面上繪出 1/N(X)和 G(j?) ),(),( ** ??X),(),( ** ??X不穩(wěn)定 穩(wěn)定，有自持振蕩 1?1? )( sGr e c*2X *1X )(1XN?X??X?1ImRe)( ?jG?制作 羅家祥 審校 胥布工 描述函數(shù)法 )999())(2())(()(??????????jjjjjGc引入校正環(huán)節(jié)：)1009())(2())(()1)((10)(~????????????????jjjjjjjjG校正后的線性系統(tǒng)為：校正后的系統(tǒng)中沒有自持振蕩，并且系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 )(~ sG1 1?1?r e c)(1XN?X??X?1ImRe)(~?jG?2制作 羅家祥 審校 胥布工 利用 MATLAB分析非線性控制系統(tǒng) 求解微分方程可調(diào)用的函數(shù) ode45(), 格式如下： [tout, yout]=ode45(odefun, tspan, y0) 例 915 考慮如圖所示有死區(qū)加滯環(huán)的繼電器特性的非線性系統(tǒng) , 其中 , d=4,m=,M=1,K=1,T=，試用 MATLAB輔助分析系統(tǒng)在階躍信號 r(t)=10?1(t)作用下的運動。 解：具有死區(qū)加滯環(huán)的 繼電器特性如下： ???????????????????????區(qū)區(qū)區(qū)III,0。,II,0。,I,0。,0,0mdeedeMmdeedeMmdededemdeu????r e uM M?dd? md?md )1( 1 ?ss 繪制非線性控制系統(tǒng)的相軌跡和相平面圖 制作 羅家祥 審校 胥布工 利用 MATLAB分析非線性控制系統(tǒng) KxyyT ?? ???系統(tǒng)微分方程為：0??? KxeeT ???誤差方程為：?????????????區(qū)區(qū)區(qū)各區(qū)間的微分方程為：I I IKMeeTIIKMeeTIeeT,0,0,0?????????編寫 M文件 ，命令窗口 輸入內(nèi)容見 348頁，運行結(jié)果 如圖 936所示。 3 1 1 3 5 7 9 115432101234系統(tǒng)相軌跡圖e ( t )de/dt r e uMM?dd? md?md )1(1?ss y制作 羅家祥 審校 胥布工 利用 MATLAB分析非線性控制系統(tǒng) 例 916 帶內(nèi)環(huán)測速反饋的非線性系統(tǒng)如圖 937所示，其中，d=， k=8,T=, ?d=，試用 MATLAB來輔助分析階躍輸入作用下系統(tǒng)的運動。 ?????????????區(qū)區(qū)區(qū)解：非線性特性為：IIIdeMIIdeMIdedkeu~,~,~,uyy ?? ??? 線性對象微分方程為：?????????????????區(qū)區(qū)區(qū)系統(tǒng)微分方程：IIIdeMeeIIdeMeeIdekeee~,~,~,?????????y )1( 1 ?Tss)( te dd? kr sd?u)(~ te制作 羅家祥 審校 胥布工 利用 MATLAB分析非線性控制系統(tǒng) 編寫 M文件 ，命令窗口輸入內(nèi)容見 350頁，運行結(jié)果，如圖 938所示。 1 2 1 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 1287654321012345678系統(tǒng)相平面圖e ( t )de/dt系統(tǒng)相平面分析： 1）存在滑動現(xiàn)象； 2）系統(tǒng)的相軌跡一旦滑動到點 (0,1)或者點 (0,1)，則銜接進入 I區(qū)，接下來按穩(wěn)定焦點相軌跡收斂到原點。 制作 羅家祥 審校 胥布工 利用 MATLAB分析非線性控制系統(tǒng) 判定穩(wěn)定性及自持振蕩 例 917 考慮具有間隙非線性特性的反饋控制系統(tǒng)，其中，k=1, d=，試用 MALTAB輔助分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并求穩(wěn)定的自持振蕩函數(shù)。 2)(41)2(22a r c s i n2)(XXdkdjXdXdXdXXdXkXN??????????????? ?????? ???數(shù)為：解：間隙特性的描述函sssssssG234)2)(1(4)(23 ??????線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：)2)(1(4?? sssdd? kr c制作 羅家祥 審校 胥布工 利用 MATLAB分析非線性控制系統(tǒng) 繪制系統(tǒng)線性部分 G(j?)的奈奎斯特曲線 M文件 和繪制負倒描述函數(shù) 1/N(X)曲線 M文件 352頁。 輸入語句內(nèi)容見 353頁，結(jié)果如圖 940所示。 3 2 . 5 2 1 . 5 1 0 . 5 0543210X : 2 . 5 3 2Y : 4 . 0 8 7X : 1 . 1 4 9Y : 0 . 3 5 1 6N y q u i s t D i a g r a mR e a l A x i sImaginary Axis根據(jù)極限環(huán)穩(wěn)定性判據(jù) 可知： 相交點 (,)處發(fā)生不穩(wěn)定極限環(huán)，振幅和頻率值分別為(X*,?*) =(,) 。 相交點 (,)處有穩(wěn)定極限環(huán)， 振幅和頻率值分別為 (X*,?*) =(,) ，故 自持振蕩函數(shù)為 。 制作 羅家祥 審校 胥布工 小結(jié) 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性： 平衡狀態(tài)不止一個，某個平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性不代表全局動態(tài)性質(zhì)； 非線性控制系統(tǒng)的特性： 不滿足疊加原理，正弦信號的輸入可能得到高次諧波的輸出，以及自持振蕩； 相平面法： 針對二階非線性控制系統(tǒng)的一種精確的圖解分析法，用足夠的短直線來近似逼近相軌跡以獲得滿足所需精度要求 ；在實際應(yīng)用中，更方便的方法是分區(qū)線性化近似方法。 描述函數(shù)法： 用一次諧波來替代原來的非線性特性關(guān)系；兩個假設(shè)條件：原點對稱條件，低通濾波條件； MATLAB是分析系統(tǒng)的強有力工具： 可繪制出系統(tǒng)的相軌跡、相平面圖、負倒數(shù)函數(shù)曲線、系統(tǒng)線性部分的奈奎斯特曲線等。 制作 羅家祥 審校 胥布工 本章結(jié)束！