【正文】 0. ? ? 第一章 矩陣 167。 矩陣的秩 問題 : 假若一個 5?6的矩陣中所有 3階子式都等 于零的話 , 它的 4階子式中會出現非零的 嗎 ? 答 : 絕對不會 ! 因為每個 4階子式都可以按行展開 , 通過一 些 3階子式的組合得到 .) ? ? 第一章 矩陣 167。 矩陣的秩 ② r(AT) = 秩 r(A). 2. 矩陣 A的 秩 (rank) 記為 r(A)或 秩 (A) r(A) = r A中至少有一個 r階子式 D不為零 A的所有 r +1階子式都等于零 注 : ① 零矩陣的 秩 規(guī)定為 0. ?2 0 4 1 0 1 3 2 4 0 ?8 ?2 而 3階子式全為 0, 因此它的秩為 2. 例如 有一個 2階子式 ?2 0 0 1 ? 0, ? ? 第一章 矩陣 167。 矩陣的秩 例 20. 3 2 0 5 0 3 ?2 3 6 ?1 2 0 1 5 ?3 1 6 ?4 ?1 4 的秩 =? 注 : 例 20告訴我們 : 對于一個階數很高且比較 復雜的矩陣來說 , 按照定義去求它的秩是 一件很麻煩的事 ?. ? ? 第一章 矩陣 167。 矩陣的秩 4 0 ?8 ?2 9 0 3 0 1 2 0 0 0 4 7 0 0 0 0 0 例 21. 的秩為 . 3 注 : 從例 21可以看出行階梯形矩陣的秩就等于 它的階梯數 (即 :非零行的數目 ). 而任何一個矩陣都可以經過有限次初等 行 變換化為 行 階梯形 . 要是每次初等 行 變換都不改變矩陣的秩就 好了 . 而這一點我們是可以證明的 ?! ? ? 第一章 矩陣 167。 矩陣的秩 二 . 幾個重要的結論 1. 初等行變換不改變矩陣的秩 (事實上 , 我們只要能證明初等行變換不 會使矩陣的秩變小就夠了 , 因為初等變 換是可逆的 ) 定理 . 初等變換不改變矩陣的秩 . ? ? 第一章 矩陣 167。 矩陣的秩 (1) ri ?rj不改變矩陣的秩 (2) ri?k 不改變矩陣的秩 (3) ri+krj不改變矩陣的秩 設矩陣 A經過 ri+krj得到 B,秩 (A) = r, A的一個 最高階非零子式為 Dr. 我們分三種情況說明 : ① Dr中不含有 A的第 i行 . ② Dr中同時含有 A的第 i行和第 j行 . ③ Dr中含有 A的第 i行但不含有 A的第 j行 . ? ? 第一章 矩陣 167。 矩陣的秩 我們把 B中與 Dr對應的子式記為 A B 第 i行 第 j行 Dr . 則 Dr = ri+krj … … = ri … … + krj … … = Dr + Dr . ~ 若 Dr ? 0, ~ 則說明 A中有一個不含有第 i行的非零子式 . 問題化為情形① 。 若 Dr = 0, ~ 則 Dr = Dr . 說明 B中也有一個 r階非零子式 . ? ? 第一章 矩陣 167。 矩陣的秩 2. 初等列變換不改變矩陣的秩 事實上 , 設矩陣 A經過一次初等 列 變換得到 B, 則其轉置矩陣 AT經過一次初等 行 變換得 到 BT, 由 1可得 秩 (A) = 秩 (AT) =秩 (BT) = 秩 (B). 推論 . (1) 等價的矩陣具有相同的秩 . (2) 設 B = PAQ, 其中 P, Q為可逆矩陣 , 則 r(A) = r(B). ? ? 第一章 矩陣 167。 矩陣的秩 例 A = 3 2 0 5 0 3 ?2 3 6 ?1 2 0 1 5 ?3 1 6 ?4 ?1 4 , 求 A的秩 , 并找出 A的一個最高階非零子式 . ? ? 第一章 矩陣 167。 矩陣的秩 1 6 ?4 ?1 4 0 ?4 3 1 ?1 0 0 0 4 ?1 0 0 0 0 0 = B. 解 : A = 3 2 0 5 0 3 ?2 3 6 ?1 2 0 1 5 ?3 1 6 ?4 ?1 4 可見秩 (A) = 3. B的第 1, 2, 4列 (是由 A的第 1, 2, 4列變來的 )中有一個 3階非零子式 . 