一注基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué)知識總結(jié)-資料下載頁
2025-04-04 02:52本頁面
【正文】 無窮級數(shù) 1． 無窮級數(shù)基本性質(zhì)無窮級數(shù)：；部分和：。若存在，則稱無窮級數(shù)收斂，并記級數(shù)的和。定理：若收斂級數(shù)，則各項(xiàng)乘以常數(shù)所得級數(shù)也收斂，其和為。定理：設(shè)兩個(gè)收斂級數(shù)和則級數(shù)也收斂，其和為。定理：在級數(shù)前面加上、去掉或改變有限項(xiàng), 不會影響級數(shù)的斂散性。定理：收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和。定理：設(shè)收斂級數(shù)，則必有。2． 正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法定義：若，則稱為正項(xiàng)級數(shù)。定理：正項(xiàng)級數(shù)收斂 部分和序列有界。定理(比較審斂法)：設(shè)，是兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù)，且存在，對一切，有（常數(shù)），則有：1）若強(qiáng)級數(shù)收斂，則弱級數(shù)也收斂；2）若弱級數(shù)發(fā)散，則強(qiáng)級數(shù)也發(fā)散。定理（柯西積分判別法）： 設(shè)為定義于上的非負(fù)單調(diào)遞減函數(shù)，則與同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。定理(比較審斂法的極限形式)：設(shè)，是兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù)，且滿足。則有：1）當(dāng)時(shí)，兩個(gè)級數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散；2）當(dāng)時(shí)，收斂，也收斂；3）當(dāng)時(shí)，發(fā)散，也發(fā)散。定理（比值審斂法/D’alembert 判別法）：設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，且，則：1）當(dāng)1時(shí)，級數(shù)收斂；2）當(dāng)1或時(shí)，級數(shù)發(fā)散。定理（根值審斂法/ Cauchy判別法）：設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，且，則：1）當(dāng)1時(shí)，級數(shù)收斂；2）當(dāng)1或時(shí)，級數(shù)發(fā)散；3）=1時(shí)，級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。3． 級數(shù)收斂的一般判別法Cauchy收斂原理：級數(shù)收斂的充分必要條件是：對任意給定的0，存在正整數(shù)N，使得下式對一切與一切正整數(shù)p成立： Leibnitz判別法：設(shè)單調(diào)趨于零，則級數(shù)收斂。4． 絕對收斂與條件收斂定義：對任意項(xiàng)級數(shù)，若收斂，則稱原級數(shù)絕對收斂。若原級數(shù)收斂, 但發(fā)散, 則稱原級數(shù)條件收斂。定理3：設(shè)收斂，則也收斂。：若級數(shù)絕對收斂，則它的更序級數(shù)也絕對收斂，且和不變，即= 推論：1）絕對收斂的充分必要條件是和都收斂；2）條件收斂則和都發(fā)散。5． 冪級數(shù)及其收斂性定義：形如的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中數(shù)列稱為冪級數(shù)的系數(shù)。后面著重討論的情形，即Abel定理：若冪級數(shù)在點(diǎn)收斂，則對滿足不等式的的一切冪級數(shù)都絕對收斂。反之，若當(dāng)點(diǎn)發(fā)散，則對滿足不等式的的一切冪級數(shù)都發(fā)散。由Abel定理可以看出，的收斂域是以原點(diǎn)為中心的區(qū)間。用表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點(diǎn)。稱為收斂半徑，稱為收斂區(qū)間，加上收斂的端點(diǎn)稱為收斂域。定理：若的系數(shù)滿足，則：1）當(dāng)時(shí)，；2）當(dāng)時(shí)，；3）當(dāng)時(shí)。 (比值審斂法) （即 ）定理：若的系數(shù)滿足，則收斂半徑。 (Cauchy判別法)6． 傅里葉級數(shù)定理：（三角函數(shù)正交性）組成三角級數(shù)的函數(shù)系在上正交，即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在上的積分等于0。定理：設(shè)是周期為的周期函數(shù)，且 ①右端級數(shù)可逐項(xiàng)積分，則有 ②狄利克雷(Dirichlet)條件：1）在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；2）在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)。則的傅里葉級數(shù)收斂，且有PS1：周期為的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)：奇函數(shù)只有正弦級數(shù)項(xiàng)，即=0；偶函數(shù)只有余弦級數(shù)項(xiàng)，即=0。PS2：非周期函數(shù)，可以先進(jìn)行周期延拓，再進(jìn)行傅里葉變換。PS3：以2為周期的函數(shù)的傅里葉展開：定理：設(shè)周期為2的周期函數(shù)滿足收斂定理?xiàng)l件，則它的傅里葉展開式為 （在的連續(xù)點(diǎn)處）其中， 復(fù)數(shù)形式：， 其中， 常微分方程方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階。一般地，階常微分方程的形式是。微分方程的通解指解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同。特解是指滿足定解條件，不含任意常數(shù)的解，其圖形稱為積分曲線。1． 一階微分方程一階微分方程關(guān)系圖分離變量型方程： 齊次方程：方程叫齊次方程。變換，則，代入原方程可得 （變量分離方程）一階線性微分方程： 方程稱為一階線性齊次方程。方程是一個(gè)變量可分離方程。若，則一階線性齊次方程的解存在，且唯一，其通解為 。方程稱為一階線性非齊次方程。方程，利用“常數(shù)變易法”，設(shè)其通解為，代入方程得。因此，一階線性非齊次方程的通解為2． 二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu) （）定理：則存在上唯一的解，使 （解的存在唯一性定理）定理：若函數(shù)，是（）的兩個(gè)線性無關(guān)特解，則是該方程的通解()。求通解的關(guān)鍵：找到兩個(gè)線性無關(guān)的解（基解）。推論：是階齊次方程的個(gè)線性無關(guān)解，則方程的通解為。3． 二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) 定理：設(shè)是二階非齊次方程 （）的一個(gè)特解，是相應(yīng)齊次方程的通解，則是非齊次方程的通解。（關(guān)鍵：兩個(gè)基解，一個(gè)特解）定理：（非齊次方程之解的疊加原理）設(shè)分別是的特解，則是方程的特解。4． 用常數(shù)變易法求非齊次的特解——常用來由齊次推非齊次、由線性推非線性對一階非齊次微分方程：對應(yīng)齊次方程的通解為，則設(shè)非齊次方程的解為，代入原方程確定。對二階非齊次微分方程：：1）若已知對應(yīng)齊次方程的通解為，則設(shè)非齊次方程的解為；2）僅知已知對應(yīng)齊次方程的一個(gè)非零特解，則令。5． 二階常系數(shù)線性齊次方程基本思路：求解常系數(shù)線性齊次微分方程求特征方程(代數(shù)方程)之根二階常系數(shù)齊次線性微分方程： （）可能有形式解，代入上式，得，由于，故有 （）稱（）為微分方程（）的特征方程，其根稱為特征根。推廣：高階常系數(shù)線性微分方程的特征方程：。若特征方程含重實(shí)根，則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng)若特征方程含重復(fù)根則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng)
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