【文章內(nèi)容簡介】 0 1 … 0 c2,r+1 … c2n …………………………… （3） 0 0 … 1 cr,r+1 … crn 0…………………………0 …………………………… 0…………………………0 繼續(xù)對 （3）施行第三種列初等變換，顯然可以把cij都化為零，因此，我們有定理 一個mn 矩陣A總可以通過初等變換化為以下形式的一個矩陣。 = 這里Ir 是r 階單位矩陣，Ost表示st的零矩陣、r等于A的秩。 特別，當(dāng)A是一個n階矩陣時，上面的矩陣ā是一個對角矩陣（即主對角線以外的元素都是0的矩陣）。，n階矩陣A是否可逆，決定于ā是否可逆。然而對角矩陣ā是否可逆很容易看出。當(dāng)ā等于單位矩陣I時，ā可逆。因為I本身就是I的逆矩陣。當(dāng)ā不等于I時，ā至少有一個元素全是零的行，因而右乘ā以任意一個n階矩陣B，所得的乘積āB中也至少有一個元素 全是零的行，所以ā不可逆。這樣，n階矩陣A可逆，當(dāng)且僅當(dāng)它可以通過初等變換化為單位矩陣I 。4 矩陣可逆的條件：定理 n階矩A可逆，當(dāng)且它可以寫成初等矩陣的乘積。證 A可以通過初等變換化為單位矩陣I，就是說，I可以通過初等變換化為A，也就是說，存在初等矩陣E1,…Es,Es+1,…,Et，使 A=E1…EsIEs+1…Et =E1…EsEs+1…Et 定理 n階矩陣A可逆當(dāng)且僅當(dāng)A的秩等于n。證 A可以通過初等變換化為單位矩陣I。就是說，A的秩等于n。 我們把n階矩陣 A= 的唯一的n階子式 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n ………………… an1 an2 … ann 叫做矩陣A的行列式，記作|A|。我們知道，A的秩等于n的充分且必要條件是 |A|≠0。 定理 n 階矩陣A可逆，當(dāng)且僅當(dāng)它的行列式 |A|≠0我們常需要求出一個可逆矩的逆矩陣來。現(xiàn)在給出兩種求逆矩陣的方法。第一種還是要用到初等變換。先說明以下事實：一個n階可逆矩陣A可以通過行初等變換化為單位矩陣I。事實上，|A|≠0。因此A的第一列至少有一個元素不等于零。我們顯然可以通過行初等變換把A化為 這里A1是一個n1階矩陣。行列式|A1|顯然等于矩陣（4）的行列式，而后者與|A|最多差一個不等于零的因子，因此|A1|≠0，從而A1的第一列至少有一個元素不等于零。于是通過行初等變換可由（4）得到 這里A2是一個n2階矩陣。這樣下去，最后我們得到單位矩陣I。但對于一個矩陣施行行初等變換相當(dāng)于以初等矩陣左乘這個矩陣，因此給了一個可逆矩陣A，可以找到一些初等矩E1，E2，…，Es，使（5） Es…E2E1A=I用A1右乘這個等式的兩端，得（6） Es…E2E1I=A1比較矩式（5）和（6）。5 求矩陣的方法：在通過行初等變換把可逆矩陣A化為單位矩陣I時，對單位矩陣I施行同樣的初等變換，就得到A的逆矩陣A1。例 1 求矩陣 A= 的逆矩陣。我們寫下A，并把單位矩陣I寫在A的右邊： , 我們施行行初等變換把A化為I。第二種求逆矩陣的方法是從行列式的性質(zhì)得來的。設(shè)n階矩陣 A= 那么以下等式成立： ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn= a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj = 這里Ast是行列式|A|中元素ast 的代數(shù)余子式，由此容易看出，若是令 = 那么 (7) AA*=A*A= 我們把矩陣A*叫做矩陣A的伴隨矩陣。當(dāng)A是可逆矩時，|A|≠0，因此由（7）得 A=A=I 這就是說（8） A1 = A* 這樣，我們得到了一個求逆矩陣的公式。利用這個公式去求逆矩陣，計算量一般很大，公式（8）的意義主要在理論方面。例如，我們可以應(yīng)用它來給出克萊姆規(guī)則的另一種推導(dǎo)法。考慮線性方程組 a11x1+a12x2+ … +a1nxn=b1, a21x1+a22x2+ … +a2nxn=b2 ……………………………… an1x1+an2x2+ … +annxn=bn利用矩陣的乘法可以把這個線性方程組寫成 (9) = , 這里（aij）=A是方程組的系數(shù)矩陣。當(dāng)方程組的行列式|A|≠0時，系數(shù)矩陣A可逆，用A的逆矩陣A1左乘（9）式的兩端，那么由（8）式得 = 由此，對i=1,2,…,n,有= =(b1A1i+b2A2i+…+bnAni) 這正是克萊姆規(guī)則給出的方程組的解。最后我們研究一下矩陣乘積的行列式和矩陣乘積的秩。我們將要得出兩個有用的結(jié)論。先看矩陣乘積的行列式。首先證明引理 一個n階矩A總可以通過第三種行和列的初等變換化為一個對角矩陣 = ,并且|A|=|ā|=d1d2…dn證 如果A的第一行和第一列的元素不都是零。那么必要時總可以通過第三種初等變換使左上角的元素不為零。于是再通過適當(dāng)?shù)牡谌N初等變換可以把A化為 .如果A的第一行和第一列的元素都是零，那么A已經(jīng)具有（10）的形式。對A1進行同樣的考慮，易見可用第三種初等變換逐步把A化為對角矩陣。根據(jù)行列式的性質(zhì)，我們有 |A|=|ā|=d1d2…dn 定理 設(shè)A，B是任意兩個n階矩陣。那么 |AB|=|A||B|證 先看一個特殊情形，即A是一個對角矩陣的情形。設(shè) A = . 令B=（bij），容易看出 AB = 因此由行列式的性質(zhì)得|AB|= =|A||B|現(xiàn)在看一般情形，可以通過第三種初等變換把A化為一個對角矩陣ā，并且|A|=|ā|。矩陣A也可以反過來通過對ā施行第三種初等變換而得出。這就是說，存在Tij(k)型T1,T2,…