一注基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué)知識總結(jié)-文庫吧資料
2025-04-10 02:52本頁面
【正文】 不定積分：f (x)在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱為不定積分，記做=2． 基本積分表——（求導(dǎo)的逆運算） 3． 不定積分的性質(zhì)1) 2）4． 換元法 第一類換元法（也稱配元法湊微分法）：則有換元公式目的：湊已知的積分公式； 關(guān)鍵：湊微分。定理1：存在原函數(shù)。（約束極值問題）條件極值的求法:：1）代入法：求的無條件極值問題2） 拉格朗日乘數(shù)法：求函數(shù)在條件和下的極值。PS：當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個極值點時，則該極值點即為最值點。3） 當(dāng)時，不能確定，需另行討論。定理：（充分條件）若的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令，則有：1） 當(dāng)時，具有極值。5． 空間曲線的切線與法平面參數(shù)形式 切線向量 兩柱面交線 切線向量 兩曲面交線 切線向量6． 曲面的切平面與法線方程 法線向量 （梯度方向） 7． Taylor公式Taylor定理：，的某一鄰域內(nèi)有直到階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，為此鄰域內(nèi)任一點，則有其中，（拉格朗日余項）。梯度：定義向量為函數(shù)在點處的梯度，記做，即PS：函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影。4． 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)：若函數(shù)在點處沿方向（方向角為）存在極限：（）則稱為函數(shù)在點處沿方向的方向?qū)?shù)。（否則不一定成立）3． 復(fù)合函數(shù)的微分法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t：若函數(shù)可微，有一階偏導(dǎo)數(shù)，則對和有偏導(dǎo)數(shù)，并有： (口訣：分段用乘, 分叉用加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)) 微分中值定理：若函數(shù)在區(qū)域可微，連接和的線段全在內(nèi)，則必有，使得定理：若在區(qū)域中，則。二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：是曲線在點處的切線對軸的斜率是曲線在點處的切線對軸的斜率高階偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)在域內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)和，若這兩個偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是的二階偏導(dǎo)數(shù)。2． 微分和偏導(dǎo)數(shù) 微分： 。二元函數(shù)的極限可寫作：。極限：設(shè)元函數(shù)，是的聚點，若存在常數(shù)，對，對一切，有，則稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)時的極限，記做（也叫重極限）。8． Cauchy中值定理Cauchy中值定理：及滿足：1）在區(qū)間[a , b]上連續(xù)；2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)3) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi) 在(a , b)內(nèi)至少存在一點，使得。極值第二判別法：設(shè)函數(shù)在處具有二階導(dǎo)數(shù)，且，1）若，則在取極大值；2）若，則在取極小值。拉格朗日中值定理：滿足：1）在區(qū)間[a , b]上連續(xù)；2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo) 在(a , b)內(nèi)至少存在一點，使得推論：若函數(shù)在區(qū)間I上滿足，則在I上必為常數(shù).6． 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性單調(diào)性的判定法：設(shè)函數(shù)在開區(qū)間I上可導(dǎo)，若，則在I內(nèi)遞增（遞減）。 定理：在點處可微即微分運算法則：1）； 2）；3） ； 4）微分形式不變性：設(shè)，分別可微，則復(fù)合函數(shù)的微分5． Lagrange中值定理費馬(Fermat)引理：設(shè)是的極值點，在可微，則。幾何意義：曲線在處的斜率。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：1） 零點定理：設(shè)，且 則必有使得2） 介質(zhì)定理：設(shè)，則上能取到；3） 最大值最小值定理：設(shè)，則上能取到最大值和最小值； 一元函數(shù)的微分學(xué)1． 導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)，在的某鄰域內(nèi)有定義，若存在，則稱函數(shù)在點處可導(dǎo)。（學(xué)會用定義證明數(shù)列極限，關(guān)鍵在于如何求得N）數(shù)列極限的四則運算：若則有a.； b.； c. 夾逼準(zhǔn)則：設(shè)，當(dāng)時，有，則2． 函數(shù)極限 ，當(dāng)時，有 ，當(dāng)時，有左極限 右極限 3． 幾個重要極限1） 2） 3） 4）5） 6） 7）4． 無窮小量無窮小量：若，則稱函數(shù)是當(dāng)時的無窮小量。 Am+Bn+Cp=0. l 平面束：通過定直線的所有平面的全體稱為平面束過直線的平面束方程為 A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2y+C2z+D2)=0 極限和連續(xù)1． 數(shù)列極限數(shù)列極限：若數(shù)列及常數(shù) ，當(dāng)時，有，則稱該數(shù)列的極限為，記作或。. l 直線與平面的夾角：直線和它在平面上的投影直線的夾角j稱為直線與平面的夾角1）L^P 219。m1m2+n1n2+p1p2=0。雙曲面方程 錐面方程拋物面方程其中3． 空間曲線及其方程空間曲線的一般方程： （兩個曲面方程的交線）空間曲線的參數(shù)方程： 空間曲線 關(guān)于坐標(biāo)面的投影柱面方程為消去得到的方程，在坐標(biāo)面上的投影曲線方程為 4． 平面及其方程l 平面方程一般方程： Ax+By+Cz+D=0 【平面的一個法線向量n為 n=(A, B, C)】點法式：A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0 【通過點M0(x0, y0, z0)】截距式方程： 【a、b、c依次為平面在x、y、z軸上的截距】l 兩平面的夾角：兩平面的法線向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的夾角平面P1和P2垂直A1 A2 +B1B2 +C1C2=0。(lb) = l(a180。c. 5）(la)180。c = a180。a。b = 03）交換律a180。 2）a//b 219。1）a180。bc
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