【正文】 的行數(shù)，而矩陣上面的數(shù)n1，n2，…，ns和p1，p2，…，pt分別表示它們下邊的小塊矩陣的列數(shù)，因而： m1+m2+…+mr=m，（1） n1+n2+…+ns=n，p1+p2+…+pt=p. 那么就有 P1 P2 … PtC11 C12… C1t m1C21 C22… C2t m2 AB= ┋ ┋ ┋ ┋Cr1 Cr2… Crt mr這里 Cij=AijB1j+….+Ai8B8j ,I=1,…，r；j=1，…，t。 現(xiàn)在來證明，（2）式成立。 由于對A和B 的分法，乘積AiqBqj（q=1，2，…，s）都有意義，都 是mi*pi矩陣，因而它們的和Cij也是mi*pj矩陣。于是由（1）式知，（2）式右端的矩陣。設(shè)用通常矩陣乘法得AB=（cij） 那么（cij）顯然也是m*p矩陣。因此我們只需證明，（Cij）和（cij）的對應(yīng)元素相等。 看任一元素cij。那么它是A的第i行與B的第j列的乘積：（3） cij=ai1b1j+…+ainbnj，由于 1≤i≤m=m1+…+mr，1≤j≤p=p1+…+pi，可以假定 i=m1+…+mh1+u， 1≤u≤mk； （4） j=p1+…+pk1+v， 1≤v≤pk于是與cij對應(yīng)的是小塊矩陣Chk中第u行第v列的元素的和，即Ah1，…，Ahs的第u 行分別與B1k，…，Bsk的第v列的乘積的和。但由（4），Ah1，…，Ahs的第u行湊起來就是A的第i行，而B1k，…，Bsk的第v列湊起來就是B的第j 列。所以 b1j （5） cuv=（ai1…ain1） ┊ +(ai,n1+) bn1j 比較（3）和（5），得cij= cuv。在某些情形，對矩陣進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆謮K，可以簡化計(jì)算。我們看兩個例子。例1 設(shè) 1 0 0 0 1 0 3 2 A= 0 1 0 0 B= 1 2 0 1 1 2 1 0 1 0 4 1 1 1 0 0 1 1 2 0為了求乘積AB，我們可以對A，B如下地分塊 1 0 0 0 0 1 0 0 I OA= = A1 I 1 2 1 0 1 1 0 0 因此求得： 1 0 3 2 1 2 0 1 AB= 2 4 1 1 1 1 5 3 例2 設(shè) A C P = O B是一 個n階正方陣，并且A，B分別為r階可逆正方陣，r+s=n。我們證明，P可逆。于是 AI AC B1 X = O B1 形式如 A1 O … O O A2 … O ……………… O O … As 的分塊矩陣，其中Ai是一個ni階的正方陣，叫做一個對角線分塊矩陣。設(shè)A1 O … O B1 O … O A= O A2 … O O B2 … O ……………… ， ………………… O O … As O O … O 是 兩個同階的對角線分塊矩陣,我們有 A1+B2 O … O A+B= O A2+B2 … O 。 ………………………………… O O … As+Bs A1B1 O … O AB= O A2B2 … O , ………………………… O O … AsBs 如果每一Ai都有逆,那么A也有逆,并且A1 1 O … O A1= O A21 … O . ……………… O O … As 1