【正文】 引出此節(jié)課要講的不定積分的概念。二、講授新課原函數(shù)的概念 設函數(shù)在某區(qū)間上有定義，若存在函數(shù)，使得在該區(qū)間任一點處，均有或則稱為在該區(qū)間上的一個原函數(shù)。 設計思路：通過幾個例子加以說明，加強學生對于原函數(shù)概念的理解，為不定積分概念的學習做鋪墊。不定積分的概念 不定積分的概念（課件展示），強調不定積分的重要性。 說明：根據不定積分的定義可知，求函數(shù)的不定積分，只需求出的一個原函數(shù)再加上一個常數(shù)即可。值得注意的是，一個函數(shù)的不定積分既不是一個數(shù)，也不是一個函數(shù)，而是一個函數(shù)族。例如：，有 ；，有；，有。注意：求不定積分時，不要忘記在一個原函數(shù)后面再加任意常數(shù)，否則求的只是一個原函數(shù)，不是所有的原函數(shù)，即不定積分。通常把求不定積分的方法稱為積分法。提問：積分運算與微分運算有什么樣的關系？小結：① ，此式表明，先求積分再求導數(shù)（或求微分），兩種運算的作用相互抵消。② ，此式表明，先求導數(shù)（或求微分）再求積分兩種運算的作用相互抵消后還留有積分常數(shù)。對這兩個式子，要熟練運用。基本積分公式課件展示：基本積分公式。說明：求不定積分就是求導數(shù)的逆運算。結合例題加以分析講解基本的積分公式，加深學生對于積分公式的記憶，常用的積分公式著重講解。強調：以上13個公式是積分法的基礎，必須熟記，不僅要記住等式右端的結果，還要熟悉左端被積分函數(shù)的形式。三、課堂演練練習題：求下列各式的不定積分。（1）；（2）；（3）；（4）。已知曲線上任意一點切線的斜率為，且該曲線過點，求曲線方程。四、課堂小結 本次課程的內容有：原函數(shù)的定義，不定積分的概念，基本積分公式。（5分鐘）（20分鐘）（25分鐘）（20分鐘）（15分鐘）（5分鐘）思考題、作業(yè)題、討論題：作業(yè)題： P73: , (1)(4). 課后總結分析：第 19次課 學時 2 授課題目（章，節(jié)）第三章 不定積分167。2不定積分性質授課類型（請打√）理論課√□ 研討課□ 習題課□ 復習課□ 其他□教學目的：正確理解不定積分的性質，掌握性質求簡單函數(shù)的不定積分。教學方法、手段： 講授法，板書。教學重點、難點：重點：不定積分的性質；難點：會利用性質求函數(shù)的不定積分。教學內容及過程設計補充內容和時間分配一、引入新課提問：上次課程我們學了不定積分的概念，引入實例，通過實例的求解，引入不定積分性質的話題，初步分析不定積分的性質。二、講授新課不定積分的性質1. 積分對于函數(shù)的可加性，即，可推廣到有限個函數(shù)代數(shù)和的情況，即。 設計思路：給出幾個例題，讓學生們練習不積分的可加性，加強學生對性質的理解。2. 積分對于函數(shù)的齊次性，即。說明：利用不定積分的基本積分公式和性質，就可以求一些簡單函數(shù)的不定積分。典型例題例1求下列各式的不定積分：（1）； （2）； （3）。講解：略例2求。 講解：略例3求。 講解：略例4求。例5求。例6求。例7 求。說明：不定積分性質運用，理解比較困難，這種加強例、習題的講解和練習，幫助學生掌握不定積分的性質。（15分鐘）（25分鐘）5分鐘學生消化以上所講的知識。（10分鐘）（5分鐘）（5分鐘）（5分鐘）（5分鐘）（5分鐘）（10分鐘）思考題、作業(yè)題、討論題：作業(yè)題： P73: （5）（12）. 課后總結分析：第 20 次課 學時 2 授課題目（章，節(jié)）第三章 不定積分167。3第一換元積分法授課類型（請打√）理論課√□ 研討課□ 習題課□ 復習課□ 其他□教學目的：熟練掌握第一換元積分法；會利用第一換元積分法求簡單函數(shù)的不定積分。教學方法、手段： 講授法，板書。