【正文】 ????? ??????????? ???????? VraVraVLLLvp ??? 212212121121Folie62 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動力學(xué) 》 國家精品課 、 一些簡單的迭加舉例 只要是一個(gè)封閉物體，代表這個(gè)物體作用的正負(fù)源的強(qiáng)度總和必須等于零。這種正負(fù)源放在一起的情況，在遠(yuǎn)離物體的地方（我們可以取r1 很大），其作用和一個(gè)偶極子沒什么區(qū)別。這就說明了物形對升力沒有直接的關(guān)系，關(guān)鍵的問題在于必須有一個(gè)繞物體的環(huán)量存在。有了環(huán)量又有一個(gè)直勻流，便有一個(gè)升力。 庫塔 儒可夫斯基定理 一個(gè)封閉物體所受升力 L等于來流的密度 乘速度再乘以氣流方向逆著環(huán)流旋轉(zhuǎn) 90。 ?V? ??L?Folie63 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動力學(xué) 》 國家精品課 、 一些簡單的迭加舉例 環(huán)量之所以能產(chǎn)生一個(gè) Y 向的合力，也可以從圓柱體上的壓力分布直接看到。其中有環(huán)量和無環(huán)量繞流情況作了對比。無環(huán)量時(shí)，上半圓（ θ由 π至 0）上的壓力分布和下半圓（ θ由 π至 2π）上的壓力分布對稱，結(jié)果是合力為零。有環(huán)量時(shí)，上半圓上的負(fù)壓遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過下半圓上的負(fù)壓，所以有一個(gè)向上的合力，即升力。這個(gè)力的來源主要靠上半圓上的吸力 。 Folie64 ? 從“野渡無人舟自橫”到“香蕉球”技術(shù) ? 淺談“香蕉球”的力學(xué)原理 Folie65 2022年版本 3． 4 二維對稱物體繞流的數(shù)值解 把直勻流和分布的偶極子（或總強(qiáng)度為零的分布點(diǎn)源和點(diǎn)匯）疊加起來，所得到的組合流動為對稱封閉物體繞流。設(shè)直勻流沿 x 軸正向流來，其速度為 V∞，在 x 軸上 x =a和 x =b 范圍內(nèi)連續(xù)分布一系列的偶極子，單位長度內(nèi)偶極子的強(qiáng)度設(shè)為 m（ 偶極子密度 ）。 如果偶極子密度的分布形式已知 ， 則離原點(diǎn)距離為 ξ 的小區(qū)間內(nèi)由偶極子產(chǎn)生的流函數(shù)為： 總流函數(shù)為： 。物體的外形可以用零流線來表示。改變不同的偶極子密度分布，可以獲得不同形狀的封閉物體，由流函數(shù)和速度以及速度與壓強(qiáng)的關(guān)系確定流場中各點(diǎn)及物體表面的速度分布和壓強(qiáng)分布。 ? ?? ? 2 2m d ydxy????????? ?? ?? ???? ?ba dyxymyV ????22奇點(diǎn)疊加數(shù)值解法 Folie66 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動力學(xué) 》 國家精品課 3． 4 二維對稱物體繞流的數(shù)值解 Folie67 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動力學(xué) 》 國家精品課 3． 4 二維對稱物體繞流的數(shù)值解 對于實(shí)際問題，往往是給定物體的外形來確定其流動的特性。在這種情況下，偶極子密度分布函數(shù)的確定需要由流函數(shù)求解。對偶極子密度來說，流函數(shù)是一個(gè)積分方程，求它的解是比較困難的。但是隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，可以用數(shù)值方法比較迅速地獲得這種方程的有一定準(zhǔn)確度的數(shù)值解。 下面簡單地?cái)⑹鲇脭?shù)值方法求解已知物體形狀確定繞物體流動特性的過程。 Folie68 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動力學(xué) 》 國家精品課 3． 4 二維對稱物體繞流的數(shù)值解 數(shù)值解法步驟 首先，我們把偶極子分布區(qū)域分成等寬度的 n 段，設(shè)每段的寬度為 △ ξ，段數(shù) n 可根據(jù)計(jì)算機(jī)容量及結(jié)果的準(zhǔn)確度要求而確定。流場中某一定點(diǎn) P處的流函數(shù)為： 式中 為第 j 段中點(diǎn)離原點(diǎn)的距離； 為第 j 段內(nèi)偶極子密度的平均值； 表示第 j 段內(nèi)偶極子的強(qiáng)度。 ? ? 221 yxymyvjjnj ????? ??? ???jmjm ??j?Folie69 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動力學(xué) 》 國家精品課 3． 4 二維對稱物體繞流的數(shù)值解 用物面邊界條件來確定待求的偶極子密度 對于給定物體外形上的 n個(gè)已知點(diǎn)（ xi， yi），就可以得到一個(gè)對未知函數(shù)的 n 元一次聯(lián)立代數(shù)方程組： 其中 為影響系數(shù)，表示 處的單位偶極子 密度對物體表面某點(diǎn) Pi (xi, yi) 處的流函數(shù)貢獻(xiàn)。 10 1 , 2 , ,ni i i j jjv y C m i n? ??? ? ? ??? ? 22 iji iij yxyC?????? j?Folie70 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動力學(xué) 》 國家精品課 3． 4 二維對稱物體繞流的數(shù)值解 展開上式，即 利用解一次方程組的各種計(jì)算方法，求解上面方程組，確定偶極子密度。 