【正文】 號(hào)重復(fù)多次 ， 這樣能很好地估計(jì)試驗(yàn)誤差 ， 它的方差分析與無重復(fù)試驗(yàn)基本相同 。 例 鋼片在鍍鋅前要用酸洗的方法除銹。試安排試驗(yàn)，并用方差分析對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，找出最好的方案。為了消除項(xiàng)的影響，引入平均離差平方和： 因因因素的平均離差平方和fS?EEfS?方和試驗(yàn)誤差的平均離差平見表 433 求 F 比 ?對結(jié)果影響程度的大小大小反映了各因素試驗(yàn)因因EEfSfSF ?對因素進(jìn)行顯著性檢驗(yàn) 給出檢驗(yàn)水平 a， 以 Fa（ f因 ， fE） 查（附表 3） F分布表； 比較若 F ＞ Fa（ f因 ， fE）， 說明該因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響顯著。 計(jì)算離差平方和 （ 1）總離差平方和 ST 記 ???nkkxnx11 （相當(dāng)于例 ） ? ? ?? ? ????????????? nknknkkkkT xnxxxS1 12122 1)(記為： PQSTT ?????nkkT xQ12211????????? ??nkkxnP ST反應(yīng)了試驗(yàn)結(jié)果的總差異，它越大，結(jié)果之間差異越大。 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方差分析的步驟與格式 設(shè)用正交表安排 m個(gè)因素的試驗(yàn) ， 試驗(yàn)總次數(shù)為 n， 試驗(yàn)結(jié)果分別為 x1， x2， … ， xn。 例 混合型正交表 L8（ 4 24） 的構(gòu)造法。 四階正交拉丁方 ABCDBADCCDABDCBABADCCDABABCDDCBA與 4階拉丁方中 ， 正交拉丁方只有 3個(gè)； 5階拉丁方中 ， 正交拉丁方只有 4個(gè)； 6階拉丁方中 ， 正交拉丁方只有 5個(gè)； 數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明： n 階拉丁方的正交拉丁方個(gè)數(shù)為：（ n－ 1） 個(gè) 。 總結(jié)：先取一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)阿陣 Hn ， 去掉全 1列 ， 將－ 1 列改寫為 2， 配上列號(hào)、行號(hào)，就得正交表 Ln（ 2n－ 1）。例如： ???????????????????????????1111111111111111,111142 HH直積構(gòu)造高階阿陣的方法： 定義：設(shè)兩個(gè) 2階方陣 A、 B ??????????????2221121122211211 ,bbbbBaaaaA它們直積記為 A?B， 定義如下： ??????????????????????BaBaBaBabbbbaaaaBA22211211222112112221121阿達(dá)瑪矩陣 ?????????????2222212222212121122211221221112122122112221121111212111212111111babababababababababababababababa這是一個(gè) 4階方陣。 正交表的構(gòu)造法 從前面的內(nèi)容可以看出，正交表的用處和好處。 1 2 3 4 5 6 7 (1) 3 2 5 4 7 6 (2) 1 6 7 4 5 (3) 7 6 5 4 (4) 1 2 3 (5) 3 2 (6) 1 (7) 表 4— 17 列號(hào)（ ） 列號(hào) 例如，從左向右看，第 3 列與第 5 列的交互作用在第 6列例如，第 4 列與第 列的交互作用在第 3 列第 5 列與第 6 列的交互作用在第 3 列例 解 這是 3因素 2水平的試驗(yàn) 。 P183附表 4中 ，列出了幾個(gè)交互作用的正交表。 這個(gè)試驗(yàn)只有 B不是處在最好情況 ， 而因素 B的影響是最小的 。 取哪一個(gè)水平作為第 3水平呢 ？ 一般說 ， 都是要根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn) ， 選取一個(gè)較好的水平 。 經(jīng)分析得最佳方案為： A2B2C2D2。這種正交表有好多種。 綜合考慮 ， 最好的試驗(yàn)方案應(yīng)當(dāng)是A1B3C2D1， 按影響大小次序排列為： 綜合評分法（例 ） A1： 時(shí)間， 25小時(shí)； D1： 加水量， 1： 6； B3： 料中核酸含量， ； C2： pH值， 。 試通過試驗(yàn)分析出較好方案 ，使產(chǎn)品的核酸含量和回收率都有提高 。 （ 2） 堿度 C， 極差不大 ， 次要因素 。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，配方有 3個(gè)重要因素：水分、粒度和堿度。 以上的方法 —— 直觀分析法 。 從表 45中的數(shù)據(jù)處理與分析 ， 可以得出結(jié)論：各因素對考查指標(biāo) （ 抗壓強(qiáng)度 ） 的影響按大小次序來說應(yīng)當(dāng)是 A(礦化劑用量 )、 B(保溫時(shí)間 )、 C(燒成溫度 )， 最好的方案應(yīng)當(dāng)是 A2C2B3， 即： 例 A2： 礦化劑用量， 第 2水平， 4%； C2： 保溫時(shí)間， 第 2水平， 30min； B3： 燒成溫度， 第 3水平， 1450℃ 。 它們各出現(xiàn)三次 。 