【文章內容簡介】 是唯一的。 、拉丁方 感性趣 正交拉丁方。 定義：設有兩個同階的拉丁方，如果對第一個拉丁方排列著相同字母的各個位置上，第二拉丁方在同樣位置上排列著不同字母，則稱這兩個拉丁方為互相正交的拉丁方。 BACACBCBAACBBACCBA3階拉丁方 與 是正交拉丁方。正交拉丁方只有兩個。 四階正交拉丁方 ABCDBADCCDABDCBABADCCDABABCDDCBA與 4階拉丁方中 ， 正交拉丁方只有 3個； 5階拉丁方中 ， 正交拉丁方只有 4個； 6階拉丁方中 ， 正交拉丁方只有 5個； 數(shù)學上已經(jīng)證明： n 階拉丁方的正交拉丁方個數(shù)為：（ n－ 1） 個 。 、拉丁方 、拉丁方 將字母拉丁方改寫為數(shù)字拉丁方性質沒有影響。比如 3 階拉丁方可寫為： 213132321132213321與 為正交拉丁方。 3水平正交表的構造 首先考慮兩個 3 水平因素 A、 B， 把它們所有水平搭配都寫出來 32 ＝ 9個， 按下面的方式排成兩列 ： 4列 3列 1 21 1 12 1 23 1 34 2 15 2 26 2 37 3 18 3 29 3 3這兩列叫做基本列然后寫出兩個3 階的正交拉丁方：123231312和123312231將 這 兩 個 正 交 拉 丁 方 的 1 ， 2 ， 3 列 ， 分 別 按 順 序 連 成 一 列 （ 共 得 兩列 ） ， 放 在 兩 個 基 本 列 的 右 面 ， 構 成 一 個 4 列 9 行 的 矩 陣 ， 再 配 上 列 號、行號，就得出正交表 L 9 （ 3 4 ），見表 4 2 2 。 4水平正交表 ① 因素 A、 B兩個 4水平的全排列 42＝ 16個，構成 基本列 ； ② 三個正交拉丁方，按 1， 2， 3， 4列分別按順序排成 1列，共 3列，放在基本列右則，得 5列 16行矩陣。 得表 423，為 L16（ 45） 正交表 。 3 4 5 1 21 1 12 1 23 1 34 1 45 2 16 2 27 2 38 2 49 3 110 3 211 3 312 3 413 4 114 4 215 4 316 4 4這兩列叫做基本列這兩列叫做基本列123421433412432112343412432121431234432121433412配 上 三 個 正 交 拉 丁 方 混合型正交表的構造法 混合型正交表可以由一般水平數(shù)相等的正交表通過“并列法”改造而成。舉典型的例子加以說明。 例 混合型正交表 L8（ 4 24） 的構造法。 解： （ 1）先列出正交表 L8（ 27）， 見 表 424。 （ 2） 取出 表 424中的 1， 2列 ， 將數(shù)對 （ 1， 1） 、 （ 1， 2） 、 （ 2， 1） 、 （ 2， 2） 與單數(shù)字 1， 2， 3， 4依次對應 ， 作為 新表第 1列 。 （ 3） 去掉 1 2的第 3列 。交互作用。 （ 4） 4， 5， 6， 7列左移，依次變?yōu)樾卤淼?2， 3， 4， 5列 。 列號行號1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 2 2 2 23 1 2 2 1 1 2 24 1 2 2 2 2 1 15 2 1 2 1 2 1 26 2 1 2 2 1 2 17 2 2 1 1 2 2 18 2 2 1 2 1 1 24 5 6 71 2 3表 424 L8（ 27） 正交表 列號行號1 1 1 1 1 12 1 2 2 2 23 2 1 1 2 24 2 2 2 1 15 2 1 2 1 26 2 2 1 2 17 1 1 2 2 18 1 2 1 1 23 4 5 6 7列號行號1 1 1 1 1 1 12 1 1 2 2 2 23 2 2 1 1 2 24 2 2 2 2 1 15 3 2 1 2 1 26 3 2 2 1 2 17 4 1 1 2 2 18 4 1 2 1 1 21 3 4 5 6 7列號行號1 1 1 1 1 12 1 2 2 2 23 2 1 1 2 24 2 2 2 1 15 3 1 2 1 26 3 2 1 2 17 4 1 2 2 18 4 2 1 1 21 4 5 6 71 1 1 12 2 2 21 1 2 22 2 1 11 2 1 22 1 2 11 2 2 12 1 1 24 5 6 74 52 3其它正交表的構造法，與此法相同，不再贅述。 請自學 例 、例 表 2 5 L 8 （ 4 1 2 7 ）正交表 正交試驗設計的方差分析 本節(jié)用方差分析法對正交試驗的結果作進一步的分析。 正交試驗設計方差分析的步驟與格式 設用正交表安排 m個因素的試驗 ， 試驗總次數(shù)為 n， 試驗結果分別為 x1， x2， … ， xn。 