【正文】 問題2：你能寫出所得命題的逆命題嗎？并判斷真假？（逆命題中不能出現(xiàn)焦點與離心率）動點到定點的距離與它到定直線的距離的比等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓．【引出課題】橢圓的第二定義當點與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)時，這個點的軌跡是橢圓．定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準線，常數(shù)是橢圓的離心率．對于橢圓，相應于焦點的準線方程是．根據(jù)對稱性，相應于焦點的準線方程是．對于橢圓的準線方程是．可見橢圓的離心率就是橢圓上一點到焦點的距離與到相應準線距離的比，這就是離心率的幾何意義．由橢圓的第二定義可得：右焦半徑公式為；左焦半徑公式為典型例題例求橢圓的右焦點和右準線；左焦點和左準線；解：由題意可知右焦點右準線；左焦點和左準線變式：求橢圓方程的準線方程；解：橢圓可化為標準方程為：，故其準線方程為小結：求橢圓的準線方程一定要化成標準形式，然后利用準線公式即可求出例橢圓上的點到左準線的距離是，求到左焦點的距離為 .變式：求到右焦點的距離為 .解：記橢圓的左右焦點分別為到左右準線的距離分別為由橢圓的第二定義可知：又由橢的第一定義可知：另解：，所以點M到右準線的距離為小結：橢圓第二定義的應用和第一定義的應用例 點P與定點A（2，0）的距離和它到定直線的距離的比是1：2，求點P的軌跡；解法一：設為所求軌跡上的任一點，則由化簡得，故所的軌跡是橢圓。解法二：因為定點A（2，0）所以，定直線所以解得，又因為故所求的軌跡方程為變式：點P與定點A（2，0）的距離和它到定直線的距離的比是1：2，求點P的軌跡；分析：這道題目與剛才的哪道題目可以說是同一種類型的題目，那么能否用上面的兩種方法來解呢？解法一：設為所求軌跡上的任一點，則由化簡得配方得，故所的軌跡是橢圓，其中心在（1，0）解法二：因為定點A（2，0）所以，定直線所以解得，故所求的軌跡方程為問題1：求出橢圓方程和的長半軸長、短半軸長、半焦距、離心率；問題2：求出橢圓方程和長軸頂點、焦點、準線方程；解：因為把橢圓向右平移一個單位即可以得到橢圓所以問題1中的所有問題均不變，均為長軸頂點、焦點、準線方程分別為：，；長軸頂點、焦點、準線方程分別為：，；反思：由于是標準方程，故只要有兩上獨立的條件就可以確定一個橢圓，而題目中有三個條件，所以我們必須進行檢驗，又因為另一方面離心率就等于這是兩上矛盾的結果，所以所求方程是錯誤的。又由解法一可知，所求得的橢圓不是標準方程。小結：以后有涉及到“動點到定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)時”最好的方法是采用求軌跡方程的思路,但是這種方法計算量比較大；解法二運算量比較小，但應注意到會不會是標準方程，即如果三個數(shù)據(jù)可以符合課本例4的關系的話，那么其方程就是標準方程，否則非標準方程，則只能用解法一的思維來解。例設AB是過橢圓右焦點的弦，那么以AB為直徑的圓必與橢圓的右準線（ ） 分析：如何判斷直線與圓的位置關系呢？解：設AB的中點為M，則M即為圓心，直徑是|AB|；記橢圓的右焦點為F，右準線為；過點A、B、M分別作出準線的垂線，分別記為由梯形的中位線可知又由橢圓的第二定義可知即又且故直線與圓相離例已知點為橢圓的上任意一點，、分別為左右焦點；且求的最小值分析：應如何把表示出來解：左準線：，作于點D，記由第二定義可知： ? ? 故有所以有當A、M、D三點共線時，|MA|+|MD|有最小值：即的最小值是變式1：的最小值；解：F1AMD變式2：的最小值；解：鞏固練習1．已知 是橢圓 上一點，若 到橢圓右準線的距離是 ，則 到左焦點的距離為_____________．2．若橢圓 的離心率為 ，則它的長半軸長是______________．答案：1． 2．1或2教學反思1．橢圓第二定義、焦半徑公式、準線方程；2．橢圓定義的簡單運用；3．離心率的求法以及焦半徑公式的應用；課后作業(yè)；2. 已知 ， 為橢圓 上的兩點， 是橢圓的右焦點．若 ， 的中點到橢圓左準線的距離是 ，試確定橢圓的方程．解：由橢圓方程可知 、兩準線間距離為 ．設 ， 到右準線距離分別為 ， ，由橢圓定義有 ，所以 ，則 ， 中點 到右準線距離為 ，于是 到左準線距離為 ， ，所求橢圓方程為 ．思考：1．方程表示什么曲線？解：；即方程表示到定點的距離與到定直線的距離的比常數(shù)（且該常數(shù)小于1）方程表示橢圓例Ⅱ、（06四川高考15）如圖把橢圓的長軸AB分成8等分，過每個等分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則=解法一：，設的橫坐標為，則不妨設其焦點為左焦點由得解法二：由題意可知和關于軸對稱，又由橢圓的對稱性及其第一定義可知，同理可知，故板書設計：復習回顧引入課題問題：推廣：橢圓第二定義典型例題1． 