全面試驗(yàn)： 如 4 個(gè) 3 水平的因素 ， 要做 34＝ 81 次試驗(yàn)； 6 個(gè) 5 水平的因素 ， 要做 56＝ 15625次試驗(yàn) 。 格式如 表 41所示 。 下面通過具體例子來說明如何用正交表進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)。 為了最終確定試驗(yàn)方案 A2C2B3是不是最好方案 ， 可以按這個(gè)方案再試驗(yàn)一次 ， 若比 4號(hào)好 ， 作為最好結(jié)果 ， 若比 4號(hào)差 ， 則以 4號(hào)為最佳條件 。 多指標(biāo)的分析方法 在例 ， 試驗(yàn)指標(biāo)只有一個(gè) ， 考察起來比較方便 ， 但實(shí)際問題中 ， 需要考察的指標(biāo)往往不止一個(gè) ， 有時(shí)有兩個(gè) 、 三個(gè)或更多 。 綜合平衡法（例 ） 解 3因素 3水平 ， 應(yīng)選 L9（ 34） 正交表來安排試驗(yàn) ， 將 3個(gè)因素依次放在前 3列 （ 第 4列不要 ） ， 得出一張具體的試驗(yàn)方案表 ，測出需要檢驗(yàn)的指標(biāo)結(jié)果 ， 列于 表 47(a)、 (b)、 (c)中 ， 然后用直觀分析法對每個(gè)指標(biāo)分別進(jìn)行計(jì)算分析 。 通過各因素對各指標(biāo)影響的綜合分析 ， 得出較好的試驗(yàn)方案是： B3： 粒度取第 3水平 ， 8； C1： 堿度取第 1水平 ， ； A2： 水分取第 2水平 ， 9。 根據(jù)這個(gè)總指標(biāo)作進(jìn)一步的分析 。但如何合理地評分，是最關(guān)鍵的問題。 例 某農(nóng)科站進(jìn)行品種試驗(yàn) ， 具體試驗(yàn)因素及水平如 表 411所示 。 試安排試驗(yàn) ， 并對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析 ， 找出最好的試驗(yàn)方案 。 例 4. 5 的 解 這樣就變成了一個(gè) 4因素 3水平的試驗(yàn) ， 可以按 L9（ 34） 表安排試驗(yàn) ， 并對正交表進(jìn)行重構(gòu) ， 測出結(jié)果 ， 并進(jìn)行分析 ， 見 表 415所示。BABA記為因素的交互作用各因素聯(lián)合起作用因素如各因素各自獨(dú)立起作用多因素試驗(yàn)例 有 4塊試驗(yàn)田，土質(zhì)情況基本一樣，種植同樣的作物。 對于 2因素 n水平 ， fA＝ fB＝ n－ 1， 每列有 n個(gè)自由度； 而兩因素交互作用的自由度為： fA B＝ fA fB ＝ （ n－ 1） （ n－ 1） ，所以交互作用列要占 （ n－ 1） 列 。 現(xiàn)將 C放在第 4列 ， 由 表 417查出 A C應(yīng)在第 5列 ， B C應(yīng)在第 6列 。 性質(zhì)： （ 1）每列元素個(gè)數(shù)都 是偶數(shù)； （ 2）任意兩列（兩行）交換后，仍為阿陣； （ 3）任意一列（或行）乘－ 1以后，仍為阿陣。 據(jù)此，可以用簡單的低階阿陣，用求直積的方法得出高階阿陣，例如有： 、阿達(dá)瑪矩陣 422111111111111111111111111HHH ?????????????????????????????????????依此類推有： ?,16441682,842 HHHHHHHHH ?????? 或一個(gè)固定階的阿陣并不是唯一的。 例如，用 3個(gè)字母 A、 B、 C 可排成： BACACBCBA3 3 拉丁方 用 4個(gè)字母 A、 B、 C、 D 可排成： ADCBBADCCBADDCBA4 4 拉丁方 這兩個(gè)拉丁方不是唯一的。 3水平正交表的構(gòu)造 首先考慮兩個(gè) 3 水平因素 A、 B， 把它們所有水平搭配都寫出來 32 ＝ 9個(gè)， 按下面的方式排成兩列 ： 4列 3列 1 21 1 12 1 23 1 34 2 15 2 26 2 37 3 18 3 29 3 3這兩列叫做基本列然后寫出兩個(gè)3 階的正交拉丁方：123231312和123312231將 這 兩 個(gè) 正 交 拉 丁 方 的 1 ， 2 ， 3 列 ， 分 別 按 順 序 連 成 一 列 （ 共 得 兩列 ） ， 放 在 兩 個(gè) 基 本 列 的 右 面 ， 構(gòu) 成 一 個(gè) 4 列 9 行 的 矩 陣 ， 再 配 上 列 號(hào)、行號(hào)，就得出正交表 L 9 （ 3 4 ），見表 4 2 2 。 （ 3） 去掉 1 2的第 3列 。 (1) 計(jì)算離差的平方和 a 總離差的平方和 ST b 各因素離差的平方和 S因 c 試驗(yàn)誤差的離差平方和 SE (2) 計(jì)算自由度 (3) 計(jì)算平均離差平方和 (均方 ) (4) 求 F比 (5) 對因素進(jìn)行顯著性檢驗(yàn) 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析 例 為了提高產(chǎn)量，需要考慮 3個(gè)因素：反應(yīng)溫度、反應(yīng)壓力和溶液濃度，每個(gè)因素都取 3個(gè)水平，具體數(shù)值如 表 431所示。 ?? ??? ??nkkniajij xxa11 1? ?? ???aniajiA xxS1 12)(???aniiji xax11211221 11211111??????????????????????????????? ?? ???? ?? ?nikniiniajijniajijAxnKaxnxaSaaa記為： PQSAA ??Ki —— 第 i 個(gè)水平 a 次試驗(yàn)結(jié)果的和。 2水平正交設(shè)計(jì)的方差分析