【正文】 制作 羅家祥 審校 胥布工 相平面法 I區(qū) x=3 03 ???? vKeeT ???系統(tǒng)方程為：??????????)3(1vKeTeee?????相變量方程為：evKeTdeed??? ???? 31相軌跡方程為：區(qū)內(nèi)無(wú)奇點(diǎn)系統(tǒng)在等傾斜線方程為：各相軌跡形狀相同。 )449(0?? eeT ???系統(tǒng)方程為：)459(1????????eTeee?????系統(tǒng)相變量方程為：Tdeed 1???相軌跡方程為：系統(tǒng)在 III區(qū)無(wú)奇點(diǎn)，相軌跡均為斜率為 1/T的直線 3 3? ??1 ??? 1 y )1( ?Tss Kr e x?????? 1 ??1ee? IIIIIIIVV ???K3K3?制作 羅家祥 審校 胥布工 相平面法 例 98 考慮具有滯環(huán)繼電器非線性特性的控制系統(tǒng)， T0,K0, d0,試分析斜坡輸入作用下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng) 。區(qū)的相軌跡關(guān)于區(qū)與區(qū)的相軌跡方程比較：與IIII31)(3)(1I)4(eKeTeKeT ???? ???????)429(13)5(??kTKe?等傾斜線方程為：ee?1?K3K3?IIIIII)0,( R系統(tǒng)在 III區(qū)無(wú)奇點(diǎn) 制作 羅家祥 審校 胥布工 相平面法 例 97 不靈敏區(qū)的存在導(dǎo)致帶有死區(qū)的飽和非線性特性情況 (T0, K0) ，試分析階躍輸入作用下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。 解 ： (1) 飽和非線性特性的數(shù)學(xué)描述： )279(III,1,3II,1,3I,1,3???????????區(qū)區(qū)區(qū)eeeex(2) 線性環(huán)節(jié)的微分方程為 )289(KxyyT ?? ???)299(0,0)(1)(?????????????rrTKxeeTyrerrtRtr????????? ，又由于設(shè)階躍輸入為： 3 3? y )1( ?Tss Kr e x1 1?制作 羅家祥 審校 胥布工 相平面法 I區(qū) ???????????區(qū)區(qū)區(qū)I I I,1,3II,1,3I,1,3eeeex033????KeeTx???時(shí)，?????????)3(1KeTeee?????相變量方程：)329(31eKeTdeed??? ???相軌跡方程：13)6e)53 3 ,0)4,0)3e0)203)1????????????kTKeKeeKeeeKe???????等傾斜線方程為：果，形狀相同。 極限環(huán)是相平面圖中 一條孤立的封閉相軌跡 ， 有三種類型： (2) 不穩(wěn)定極限環(huán) ：環(huán)內(nèi)外兩側(cè)的相軌跡均呈螺旋狀地從極限環(huán)離開，這種極限環(huán)是不穩(wěn)定的 x? xtxMM?0x? xtxMM?0制作 羅家祥 審校 胥布工 相平面法 (3)半穩(wěn)定極限環(huán) ：環(huán)內(nèi)外一側(cè)相軌跡漸近地趨近極限環(huán)，而另一側(cè)的相軌跡從極限環(huán)離開。 制作 羅家祥 審校 胥布工 相平面法 zzzzzzfzzzzffzzlzzzzfzlllzzzz??????????????????????????????????????20),(),()0,0()0,0(),()])12(s i n (2[),()0,)12((x)12(xz)0,)12((20000處附近泰勒級(jí)數(shù)展開，在坐標(biāo)平移到原點(diǎn)，即軸上奇點(diǎn)將方程在變換，：奇點(diǎn)為情況????02 ??? zzz ???特征方程為：?????????????2123128112,1pMatlab仿真圖 （ (2l+1)?, 0）均為鞍點(diǎn)。 )269(0s i n2 ??? xxx ???)s i n2),( xxxxfx ????? ???? （解：都為系統(tǒng)奇點(diǎn)。 )249(),(),(),(),(00000000 xbaxxxxxfxxxxfxxfxxfxxxxxx ?????????????????????????略掉最高次項(xiàng)，得：）附近泰勒級(jí)數(shù)展開，在（)259(),(,),(,0),(000000?????? ???????xxxxxx xxxfbxxxfaxxf??? ?????利用線性系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)相圖來(lái)分析奇點(diǎn) (0,0)附近的類型特征； ?對(duì)多個(gè)奇點(diǎn)情況，可分別在不同的奇點(diǎn)鄰域線性化后分析； ?在奇點(diǎn)小鄰域之外，高次項(xiàng)不可忽略。 0?? xbax ?0?x??0?j x?x制作 羅家祥 審校 胥布工 相平面法 非線性系統(tǒng)的相平面圖分析 1．奇點(diǎn) 設(shè)所考慮奇點(diǎn)為原點(diǎn) (不在原點(diǎn)的奇點(diǎn)可坐標(biāo)平移移到原點(diǎn) )。動(dòng)附近的呈現(xiàn)馬鞍形狀運(yùn)相軌跡在奇點(diǎn)為一正一負(fù)實(shí)根，，系統(tǒng)特征根鞍點(diǎn)(6)1 )0,0(pp 2?0?j x? x?0?j x? x當(dāng) a=0時(shí)，特征方程（ 923）出現(xiàn)零特征根，此時(shí)在整個(gè) x軸上有 和 ，故此時(shí) x軸又稱為 奇線 ，這是上述六種類型未包括的特殊情況。