假定每個因素有 na個水平 ， 每個水平做 a次試驗 。 則 n = a na， 現(xiàn)分析下面幾個問題 。 (1) 計算離差的平方和 a 總離差的平方和 ST b 各因素離差的平方和 S因 c 試驗誤差的離差平方和 SE (2) 計算自由度 (3) 計算平均離差平方和 (均方 ) (4) 求 F比 (5) 對因素進行顯著性檢驗 3水平正交設計的方差分析 例 為了提高產(chǎn)量，需要考慮 3個因素：反應溫度、反應壓力和溶液濃度，每個因素都取 3個水平，具體數(shù)值如 表 431所示。考慮因素之間的所有一級交互作用，試進行方差分析，找出最好的工藝條件。 解： 所有一級交互作用： A B、 A C、 B C； 自由度： fA ＝（ 水平數(shù) － 1）＝ 3－ 1＝ 2＝ fB ＝ fC ； fA B＝ fA fB＝ 2 2＝ 4＝ fB C ＝ fA C 各占兩列。 共有 9列 ， 選用正交表 L27（ 313） ， 見 表 432所示 。 m 個因素的試驗（ m＝ 9）； 試驗次數(shù)（ n＝ 27）； 試驗結果分別為： x1， x2， … ， xk， … ， xn； 每個因素有 na 個水平（ na＝3）； 每個水平做 a次試驗（ a＝ 9）， 則 n＝ ana＝ 3 9 ＝ 27。 計算離差平方和 （ 1）總離差平方和 ST 記 ???nkkxnx11 （相當于例 ） ? ? ?? ? ????????????? nknknkkkkT xnxxxS1 12122 1)(記為： PQSTT ?????nkkT xQ12211????????? ??nkkxnP ST反應了試驗結果的總差異，它越大，結果之間差異越大。 兩方面的原因：① 因素水平變化；② 試驗誤差。 （ 2）各因素離差的平方和 以因素 A為例 —— SA， 用 xij 表示 A的系 i 水平第 j 個試驗結果（ i＝ 1， 2， 3， …n a），（ j＝ 1…a ）。 ?? ??? ??nkkniajij xxa11 1? ?? ???aniajiA xxS1 12)(???aniiji xax11211221 11211111??????????????????????????????? ?? ???? ?? ?nikniiniajijniajijAxnKaxnxaSaaa記為： PQSAA ??Ki —— 第 i 個水平 a 次試驗結果的和。 用同樣的方法可以計算其它因素的離差平方和。對兩因素的交互作用，把它當成一個新的因素看待。如果交互作用占兩列，則交互作用的離差平方和等于這兩列的離差平方和之和。比如： 21 )()( BABABA SSS ??? ??（ 3）試驗誤差的離差平方和 SE 設 S因 +交 為所有因素以及要考慮的交互作用的離差平方和， 因為： ET SSS ?? ? 交因所以： 交因 ??? SSS TE自由度計算 )(1 試驗總次數(shù)總 nnf ??各因素自由度： )(1 水平數(shù)因 aa nnf ??兩因素交互作用的自由度： BABA fff ???試驗誤差自由度： 交因總 ??? fff E見表 433 所示 計算平均離差平方和（均方） MS 在計算各因素離差平方和時，我們知道，它們是若干項平方的和，它們的大小與項數(shù)有關，因此，不能確切地反映各因素的情況。為了消除項的影響，引入平均離差平方和： 因因因素的平均離差平方和fS?EEfS?方和試驗誤差的平均離差平見表 433 求 F 比 ?對結果影響程度的大小大小反映了各因素試驗因因EEfSfSF ?對因素進行顯著性檢驗 給出檢驗水平 a， 以 Fa（ f因 ， fE） 查（附表 3） F分布表； 比較若 F ＞ Fa（ f因 ， fE）， 說明該因素對試驗結果的影響顯著。 F ＞ （ f因 ， fE） 影響高度顯著，“ ﹡﹡ ”； （ f因 ， fE） ＞ F ＞ （ f因 ， fE） 影響顯著，“ ﹡ ”； F ＜ （ f因 ， fE） 影響不顯著。 計算結果見 表 43表 434所示 。 2水平正交設計的方差分析 由于 2水平正交設計比較簡單，它的方差分析可以采用特殊的分析方法。 2水平正交設計，各因素離差平方和為： 21212 11 ???????? ????nkkii xnKaS 因:,21,21 21所以上式可以簡化為又因為 ?????? nk kKKxnaan? ? 2211 KKnS ??因上式同樣適用于交互作用項。 例 某廠生產(chǎn)水泥花磚 ,其抗壓強度取決于 3個因素： A水泥的含量， B水分， C添加劑，每個因素都有兩個水平，具體數(shù)值如表 435a所示。每兩個因素之間都有交互作用，必須考慮。試驗指標為抗壓強度 (kg/cm2),分別為 ， ， ， ， ， ， 。試安排試驗，并用方差分析對試驗結果進行分析，找出