分類(lèi)討論思想在高考中的應(yīng)用-資料下載頁(yè)
2025-04-16 23:41本頁(yè)面
【正文】 足方程：2x2+y22axby=0. 設(shè)方程⑤所表示的曲線為L(zhǎng)， 則由，得（2a2+b2）x24ax+2b2=0 由于Δ=8b2(a2+1)，由已知a2+≤1 所以當(dāng)a2+=1時(shí)，Δ=0， 曲線L與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P（a,b）. 當(dāng)a2+＜1時(shí)Δ＜0，曲線L與橢圓無(wú)交點(diǎn)， 而因?yàn)椋?，0）在橢圓C內(nèi)，又在曲線L上， 所以曲線L在橢圓C內(nèi). 故點(diǎn)Q的軌跡方程為2x2+y22axby=0. （2）由，解得或， 又由，解得或， 則①當(dāng)a=0,b=0,即點(diǎn)P(a,b)為原點(diǎn). 曲線L與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)(0,0) ②當(dāng)a=0且0＜|b|≤時(shí), 即點(diǎn)P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的y軸上時(shí), 點(diǎn)(a,0)與(0,0)重合，曲線L與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)(0,b)與(0,0) ③當(dāng)b=0且0＜|a|≤1時(shí)， 即點(diǎn)P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的x軸上時(shí), 曲線L與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)(a,0)與(0,0). ④當(dāng)0＜|a|＜1且0＜|b|＜時(shí), 即點(diǎn)P(a,b)在橢圓C內(nèi)且不在坐標(biāo)軸上時(shí), 曲線L與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)(a,0),(0,b)與(0,0). 總結(jié)升華：本題充分運(yùn)用了分類(lèi)討論的思想方法,以及綜合運(yùn)用知識(shí)解題的能力,此題運(yùn)算量大,涉及知識(shí)點(diǎn)較多,需要較高的運(yùn)算能力和邏輯推理能力,做為考題區(qū)分度好,特別是分類(lèi)討論時(shí)易出錯(cuò). 舉一反三： 【變式1】討論k的取值，說(shuō)明方程表示的曲線. 解析：方程中x、y的平方項(xiàng)系數(shù)是否為0，是否相等決定著方程表示的曲線， 故需要對(duì)k值就以上情況分類(lèi)討論. 當(dāng)k2=0即k=0時(shí)，方程化為，表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，x軸為對(duì)稱軸，開(kāi)口向左的拋物線. 當(dāng)2k1=0即時(shí)，方程化為x(x8)=0 ∴x=0或x=8，表示y軸和過(guò)點(diǎn)(8，0) 斜率不存在的兩平行直線. 當(dāng)k2=2k1,即k=1時(shí)，方程化為，表示以(1，0)為圓心，半徑為1的圓 當(dāng)k≠0，k≠1時(shí) 方程可化為 當(dāng) 方程表示焦點(diǎn)在平行y軸直線上，中心在的橢圓 當(dāng)時(shí)，方程表示以為中心，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線. 【變式2】已知圓x2+y2=1和雙曲線(x1)2y2=1，直線l與雙曲線交于不同兩點(diǎn)A、B，且線段AB的中點(diǎn)恰是l與圓相切的切點(diǎn)，求直線l的方程. 解析：當(dāng)l斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性可知：l方程為x=1 當(dāng)l斜率存在時(shí)設(shè)l方程為y=kx+b 由l與圓相切 l方程代入雙曲線整理得(1k2)x22(kb+1)xb2=0 (1k2≠0)，△＞0 設(shè)A(x1，y1)，B(x2,y2)，AB中點(diǎn)為M ， 由AB⊥OM，整理得k2+1+2kb=0 將k2+1=b2代入 ∴b2+2bk=0,b(b+2k)=0 ∵b≠0，否則l過(guò)原點(diǎn)與圓不相切 ∴b=2k，解方程組 得 經(jīng)檢驗(yàn)△＞0 ∴l(xiāng)的方程為x=1或.
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