【導(dǎo)讀】在生產(chǎn)實踐中，試制新產(chǎn)品、改革工藝、尋求好的生產(chǎn)條件等，這些都需要做試驗，而試驗總是要花費時間，消耗人力、物力。此，試驗的次數(shù)應(yīng)盡可能少。如4個3水平的因素，要做34＝81次試驗；6個5水平的因素，要做56＝15625次試驗。能否減少試驗次數(shù)，而又不影響試驗效果呢？格式如表4-1所示。素的個數(shù)，n是安排試驗的次數(shù)（行數(shù)）。列中不同的數(shù)字是1，2，3。它們各出現(xiàn)三次。在任意兩列中，將同一行的兩個數(shù)字看成有序數(shù)對時，個因素分別為生料中礦化劑的用量、燒成溫度、保溫時間，情況從27個試驗中選取9個，它們的序號分別為1，5，9，11，15，水平，而且燒成溫度對抗壓強度的影響是3個因素中最小的。中最高的，這也說明我們找出的最好方案是符合實際的。一定的差距，最終還是要接受實踐的檢驗。定的情況下，正交表并不是唯一的，常見的正交表見本書末附表4。是綜合平衡法的缺點。

　　

【正文】 + e3= m? a1+b2+ ( ab )12+ c2+d1+ e4= m? a2+b1+ ( ab )21+ c1+d2+ e5= m? a2+b1+ ( ab )21+ c2+d1+ e6= m? a2+b2+ ( ab )22+ c1+d1+ e7= m? a2+b2+ ( ab )22+ c2+d2+ e8有交互作用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式= m + a i+bj+ ( ab )ij+ck+dl+ et表 452 L9(34)正交表及數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式 列號 1 2 3 4 指標(biāo)試驗號 A B C xt= m + ai+bj+ck+ et1 1 1 1 1 x1= m? a1+b1+c1+ e12 1 2 2 2 x2= m? a1+b2+c2+ e23 1 3 3 3 x3= m? a1+b3+c3+ e34 2 1 2 3 x4= m? a2+b1+c2+ e45 2 2 3 1 x5= m? a2+b2+c3+ e56 2 3 1 2 x6= m? a2+b3+c1+ e67 3 1 3 2 x7= m? a3+b1+c3+ e78 3 2 1 3 x8= m? a3+b2+c1+ e89 3 3 2 1 x9= m? a3+b3+c2+ e9數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式= m + ai+bj+ ( ab )ij1+ ( ab )ij2+ et= m + a1+b1+ ( ab )111+ ( ab )112+ e1= m + a1+b2+ ( ab )121+ ( ab )122+ e2= m + a1+b3+ ( ab )131+ ( ab )132+ e3= m + a2+b1+ ( ab )211+ ( ab )212+ e4= m + a2+b2+ ( ab )221+ ( ab )222+ e5= m + a2+b3+ ( ab )231+ ( ab )232+ e6= m + a3+b1+ ( ab )311+ ( ab )312+ e7= m + a3+b2+ ( ab )321+ ( ab )322+ e8= m + a3+b3+ ( ab )331+ ( ab )332+ e9有交互作用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式??? ???? k kj ji it cbaN .0,0,0.),0( 2 相互獨立?e(A譈) 1 (A譈) 2(2) 考慮交互作用 因素 A、 B， L9（ 34） 正交表的任意兩列間的交互作用為另外兩列 ， 將 A、 B安排在 2列 ， 則 A B占 4兩列 。 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式見表 452。 正交設(shè)計中的效應(yīng)計算 ??????? ni ttni ttxx1212 )(m i n)?( mm 由下式： xt= mt+ et ， t = 1， 2， 3， … .， n. et 是隨機誤差 ， 我們要對 mt 作出估計 ， 即求出 mt 的估計值 ， 使得滿足： m? 由 L4（ 23） 正交表上的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式 ，得殘差平方和為： ? ?? ?? ?? ?22222422112321221221111112)()()()()(abbaxabbaxabbaxabbaxxSnitt?????????????????????? ??mmmmm? ?? ?? ?? ?0)(2)(2)(2)(222224211231221211111????????????????????????abbaxabbaxabbaxabbaxSmmmmm令得出 )(414321 xxxx ????m記為： x?m? 由于 a1+ a2 = 0， b1+ b2 = 0， (ab)11+ (ab)21 = 0， (ab)12+ (ab)22 = 0 為了使 S達到最小 ,采用最小二乘法 ， 求 mt 的估計值 ， 就是求 m， ai ， bj ， (ab)ij 的估計值 。 tm?ijji abba ,?,?,?m? ?? ?0)(2)(212212111111??????????????abbaxabbaxaSmm令所以： mm ????? 1211 2 Axxa記為： m?? 11 ?? Aa 由于 b1+ b2 = 0， (ab)11+ (ab)12 = 0 A因素第一水平指標(biāo)平均值。 