初等 行 變換 因而 A的第 1, 2, 4列中必然有一個 3階非零子式 . 不難找到 3 2 5 3 ?2 6 2 0 5 = ?16, 這個子式就是 A的一個最高階非零子式 . ? ? 第一章 矩陣 167。 矩陣的秩 命題 . 設 A為 s?m矩陣 , B為 s?n矩陣 , 則 max{r(A), r(B)} ? r(A, B) ? r(A)+r(B). 證明 : ① 因為 A和 B的子式也是分塊矩陣 (A, B) 的子式 , 所以 于是 max{r(A), r(B)} ? r(A, B)成立 . r(B) ? r(A, B). r(A) ? r(A, B), ? ? 第一章 矩陣 167。 矩陣的秩 命題 . 設 A為 s?m矩陣 , B為 s?n矩陣 , 則 max{r(A), r(B)} ? r(A, B) ? r(A)+r(B). 證明 : ② 設 P1AT = U1, P2BT = U2, 其中 U1, U2為行最簡形矩陣 . 于是 = r(A)+r(B). r(A, B) = r(A, B)T = r AT BT = r AT BT P1 O O P2 = r U1 U2 ? U1 U2 的非零行數 ? ? 第一章 矩陣 167。 矩陣的秩 命題 . 設 A, B均為 s?n矩陣 , 則 r(A+B) ? r(A)+r(B). 證明 : 記 A = (?1, …, ?n), B = (?1, …, ?n). (A+B, B) = (?1+?1, … , ?n+?n, ?1, … , ?n) ?(?1) ?(?1) … ? (?1, … , ?n, ?1, … , ?n) = (A, B). 可見 (A+B, B)與 (A, B)等價 , 因而 r(A+B, B) = r(A, B) r(A+B) ? ? r(A)+r(B). ? ? 第一章 矩陣 167。 矩陣的秩 命題 . 設 A為 s?n矩陣 , B為 n?t矩陣 , 則 r(AB) ? min{r(A), r(B)}. 證明 : 設 A = P Q, Er O O O 其中 P, Q為可逆矩陣 . 則 r(A) = r. 下面對 QB進行分塊 : 其中 Q1為 r?t矩陣 . Q1 Q2 QB = , r(AB) = r(P QB) Er O O O 于是 ? ? 第一章 矩陣 167。 矩陣的秩 r(AB) = r(P QB) Er O O O = r(Q1) = r( QB) Er O O O = r(A). 進而有 = r( Er O O O Q1 Q2 ) = r Q1 O ? r r(AB) = r(AB)T = r(BTAT) ? r(BT) = r(B). ? ? 第一章 矩陣 167。 矩陣的秩 例 22. 設 A為 s?n矩陣 , 證明 r(A) = 1的充要條件 是存在非零 s 維列向量 ? 和非零 n 維列 向量 ?, 使得 A = ??T. 證明 : (必要性 ) 若 r(A) = 1, 則存在可逆矩陣 P 和 Q使得 A = P Q. 1 0 … 0 0 0 … 0 … … … 0 0 … 0 ? ? 第一章 矩陣 167。 矩陣的秩 A = P Q. 1 0 … 0 0 0 … 0 … … … 0 0 … 0 ?T = (1 0 … 0) 1?nQ, 令 ? = P , 1 0 … 0 s?1 則可以直接驗證 ?為非零的 s維列向量 , ?為 非零的 n維列向量 , 而且 A = ??T. ? ? 第一章 矩陣 167。 矩陣的秩 (充分性 )若存在非零 s維列向量 ?和非零 n維列 向量 ?, 使得 A = ??T, 則 r(A) ? r(?) = 1. 設 ? = , a1 a2 … as ? = (b1 b2 … bn), 其中某個 ai和 bj非零 , 則 aibj為 A中的非零元素 , 故 r(A) ? 1. 因而 r(A) = 1. ? ?