2． 3． 4． 5．課堂練習：課堂小結：課后作業(yè)：思考：2. 橢圓中焦點三角形的性質及應用定義：橢圓上任意一點與兩焦點所構成的三角形稱為焦點三角形。性質一：已知橢圓方程為兩焦點分別為設焦點三角形中則。性質二：已知橢圓方程為左右兩焦點分別為設焦點三角形，若最大，則點P為橢圓短軸的端點。證明：設,由焦半徑公式可知：，在中， = 性質三：已知橢圓方程為兩焦點分別為設焦點三角形中則證明：設則在中，由余弦定理得： 命題得證。（2000年高考題）已知橢圓的兩焦點分別為若橢圓上存在一點使得求橢圓的離心率的取值范圍。簡解：由橢圓焦點三角形性質可知即 ,于是得到的取值范圍是性質四：已知橢圓方程為兩焦點分別為設焦點三角形，則橢圓的離心率。 由正弦定理得：由等比定理得：而， ∴。已知橢圓的焦點是F1(－1，0)、F2(1，0)，P為橢圓上一點，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中項．(1)求橢圓的方程；(2)若點P在第三象限，且∠PF1F2＝120176。，求tanF1PF2．解：(1)由題設2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝ ∴橢圓的方程為＝1．(2)設∠F1PF2＝θ，則∠PF2F1＝60176。－θ橢圓的離心率 則，整理得：5sinθ＝(1＋cosθ)∴故，tanF1PF2＝tanθ＝．2．2．1　雙曲線及其標準方程◆ 知識與技能目標理解雙曲線的概念，掌握雙曲線的定義、會用雙曲線的定義解決實際問題；理解雙曲線標準方程的推導過程及化簡無理方程的常用的方法；了解借助信息技術探究動點軌跡的《幾何畫板》的制作或操作方法．◆ 過程與方法目標（1）預習與引入過程預習教科書56頁至60頁，當變化的平面與圓錐軸所成的角在變化時，觀察平面截圓錐的截口曲線（截面與圓錐側面的交線）是什么圖形？又是怎么樣變化的？特別是當截面與圓錐的軸線或平行時，截口曲線是雙曲線，待觀察或操作了課件后，提出兩個問題：第一、你能理解為什么此時的截口曲線是雙曲線而不是兩條拋物線；第二、你能舉出現(xiàn)實生活中雙曲線的例子．當學生把上述兩個問題回答清楚后，要引導學生一起思考與探究P56頁上的問題（同桌的兩位同學準備無彈性的細繩子兩條（一條約10cm長，另一條約6cm每條一端結一個套）和筆尖帶小環(huán)的鉛筆一枝，教師準備無彈性細繩子兩條（一條約20cm，另一條約12cm，一端結個套，另一端是活動的），圖釘兩個）．當把繩子按同一方向穿入筆尖的環(huán)中，把繩子的另一端重合在一起，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的圖形是雙曲線．啟發(fā)性提問：在這一過程中，你能說出移動的筆小（動點）滿足的幾何條件是什么？〖板書〗167。2．2．1雙曲線及其標準方程．（2）新課講授過程（i）由上述探究過程容易得到雙曲線的定義．〖板書〗把平面內(nèi)與兩個定點，的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點的軌跡叫做雙曲線（hyperbola）．其中這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩定點間的距離叫做雙曲線的焦距．即當動點設為時，雙曲線即為點集．（ii）雙曲線標準方程的推導過程提問：已知橢圓的圖形，是怎么樣建立直角坐標系的？類比求橢圓標準方程的方法由學生來建立直角坐標系． 無理方程的化簡過程仍是教學的難點，讓學生實際掌握無理方程的兩次移項、平方整理的數(shù)學活動過程． 類比橢圓：設參量的意義：第一、便于寫出雙曲線的標準方程；第二、的關系有明顯的幾何意義． 類比：寫出焦點在軸上，中心在原點的雙曲線的標準方程．（iii）例題講解、引申與補充例1 已知雙曲線兩個焦點分別為，雙曲線上一點到，距離差的絕對值等于，求雙曲線的標準方程．分析：由雙曲線的標準方程的定義及給出的條件，容易求出．補充：求下列動圓的圓心的軌跡方程：① 與⊙：內(nèi)切，且過點；② 與⊙：和⊙：都外切；③ 與⊙：外切，且與⊙：內(nèi)切．解題剖析：這表面上看是圓與圓相切的問題，實際上是雙曲線的定義問題．具體解：設動圓的半徑為．① ∵⊙與⊙內(nèi)切，點在⊙外，∴，因此有，∴點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的左支，即的軌跡方程是；② ∵⊙與⊙、⊙均外切，∴，因此有，∴點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的上支，∴的軌跡方程是；③ ∵與外切，且與內(nèi)切，∴，因此，∴點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的右支，∴的軌跡方程是．