mmm??????221122??????BbBbAa同 理 對應(yīng)水平的 指標(biāo)平均值 。 ? ? 0)(2)( 1111111???????? ? abbaxab S m令所以： m???? 11111)( baxab記為： 同 理 對應(yīng)因素水平搭配的指標(biāo)平均值 。 m???)( 111111 ???? baBAabA1B1水平搭配的指標(biāo)平均值。 mmm???)(???)(???)(222222121221212112????????????baBAabbaBAabbaBAab對應(yīng)因素水平搭配的指標(biāo)平均值 。 ????xcbCBbcxcaCAacxbaBAabkjkjjkkikiikjijiij??????????????)(??)(??)(xDdxCcxBbxAallkkjjii???????????? 采用相同的方法 ， 其它的正交表有一般的效應(yīng)計算公式： 各因素水平的指標(biāo)平均值 。 最優(yōu)方案下指標(biāo)值 （ 理論值 ） 的預(yù)估計 在正交設(shè)計中 ， 無論是用一般計算還是用效應(yīng)計算分析法 ，都能確定最優(yōu)方案 。 如果正交表中正好有這個最優(yōu)方案 ， 則在這個方案下的指標(biāo)值已通過試驗得出 。 如果正交表中沒有這個最優(yōu)方案 ， 可以按這個方案再試驗一次得出最優(yōu)指標(biāo)值 。 若不通過試驗 ， 由理論分析能否對最優(yōu)方案的指標(biāo)值作出合理的估計呢 ？ 例 求 例 . 解 : 參看 表 453。 各效應(yīng)值的計算與分析見 表 453所示。 回答是肯定的： 對指標(biāo)值既能作出點估計又能作出區(qū)間估計 。 下面以一個實例 ， 并且利用微軟公司的 Excel電子表格軟件 ， 對正交試驗設(shè)計與數(shù)據(jù)處理的直觀分析法 （ 包括直觀分析圖 ） 、 方差分析法 、 效應(yīng)分析法三種方法 ， 進行一個綜合性的計算分析說明 ， 學(xué)會用計算機來進行數(shù)據(jù)處理與分析 。 例 某農(nóng)藥廠生產(chǎn)某種農(nóng)藥 ， 指標(biāo)是農(nóng)藥的收率 ， 顯然是越大越好 。 據(jù)經(jīng)驗知 ， 影響農(nóng)藥收率的因素有 4個 ， 每個因素都是兩水平的 ， 具體參數(shù)見表 454a所示 。 考慮 A、 B的交互作用 。 選用正交表 L8（ 27） 安排試驗 ， 按試驗號依次進行試驗 。 得出試驗結(jié)果分別為 （ %） ： 8 9 9 9 9 98 88。 試進行直觀 、 方差及效應(yīng)分析 。 解 : 1) 打開電子表格 2） 選用 L8（ 27） 正交表 ， 從第 A列第 2行的單元格A2開始輸入 L8（ 27） 正交表 ， 將 sheet1重命名為 L8（ 27） 正交表 。 3） 直觀分析 （ 包括直觀分析圖的制作過程 ） 的計算過程 4） 方差分析的計算過程 5） 效應(yīng)分析的計算過程 此時效應(yīng)的數(shù)學(xué)模型為： i j k llkijjii j k l dcabbax em ??????? )(最優(yōu)方案下指標(biāo)值的點估計計算如下： 在進行最優(yōu)方案下指標(biāo)值的點估計時 ， 應(yīng)只考慮顯著性因素的效應(yīng) ， 不顯著因素的效應(yīng)值應(yīng)忽略不計并入誤差項 。 最優(yōu)方案下的指標(biāo)值的點估計式為： lkijjilkijjidcabbaxdcabba????????????)()(?? mm 優(yōu)忽略不顯著因素 A、 B、 D的效應(yīng)值 212 , dba將 221 ,)(, cabx 的效應(yīng)值代入上式中，得： )(?21221212221??????????????xCBAxCxbaBAxcabx優(yōu)m下面對工程平均值 進行區(qū)間估計。 m真正的 m 值和其估計值 m? 之間有差異，它們滿足關(guān)系式： 0,? ???? ??mm? 表示偏差。 可用下面的方法計算 ? ： ? ? ),1(~? 2eeEfFnMSF ??? mm其中 EMS 是誤差的均方值； en 是試驗的有效重復(fù)數(shù)。 對于正交設(shè)計： 顯著因素自由度之和 試驗總次數(shù)?? 1en給出檢驗水平 a ，查出 ),1( EfF a ，則： ? ?eEEeEEnMSfFnMSfF??????),1(,),1(? 22aa??mm)?,?(),(??,??m?mmm?mm?m?mm?????????所以上限的下限分別表示 , mmm 將因素 A、 B、 D的離差平方和并入誤差項得： ????? DBAEE SSSSS合并后的誤差自由度為： 51112 ????????? DBAEE fffff合并后的誤差均方為： ???EEE fSMS 顯著因素為 C和 A B， 自由度之和為 1+1 = 2，總試驗次數(shù)為 8， 所以： 3821 8 ???en給出顯著性水平 ?a ， 計算出臨界值 ?? )5,1(),1( Ea 6 . 6 1 由 8),1(??????eEEnMSfF?所以 ???? ?mm 優(yōu))100,(),(),(????mm因為指標(biāo)值是百分?jǐn)?shù)，所以上限值不會超過 100。 正交試驗總結(jié) 解決多因素 、 多水平試驗是確有成效的 。 用正交表進行試驗設(shè)計 ， 各因素各水平搭配是均衡的 ， 試驗次數(shù)不多 ， 但有較強的代表性 。 用直觀分析法 、 方差分析法和效應(yīng)分析法都能分析出各因素對試驗結(jié)果影響的大小 ， 從而確定出最好的試驗方案 。 用效應(yīng)分析還可以對指標(biāo)值進行趨勢估計 ，反過來可以指導(dǎo)我們的試驗過程 。 到第五章