教學重點、難點：重點：第一換元積分法；難點：會用第一換元積分法求函數(shù)的不定積分。教學內容及過程設計補充內容和時間分配一、引入新課引入一個例子，通過例題的講解；提問：你能通過例子總結一下不定積分的積分方法嗎？ 二、講授新課第一換元法的概念 給出不定積分，計算了它的原函數(shù)，注意：為復合函數(shù)。分析此不定積分：通過觀察在積分表中沒有此公式，只有，若將公式改寫為員。令，則上式變?yōu)?。這種先湊微分形式，再作代換的積分方法，叫做第一換元積分法。說明：第一換元積分法，又稱湊微分法。設計思路：講練結合，給出例題，讓學生們利用第一換元積分法求函數(shù)的不定積分，加強對上方法的理解和運用。利用第一換元法求函數(shù)不定積分的步驟。提問：通過以上對第一換元法例題的講解，同學們總結一下第一換元法求函數(shù)的不定積分的步驟是什么？小結：（1）先湊微分，即 湊微分 ；（2）變量代換后積分，令，令 ；（3）最后回代， 回代 。其中，第一步湊微分是關鍵，因而第一換元法又常稱為湊微分法。設計思路：給出例題，根據所講的求積分的步驟，求函數(shù)的不定積分，加強對此步驟的應用。三、課堂練習例1 求下列函數(shù)的不定積分。 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。四、課堂小結 本次課程的內容有：第一換元積分法的概念；不第一換元積分法求不定積分的步驟（15分鐘）（20分鐘）（20分鐘）5分鐘學生消化以上所講的知識。（25分鐘）（5分鐘）思考題、作業(yè)題、討論題：作業(yè)題： P73 P74: . 課后總結分析：第 21 次課 學時 2 授課題目（章，節(jié)）第三章 不定積分167。4第二換元積分法授課類型（請打√）理論課√□ 研討課□ 習題課□ 復習課□ 其他□教學目的：熟練掌握第二換元積分法；會利用第二換元積分法求函數(shù)的不定積分。教學方法、手段： 講授法，板書。教學重點、難點：重點：第二換元積分法；難點：會用第二換元積分法求函數(shù)的不定積分。教學內容及過程設計補充內容和時間分配一、引入新課回顧第一換元法。說明：第一換元法是先湊微分，再用新變量替換。但是有些積分是不容易湊微分的，需要新的積分方法。給出例子，分析、解答此問題。分析：在基本積分公式中，沒有類似被積函數(shù)的公式，這就不能直接積分；也找不到合適的湊微分的部分，第一換元法就不能用。如果先去掉根號，可令，則。解 = 設計思路：通過例題講解，引出第二積分法這一求解不易湊微分的求解積分的方法。二、講授新課第二換元法的概念 從以上例題的解法，可以看出，這種先換元，再積分，稱為第二換元積分法。 第二換元積分法的步驟第二換元積分法的步驟如下：（1）先換元，令，即；（2）再積分，即 積分 ；（3）最后回代，即 回代 。 強調：運用第二換元積分法的關鍵是選擇合適的變換函數(shù)。對于，要求單調可微，且，其中是的反函數(shù)。說明：（1）第一換元法先湊微分再換元；第二換元法是先換元再積分。（2）第二換元法常用的代換有冪代換和三角代換，當被積函數(shù)含有時，可作冪代換令；當被積函數(shù)含有，等表達式時，可作三角代換，分別令。三、典型例題例1 求下列函數(shù)的不定積分。（1）；（2）；（3）。講解：略點評：上述類型的習題，由于第一換元積分等方法不易求解，可根據第二積分換元法的解題步驟，逐次解答。四、課堂小結 本次課程的內容有：第二換元積分法的概念；第二換元積分法求不定積分。（20分鐘）（10分鐘）（25分鐘）5分鐘學生消化以上所講的知識。（20分鐘）（10分鐘）思考題、作業(yè)題、討論題：作業(yè)題： P74: . 課后總結分析：第 22 次課 學時 2 授課題目（章，節(jié)）第三章 不定積分167。5分部積分法授課類型（請打√）理論課√□ 研討課□ 習題課□ 復習課□ 其他□教學目的：熟練掌握分部積分法；會利用分部積分法求函數(shù)的不定積分。