【正文】 由于 2水平正交設計比較簡單，它的方差分析可以采用特殊的分析方法。 混合型正交一表的方差分析 與一般水平相同 ， 注意各列水平數(shù)的差別 ！！ 說明： ? ?? ???????????nknkkkTT xnxPQS1212 1試驗結(jié)果 試驗次數(shù) 2112 11 ???????? ????niknii xnKaSa因每個水平試驗次數(shù) 第 i 個水平試驗結(jié)果的和 水平數(shù) 例 為提高某礦物的燒結(jié)質(zhì)量 ,做下面配料試驗 ,各因素及其水平如 表 438所示 ， (單位： t),反映質(zhì)量好壞的試驗指標為含鐵量 ,分別為 ， ， ， ， ， ， ， 。在除銹效果達到要求的情況下，酸洗時間越短越好。 SE＝ SE1＋ SE2， 自由度 fE＝ fE1＋ fE2， SE2 的計算公式為： 21 11 1221? ?? ?? ?? ????????? nirjijnirjijE xrxS fE2＝ n（ r －１） 例 硅鋼帶取消空氣退火工藝試驗 。 重復取樣和重復試驗在計算 ST、 S因 、 SE 時 ， 方法是一樣的 。 )(2,1 EE ffF a若 F Fa ， 則 SE1 與 SE2 差別不顯著（相差不大）； SE＝ SE1＋ SE2 fE＝ fE1＋ fE2； 若 F Fa ， 則 SE1 與 SE2 有顯著差異，不能合并使用。 下面對幾個常用正交表 ， 分別寫出它們的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式 。 列號試驗號1 2 31 1 1 12 1 2 23 2 1 24 2 2 1A B指標x tx 1 ＝ m 11 ?e 1x 2 ＝ m 12 ?e 2x 3 ＝ m 21 ?e 3x 4 ＝ m 22 ?e 4數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)形式＝ m? a 1 + b 1 + e 1＝ m? a 1 + b 2 + e 2＝ m? a 2 + b 1 + e 3＝ m? a 2 + b 2 + e 4無交互作用時的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式＝ m? a 1 + b 1 +( ab ) 11 + e 1＝ m? a 1 + b 2 +( ab ) 12 + e 2＝ m? a 2 + b 1 +( ab ) 21 + e 3＝ m? a 2 + b 2 +( ab ) 22 + e 4有交互作用時的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式A譈其中： (ab)ij 為 Ai 、 Bj 組合下交互作用的效應。 表 451 L8(27)正交表及數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式 列號 A B C D 指標試驗號 1 2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 1 1 1 x1= m? a1+b1+c1+d1+ e12 1 1 1 2 2 2 2 x2= m? a1+b1+c2+d2+ e23 1 2 2 1 1 2 2 x3= m? a1+b2+c1+d2+ e34 1 2 2 2 2 1 1 x4= m? a1+b2+c2+d1+ e45 2 1 2 1 2 1 2 x5= m? a2+b1+c1+d2+ e56 2 1 2 2 1 2 1 x6= m? a2+b1+c2+d1+ e67 2 2 1 1 2 2 1 x7= m? a2+b2+c1+d1+ e78 2 2 1 2 1 1 2 x8= m? a2+b2+c2+d2+ e8xt m+ ai+bj+ck+dl+ et=數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式.),0( 2 相互獨立?e Nt ? a1+a2=0， b1+b2=0， c1+c2=0， d1+d2=0。 mmm???)(???)(???)(222222121221212112????????????baBAabbaBAabbaBAab對應因素水平搭配的指標平均值 。 下面以一個實例 ， 并且利用微軟公司的 Excel電子表格軟件 ， 對正交試驗設計與數(shù)據(jù)處理的直觀分析法 （ 包括直觀分析圖 ） 、 方差分析法 、 效應分析法三種方法 ， 進行一個綜合性的計算分析說明 ， 學會用計算機來進行數(shù)據(jù)處理與分析 。 3） 直觀分析 （ 包括直觀分析圖的制作過程 ） 的計算過程 4） 方差分析的計算過程 5） 效應分析的計算過程 此時效應的數(shù)學模型為： i j k llkijjii j k l dcabbax em ??????? )(最優(yōu)方案下指標值的點估計計算如下： 在進行最優(yōu)方案下指標值的點估計時 ， 應只考慮顯著性因素的效應 ， 不顯著因素的效應值應忽略不計并入誤差項 。 用效應分析還可以對指標值進行趨勢估計 ，反過來可以指導我們的試驗過程 。 對于正交設計： 顯著因素自由度之和 試驗總次數(shù)?? 1en給出檢驗水平 a ，查出 ),1( EfF a ，則： ? ?eEEeEEnMSfFnMSfF??????),1(,),1(? 22aa??mm)?,?(),(??,??m?mmm?mm?m?mm?????????