11212111 yvmCmCmC nn ????? ??22222121 yvmCmCmC nn ????? ??nnnnnn yvmCmCmC ????? ??2211?Folie71 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動力學(xué) 》 國家精品課 3． 4 二維對稱物體繞流的數(shù)值解 一旦所給定物體外形的偶極子密度分布已經(jīng)解得，則可以確定流場內(nèi)任意點(diǎn)處的流函數(shù)。此后即可由流函數(shù)與速度的關(guān)系式及伯努利方程，確定流場內(nèi)各點(diǎn)處的速度及壓強(qiáng)值。 在上述過程中，我們實(shí)際上是把第 j段中分布的偶極子用集中在該段中點(diǎn)處的等強(qiáng)度偶極子來代替了。顯然，如果分段數(shù)量較多，這種近似表示才有一定的準(zhǔn)確性。理論上，當(dāng)段數(shù) n 趨于無限大時(shí)，偶極子密度分布的數(shù)值結(jié)果趨近于精確解。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，由于計(jì)算機(jī)容量和計(jì)算機(jī)機(jī)時(shí)的限制，以及多元一次聯(lián)立方程組解的不穩(wěn)定性。分段的數(shù)目不宜太多。 也可以由位函數(shù)出發(fā)，用位函數(shù)對應(yīng)的物面條件來解決實(shí)際流動問題。這兩種方法是等價(jià)的。在實(shí)際應(yīng)用中，用位函數(shù)疊加法比用流函數(shù)法更廣泛。 Folie72 本章基本要求 ? 掌握平面不可壓位流中位函數(shù)與流函數(shù)的性質(zhì)與關(guān)系。 ? 掌握平面不可壓位流的基本方程即拉普拉斯方程的特點(diǎn)、疊加原理和邊界條件； ? 掌握四種基本而重要的位流流動即：直勻流，點(diǎn)源（點(diǎn)匯）、偶極子和點(diǎn)渦的表達(dá)； ? 重點(diǎn)掌握直勻流與偶極子和點(diǎn)渦的疊加； ? 掌握儒可夫斯基升力定律； ? 了解二維對稱物體繞流數(shù)值解法步驟 Folie73 本章討論怎樣求解不可壓理想流體無旋運(yùn)動的規(guī)律 ? 在理想不可壓條件下歐拉方程和連續(xù)方程包括四個(gè)方程和四個(gè)未知函數(shù)（ u,v,w,p），理論上是可解的 ? 由于飛行器的外形都比較復(fù)雜，要在滿足如此復(fù)雜的邊界條件下求該偏微分方程組的解析解是非常困難的，原因在于方程包含非線性項(xiàng)，而且方程中速度與壓強(qiáng)相互耦合，需要一并求出 ? 人們發(fā)現(xiàn)在無旋條件下問題可以得到大大簡化，尤其是可以將速度和壓強(qiáng)分開求解，這是因?yàn)闊o旋條件可使關(guān)于速度位的方程化為線性方程，從而便于單獨(dú)求得速度位即求出速度，而壓強(qiáng)可利用伯努利方程求解 ? 本章的思路是，先針對理想不可壓無旋流求得一些典型的速度位基本解，將這些基本解進(jìn)行疊加得到滿足非常簡單邊界條 件的流動。對復(fù)雜外形的繞流，介紹用基本解進(jìn)行疊加的數(shù)值解法大意 Folie74 Folie75 小測驗(yàn)（ 15分鐘） 1. a. 試寫出從 –y 流向 +y ，速度值為 V∞ 的直勻流的位函數(shù)。 b. 試寫出位于原點(diǎn)的點(diǎn)匯的位函數(shù)。 c. 試寫出位于原點(diǎn)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)渦的位函數(shù)。 d. 試寫出位于原點(diǎn)，軸線指向－ y軸的偶極子的位函數(shù)。 提示：坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系為： 2. 在 x 軸上距原點(diǎn)為 b處放置點(diǎn)源（源強(qiáng)度為 Q）， y 軸為璧面，試求x=b/2 處的速度表達(dá)。 3. 同上圖，在 x 軸上距原點(diǎn)為 b處放置強(qiáng)度為 Г 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)渦，求該點(diǎn)渦此時(shí)的速度大小與方向。 x y y’ x’ ????s inco ss inco s,xyyyxx???? x y o . b 圖 2題 .3題圖 Folie76 解 1a. Φ ＝ V∞ y b. c. d. rQ ln2?? ????? 2???2,2,2,2, yx yMyx xM ????? ??xxyyyyxx ????????? ?????? s i nco s,s i nco s,2 ,?2222 , yxxMyxyM????? ??x y y’ x’ Folie77 解 2. 在 x 軸上距原點(diǎn)為 b處放置點(diǎn)源（源強(qiáng)度為 Q）， y 軸為璧面，試求 x=b/2 處的速度表達(dá)。相當(dāng)于將璧面去掉在－ b處放置強(qiáng)度同樣為 Q的點(diǎn)源： ])l n [ (4])l n [ (4 2222 ybxQybxQ ?????? ???x y o . b 2題 .3題圖 032)232(2])(1)(1[2])()([20,0,222222?????????????????????vbQbbQbxbxQybxbxybxbxQuyxyxbb????. Folie78 解 2：題目相當(dāng)于在－ b處疊加一個(gè)環(huán)量相等方向相反的點(diǎn)渦，求該點(diǎn)渦速度相當(dāng)于求 b點(diǎn)速度。由于點(diǎn)渦對自身沒有誘導(dǎo)速度，因此 b處速度只是由鏡像渦產(chǎn)生，鏡像渦的流函數(shù)（方便求導(dǎo)）： x y o . b 2題 .3題圖 . bybxbxxvybxybx2122]l n [4220,22???????????????????????）（）（）（鏡像如果求 b/2處速度，則需寫出全部流函數(shù)： 0,134)11(2]l n [4]l n [40,0,2222222?????????????????????????? yxxyx bbbubbxbxxvybxybx?????? ）（）