教學方法、手段： 講授法，板書。教學重點、難點：重點：分部積分法；難點：會用分部積分法求函數(shù)的不定積分。教學內容及過程設計補充內容和時間分配一、課前復習學生閱讀教材內容，復習第二換元積分法；鞏固學生們對上節(jié)課所學知識的理解，并復習上節(jié)課所學的知識點。二、講授新課 通過對第一換元積分法和第二換元積分法的理解，這節(jié)課學習一種新的積分方法。分部積分法設函數(shù)，都是連續(xù)可微函數(shù)，根據乘積微分公式，得，移項得，兩邊積分得上式，稱為分部積分公式。說明：（1）分部積分法是與乘積微分法則相對應的，也是一種基本積分法；（2）如果計算比較困難，而容易計算時，可利用分部積分公式，把求的問題轉化為求。（3）利用分部積分法求不定積分，有時需要多次使用分部積分公式才能得出結果。典型例題：求，？講解：略說明：分部積分的方法是不定積分常用的方法，通過例題講解加深學生對于分部積分方法的理解，要求學生熟練運用分部積分方法。利用分部積分公式，和選取的規(guī)律強調：利用分部積分法求不定積分時，有時多次使用分部積分公式，所求積分再次出現(xiàn)，于是得到一個關于所求不定積分的方程，解此方程便可得所求不定積分。在使用分部積分公式時，和的選取具有一定的規(guī)律性?，F(xiàn)歸納如下：（1），，可設；（2），，可設，；（3），設哪個函數(shù)為都可以。注意：此積分方法需要學生人熟練掌握，這是求不定積分的一種重要的方法。三、典型例題例1 求下列函數(shù)的不定積分。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。講解：略說明：分部積分法是求不定積分常用的方法，同學們在課后需加強練習。四、課堂小結 分部積分法是求不定積分的一種比較重要的方法，希望學生課后多加練習課后習題。（15分鐘）（25分鐘）（25分鐘）（20分鐘）（10分鐘）思考題、作業(yè)題、討論題：作業(yè)題： P74: . 課后總結分析：第 23 次課 學時 2 授課題目（章，節(jié)）第三章 不定積分167。6本章小結授課類型（請打√）理論課□ 研討課□ 習題課□ 復習課√□ 其他□教學目的：鞏固復習本章的知識點，加強學生對本章內容的理解和運用；教學方法、手段： 講授法，板書，課件展示。教學重點、難點：重點：正確理解本章的知識點；難點：會運用本章的知識點求解函數(shù)的不定積分。教學內容及過程設計補充內容和時間分配一、知識點復習原函數(shù)的概念。（課件展示）注意：原函數(shù)不是唯一的；不定積分的概念。（課件展示）說明：求不定積分的問題就是求導數(shù)的反問題。提問：求一個函數(shù)的不定積分，有哪幾種方法？第一換元積分法（課件展示）說明：第一換元積分法又稱湊微分法。求一個函數(shù)的不定積分，一般的步驟如下：（1）使用湊微分法，利用微分形式不變性，“湊”成一個在基本積分公式中的函數(shù)求出不定積分。如果不能使用湊微分法，再考慮下一步；（2）如果遇到二次根式或有理函數(shù)，那么就用第二換元積分法或有理函數(shù)的積分法。如果前面兩個方法都不能用，再考慮下一步；（3）如果沒有二次根式，遇到兩個不同類型的函數(shù)乘積，那么就用分部積分法。簡單的說，求函數(shù)不定積分的基本原則是，被積函數(shù)有根號時用第二換元積分法消去根號，被積函數(shù)無根號，遇到兩個不同類型的函數(shù)乘積用分部積分法。第二換元積分法（課件展示） 小結：用第二換元積分法計算不定積分，關鍵是要選擇合適的變換，使得新的被積函數(shù)具有原函數(shù)，再從中得出反函數(shù)，代入，即得的原函數(shù)。如果被積函數(shù)中含有被開方因式為一次式的根式時，令，可以消去根號，從而求得積分。如果被積函數(shù)中含有被開方因式為二次式的根式的情況，一般地說，可進行三角代換，當被積函數(shù)含有，可進