例2 已知，兩地相距，在地聽到炮彈爆炸聲比在地晚，且聲速為，求炮彈爆炸點的軌跡方程．分析：首先要判斷軌跡的形狀，由聲學原理：由聲速及，兩地聽到爆炸聲的時間差，即可知，兩地與爆炸點的距離差為定值．由雙曲線的定義可求出炮彈爆炸點的軌跡方程． 擴展：某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀察點的報告：正西、正北兩個觀察點同時聽到了一聲巨響，正東觀察點聽到該巨響的時間比其他兩個觀察點晚．已知各觀察點到該中心的距離都是．試確定該巨響發(fā)生的位置（假定當時聲音傳播的速度為；相關點均在同一平面內(nèi)）．解法剖析：因正西、正北同時聽到巨響，則巨響應發(fā)生在西北方向或東南方向，以因正東比正西晚，則巨響應在以這兩個觀察點為焦點的雙曲線上．如圖，以接報中心為原點，正東、正北方向分別為軸、軸方向，建立直角坐標系，設、分別是西、東、北觀察點，則，． 設為巨響發(fā)生點，∵、同時聽到巨響，∴所在直線為……①，又因點比點晚聽到巨響聲，∴．由雙曲線定義知，，∴，∴點在雙曲線方程為……②．聯(lián)立①、②求出點坐標為．即巨響在正西北方向處．探究：如圖，設，的坐標分別為，．直線，相交于點，且它們的斜率之積為，求點的軌跡方程，并與167。2．1．例3比較，有什么發(fā)現(xiàn)？探究方法：若設點，則直線，的斜率就可以用含的式子表示，由于直線，的斜率之積是，因此，可以求出之間的關系式，即得到點的軌跡方程．◆ 情感、態(tài)度與價值觀目標通過課件（）的展示與操作，必須讓學生認同：與圓錐的軸平行的平面去截圓錐曲面所得截口曲線是一條雙曲線而不是兩條拋物線；必須讓學生認同與體會：雙曲線的定義及特殊情形當常數(shù)等于兩定點間距離時，軌跡是兩條射線；必須讓學生認同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標系的兩個原則，及引入?yún)⒘康囊饬x，培養(yǎng)學生用對稱的美學思維來體現(xiàn)數(shù)學的和諧美；讓學生認同與領悟：像例1這基礎題配備是必要的，但對定義的理解和使用是遠遠不夠的，必須配備有一定靈活性、有一定的思維空間的補充題；例2是典型雙曲線實例的題目，對培養(yǎng)學生的辯證思維方法，會用分析、聯(lián)系的觀點解決問題有一定的幫助，但要準確判定爆炸點，必須對此題進行擴展，培養(yǎng)學生歸納、聯(lián)想拓展的思維能力．◆能力目標（1） 想象與歸納能力：能根據(jù)課程的內(nèi)容能想象日常生活中哪些是雙曲線的實際例子，能用數(shù)學符號或自然語言的描述雙曲線的定義，能正確且直觀地繪作圖形，反過來根據(jù)圖形能用數(shù)學術語和數(shù)學符號表示．（2） 思維能力：會把幾何問題化歸成代數(shù)問題來分析，反過來會把代數(shù)問題轉化為幾何問題來思考，培養(yǎng)學生的數(shù)形結合的思想方法；培養(yǎng)學生的會從特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學生的辯證思維能力．（3） 實踐能力：培養(yǎng)學生實際動手能力，綜合利用已有的知識能力．（4） 數(shù)學活動能力：培養(yǎng)學生觀察、實驗、探究、驗證與交流等數(shù)學活動能力．（5） 創(chuàng)新意識能力：培養(yǎng)學生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問題的能力，探究解決問題的一般的思想、方法和途徑．練習：第60頁作業(yè)：第66頁2．2．2　雙曲線的簡單幾何性質◆ 知識與技能目標了解平面解析幾何研究的主要問題：（1）根據(jù)條件，求出表示曲線的方程；（2）通過方程，研究曲線的性質．理解雙曲線的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點、漸近線的概念；掌握雙曲線的標準方程、會用雙曲線的定義解決實際問題；通過例題和探究了解雙曲線的第二定義，準線及焦半徑的概念，利用信息技術進一步見識圓錐曲線的統(tǒng)一定義．◆ 過程與方法目標（1）復習與引入過程引導學生復習得到橢圓的簡單的幾何性質的方法，在本節(jié)課中不僅要注意通過對雙曲線的標準方程的討論，研究雙曲線的幾何性質的理解和應用，而且還注意對這種研究方法的進一步地培養(yǎng)．①由雙曲線的標準方程和非負實數(shù)的概念能得到雙曲線的范圍；②由方程的性質得到雙曲線的對稱性；③由圓錐曲線頂點的統(tǒng)一定義，容易得出雙曲線的頂點的坐標及實軸、虛軸的概念；④應用信息技術的《幾何畫板》探究雙曲線的漸近線問題；⑤類比橢圓通過的思考問題，探究雙曲線的扁平程度量橢圓的離心率．〖板書〗167。2．2．2雙曲線的簡單幾何性質．（2）新課講授過程（i）通過復習和預習，對雙曲線的標準方程的討論來研究雙曲線的幾何性質．提問：研究雙曲線的幾何特征有什