散出點(diǎn)相軌跡以振蕩方式從奇為正實(shí)部共軛復(fù)數(shù)，系統(tǒng)特征根穩(wěn)定焦點(diǎn)不( 4 )1)0,0(pp 2線。散出振蕩方式從奇點(diǎn)非相軌跡以為正實(shí)根，，系統(tǒng)特征根穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)不( 2 )1)0,0(pp 2?0?j x? x。xxxf ?? /),(?制作 羅家祥 審校 胥布工 相平面法 線性系統(tǒng)的相平面圖分析 二階線性系統(tǒng)的相變量微分方程 )229()(??? ???? xbaxx xx ??? ??)239(02 ??? abss其特征方程為：。0),( ?xxf ?。只要恰當(dāng)利用這些特長(zhǎng)，就可以快速地繪出足夠滿意的相平面圖。 斜率的正負(fù)區(qū)域。 奇點(diǎn)類型。 xx?)2,4( 2 kk ?)2,4( 2 kk ?0?k0?k0?kxx?制作 羅家祥 審校 胥布工 相平面法 在繪制過程中，除了采用等傾線法計(jì)算外，還可利用相軌跡形狀的特征： 相對(duì)原點(diǎn)、坐標(biāo)軸的對(duì)稱性。 04 2 ??? xxx ???)209()(41 2?????????xxxxx?????系統(tǒng)的相變量方程為：解：044)(22????????xxkxxxxk????等傾線方程為：)219(0)4()2( 22 ???? kxkx?即① 等傾線不是直線而是拋物線，拋物線的頂點(diǎn)位于相平面的 (4k2,－ 2k)處。 xx?的偶函數(shù)。試?yán)L出系統(tǒng)的相平面圖考慮非線性系統(tǒng) ,0??? axxbx ???)189(0,00,0)1(???????????xaxxbxxaxxbx????????上述方程可轉(zhuǎn)化為：解：(2) 對(duì)稱于 x軸，可先畫出上半部分，再對(duì)稱繪出下半部分。試?yán)L出系統(tǒng)的一條相軌考慮系統(tǒng) ,),( xbaxxxf ?? ??)159()( )1(:???????xbaxxxx?????為：系統(tǒng)的相變量微分方程解關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 （ 3）按方向場(chǎng)指出的方向，在等傾斜線的各點(diǎn)勾劃出相軌跡。 制作 羅家祥 審校 胥布工 相平面法 等傾斜線法的步驟如下： （ 1）將相軌跡走向相同的相點(diǎn)，即斜率相同的相點(diǎn)，連接起來(lái)畫出等傾斜線。 ? 等傾線法 ：圖解法，用足夠短的直線近似逼近相軌跡；只要選用的等傾斜線分布疏密程度適合，就可以滿足所需相平面圖的精度要求，因而是最常用的圖解法。垂直通過，相軌跡不能確定是否且不能確定斜率，此時(shí)軸上，故奇點(diǎn)總在和奇點(diǎn)發(fā)生時(shí)同時(shí)有xx0x0)x,x(f ?? ?? 相平面法 x?制作 羅家祥 審校 胥布工 相平面圖的繪制 繪制相平面圖的常用方法： ? 解析法：直接方法，通過解系統(tǒng)相軌跡的微分方程獲得積分曲線族的方法。故狀態(tài)沿相跡曲線由左,即x0,x上半平面,上根軌跡的走向：在相平面,??????（ 5）相軌跡通過 x軸的斜率 軸。 相平面法 xx?x? xx?x制作 羅家祥 審校 胥布工 （ 4）相軌跡的走向 向左轉(zhuǎn)移。 在 (x,x‘)與 (x, x’)點(diǎn)的斜率相等，符號(hào)相反。x軸的偶函數(shù)，相軌跡關(guān)于x是關(guān)于，:條件的①對(duì)稱x 軸?????????)()(),(),()()(xx,fxxxfxxxfdxxdxx,fxx,f???????稱。稱處的斜率在)x,x(P00),(),()x,x(P0000000000??????????????????????xxxxxxxxxxxxxxxfdxxdxxk 相平面法 ),( 00 xxP ?x?x??0x?x制作 羅家祥 審校 胥布工 (3) 相軌跡的對(duì)稱性條件 對(duì)稱。 b a 12222?? bxax ? 相平面法 0 xx?(911) 制作 羅家祥 審校 胥布工 3. 相平面圖的性質(zhì) (1) 相軌跡上的斜率 xxxfdxxddtdxdtxdxx??????? ),(????足相軌跡方程相軌跡上的任意點(diǎn)均滿)129(),(),()x,x(P00000000xxxxxxxxxxxxxxxfdxxdxxk?????? ??????????? ???處的斜率為：因此在(2) 相軌跡的常點(diǎn)和奇點(diǎn) 為奇點(diǎn)。 量微分方程式：，則將上式改寫為相變?cè)O(shè) x??yx? 相平面法的基本概念 研究二階非線性系統(tǒng)，一般形式為： )39(),(0),( xxfxxxfx ?????? ???? 或者)49( ),( ???? ??? yxfy yx?? )59( ),( ???????xxfxxx?????1．相點(diǎn)與相軌跡 箭頭表示時(shí)間增加時(shí)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的方向 相平面法 0x?x ),( xxP ?運(yùn)動(dòng)方向x?制作 羅家祥 審校 胥布工 2．相軌跡的微分方程與相平面圖 )59( ),( ???????xxfxxx??