所以上限的下限分別表示 , mmm 將因素 A、 B、 D的離差平方和并入誤差項得： ????? DBAEE SSSSS合并后的誤差自由度為： 51112 ????????? DBAEE fffff合并后的誤差均方為： ???EEE fSMS 顯著因素為 C和 A B， 自由度之和為 1+1 = 2，總試驗次數(shù)為 8， 所以： 3821 8 ???en給出顯著性水平 ?a ， 計算出臨界值 ?? )5,1(),1( Ea 6 . 6 1 由 8),1(??????eEEnMSfF?所以 ???? ?mm 優(yōu))100,(),(),(????mm因為指標值是百分數(shù)，所以上限值不會超過 100。 選用正交表 L8（ 27） 安排試驗 ， 按試驗號依次進行試驗 。 如果正交表中沒有這個最優(yōu)方案 ， 可以按這個方案再試驗一次得出最優(yōu)指標值 。 tm?ijji abba ,?,?,?m? ?? ?0)(2)(212212111111??????????????abbaxabbaxaSmm令所以： mm ????? 1211 2 Axxa記為： m?? 11 ?? Aa 由于 b1+ b2 = 0， (ab)11+ (ab)12 = 0 A因素第一水平指標平均值。 （ 2） 考慮交互作用 A、 B、 C、 D分別在 7列 ， 兩交互作用列應在 6列 ， 以 A B為例 ， 其余情況類似 。 （ 2） 考慮交互作用 A B 2,1)( ?????? jiabba ijjiij mm數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式見 表 450所示。 因素 A B C水平 成型水分（ % ） 碾壓時間（ m i n ） 料重（ k g/ 盤）1 9 8 3302 10 10 3603 11 12 400表 4 4 7 因素水平表 解： 選用 L8（ 34） 正交表做試驗 。 用 SE2 作為試驗誤差來檢驗各因素及交互作用 。 解： 選用 L4（ 23） 正交表安排試驗 ， 每個試驗號重復 5次 ， 試驗結(jié)果與計算列于 表 445。 方差計算與分析列于 表 44表 444。 擬水平法的方差分析 與一般方法無本質(zhì)性的區(qū)別， 在計算擬水平列時要注意各水平的重復次數(shù)不同 。試驗指標為抗壓強度 (kg/cm2),分別為 ， ， ， ， ， ， 。比如： 21 )()( BABABA SSS ??? ??（ 3）試驗誤差的離差平方和 SE 設 S因 +交 為所有因素以及要考慮的交互作用的離差平方和， 因為： ET SSS ?? ? 交因所以： 交因 ??? SSS TE自由度計算 )(1 試驗總次數(shù)總 nnf ??各因素自由度： )(1 水平數(shù)因 aa nnf ??兩因素交互作用的自由度： BABA fff ???試驗誤差自由度： 交因總 ??? fff E見表 433 所示 計算平均離差平方和（均方） MS 在計算各因素離差平方和時，我們知道，它們是若干項平方的和，它們的大小與項數(shù)有關(guān)，因此，不能確切地反映各因素的情況。 m 個因素的試驗（ m＝ 9）； 試驗次數(shù)（ n＝ 27）； 試驗結(jié)果分別為： x1， x2， … ， xk， … ， xn； 每個因素有 na 個水平（ na＝3）； 每個水平做 a次試驗（ a＝ 9）， 則 n＝ ana＝ 3 9 ＝ 27。 請自學 例 、例 表 2 5 L 8 （ 4 1 2 7 ）正交表 正交試驗設計的方差分析 本節(jié)用方差分析法對正交試驗的結(jié)果作進一步的分析。舉典型的例子加以說明。正交拉丁方只有兩個。 （ 2） L8（ 27） 正交表的構(gòu)造法 ① 取標準阿陣 H8 如下： ?????????????????????????????????????????????????????11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111118H、 2個水平正交表的阿達瑪矩陣法 ② 去掉全 1 列； ③ 將 － 1 改寫為 2，并按順序配上列號、行號，就得到正交表 L8（ 27）， 見 表 421。 感興趣： 第一列，第一行全為 1 的阿陣。 最后要說明一點 ， 在這里只考慮兩列間的交互作用 A B、 B C、 A C， 3個因素的交互作用 A B C， 一般影響很小 ， 這里不去考慮它 。試安排試驗，并分析試驗結(jié)果，找出最好的方案。 交互作用表 下面介紹交互作用表和它的用法， 表 417就是正交表 L8（ 27）所對應的交互作用表。 從試驗結(jié)果看 8號試驗為最好 。 如何將 C變成 3水平的因素呢 ？ 從 C中的 1和 2水平中選一個水平讓它重復一次作為第 3水平 ， 這就叫虛擬水平 。按這個方案進行試驗，將得出的試驗結(jié)果放在正交表的右邊，然后進行分析，見 表 412。 混合水平正交試驗設計 混合水平正交表就是各因素的水平數(shù)不完全相等的正交表。 從表 49看出 ， A、 D兩個因素的極差都很大 ， 是對試驗影響很大的兩個因素 ， A D1為好； B因素的極差比 A、 D的極差小 ，對試驗的影響比 A、 D都??； B因素取 B3為好； C因素的極差最小 ，影響最小 ， C取 C2為好 。 有影響的因素有 4個 ， 各有 3個水平 ， 具體情況如 表 48所示 。 從 圖 B均取 8為最好 —— 即取