[高等教育]線性代數(shù)矩陣理論基礎-資料下載頁
2025-01-19 19:05本頁面
【正文】 2132 ????nk kkknayxaaaa ?爪形行列式 kkk cayc ?1nk ,2 ?? 例 13 特征 2：第一行，第一列及對角線元素除外，其余元素全為零的行列式稱為爪型行列式。 70 1irr?2, 3, 4i ?計算 1 2 3 4,0a a a a ?12434x a x x xx x a x xDx x x a xx x x x a?????1121314000000x a x x xaaaaaa????爪型行列式 1 2 3 41 2 3 411 1 0 01 0 1 01 0 0 1x a x a x a x aa a a a????? 例 14 71 1 icc?2, 3, 4i ?42 3 411 2 3 410 1 0 00 0 1 00 0 0 1iix a x a x a x aa a a a?? ?41 2 3 41( 1 )i ixa a a aa??? ?1 2 3 41 2 3 411 1 0 01 0 1 01 0 0 1x a x a x a x aa a a a?????72 1 2 12 2 2 21 2 112 2 2 21 2 11 1 1 11 2 11 1 1 1( ) .nnnnn i jn i jn n n nnnn n n nnna a a aa a a aD a aa a a aa a a a??? ? ?? ? ? ??? ? ? ??? ? ??范德蒙德 (Vandermonde)行列式 例 15 證明 用數(shù)學歸納法 21211xxD ? 12 xx ?? ,)(12? ??? ?? ji ji xx(1) 當 n=2時 , 結論成立。 73 112112222121111????nnnnnnnxxxxxxxxxD???????11 ?? nn rxr211 ?? nn rxr?112 rxr ?)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn?????????????????????(2) 設 n1階范德蒙德行列式成立，再證 n階也成立。 74 223223211312111)())((???????nnnnnnxxxxxxxxxxxx??????? n1階范德蒙德行列式 )()())((211312 jjinin xxxxxxxx ????? ?????).(1jjini xx ?? ????證畢。 ,)(1 1 提出因子列展開，并把每列的公按第 xx i ?75 練習 2 .27931842111111)(,0)(32xxxxfxf ?? 的根求解： )23)(13)(12)(3)(2)(1()( ??????? xxxxf所以根為 x =1,2,3. 32 2 2b c c a a bD a b ca b c? ? ??練習 1 計算 222a b c a b c a b cabcabc? ? ? ? ? ??( ) ( ) ( ) ( )a b c b a c a c b? ? ? ? ? ?76 dcdcbabaDn?????2ddcdcbabaa000)1(11????????)1(2)12()12()1( ????? nnn Dad 例 16 77 00)1(21cdcdcbababn????????)1(21)12()1(2)12()12( )1()1( ??????? ???? nnnnn DbcDadnn bcadDbcad )()( )1(2 ????? ? ?78 計算 n 階行列式 211 2 11 2 11 2 112nnnD??解 將 按第一行展開得 nD2( 1 ) ( 1 )211 2 12 ( 1 )1 2 112nnnD? ? ?? ? ?3( 1 ) ( 1 )110 2 11 ( 1 )1 2 112nn? ? ?? ? ?122 nnDD???? 例 17 79 1 1 2n n n nD D D D? ? ????2 3 2 1nnD D D D??? ? ? ? ?21 2112? ? ?得遞推公式 1 1 ( 2, 3, )nnD D n?? ? ?.1,21 ??? nDD n所以特征 3：所求行列式某一行（列）至多有兩個非零元素。 練習 書 11 80 計算 n 階行列式 nnxxxxD??????????????????????????321?解： 拆分為則寫成把 nnnn Dxxx ,)( ?? ??????????????????????????????????????????????????????321321000xxxxxxxDnn??? 例 18 81 ),2,1()1(1 nirr ii ?????對第二個行列式用1)1()( ?? ????? nnnnn DxD ???????????????????????00000000000000133221????????nxxxxxx)()1()(111??? ???????????? jnjnnnn xDx)1()()(111??? ??????????? jnjnnnxDxD82 ）（的對稱性，和由 2)()(111????? ?????????? jnjnnnxDxD??????????????? ??)()(11jnjjnjnxxD）得）（由（時，當 21?? ?）得由（時，當 1?? ?)]([)(111??? ????????????jnjiinjjnjn xxD特征 4：除對角線元素外，上三角各元素相等，下三角 各元素相等。常用拆分法或數(shù)學歸納法求解。 83 特征 5：非零元素特別少（一般不多于 2個），可直接 利用行列式的定義求解。 行列式常用的計算方法： 化三角法、降階法（遞推法）、歸納法、定義法。 84 思考題 1 階行列式計算 411111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD?????? ?1?abc d已知85 解 22221 / 11 / 11 / 11 / 1a a ab b bDc c cd d d?22221 / 1 / 11 / 1 / 11 / 1 / 11 / 1 / 1a a ab b bc c cd d d?22221 1 / 1 /1 1 / 1 /1 1 / 1 /1 1 / 1 /a a ab b bab c dc c cd d d?.0?223221 1 / 1 /1 1 / 1 /( 1 )1 1 / 1 /1 1 / 1 /a a ab b bc c cd d d??? ?1?abc d已知86 思考題 2 階行列式設 nnnDn?????????00103010021321?求第一行各元素的代數(shù)余子式之和 .11211 nAAA ??? ?87 解 第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成 nAAA 11211 ??? ?n?????????001030100211111?.11!2???????? ?? ??nj jn
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