高等數(shù)學(xué)一微積分-資料下載頁(yè)
2025-07-24 00:44本頁(yè)面
【正文】 x f x??? ??? ? ? ? ? ?或 或， 則直線 xa? 為曲線()y f x?的 豎直漸近線． 解：因?yàn)?01l i m 1xxx??? ? ?， x =0 為無(wú)窮間斷點(diǎn)， 故有豎直漸近線 x =0 ， 因?yàn)?1l i m 1 1xxx???? ? ?，故y= 1 為水平漸近線． 注意： 豎直漸近線一般在間斷點(diǎn)處存在。 3 、 連續(xù) 函數(shù)與閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 概念回顧 1 ） 、一元函數(shù)的連續(xù)性： ()y f x?在點(diǎn)0x處連續(xù)0l i m 0xxy?? ? ?00l i m ( ) ( )xxf x f x??? 2 ) 、二元函數(shù)的連續(xù)性：設(shè)函數(shù)( , )z f x y?在點(diǎn)0 0 0( , )P x y的某鄰域有定義，若 0000l i m ( , ) ( , )xxyyf x y f x y???, 則稱函數(shù)( , )z f x y?在點(diǎn)0P連續(xù)． 不連續(xù)的點(diǎn)稱為間斷點(diǎn) 3 ) 、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)： 有界性 最大值最小值 零點(diǎn)定理 介值定理 例 1 8 ．確定 k 的取值使得函數(shù)l n ( 1 )0()0xxxfxkx?? ??????? 在其定義域內(nèi)連續(xù)． 知識(shí)點(diǎn) 初等函數(shù)的連續(xù)性，非初等函數(shù)的連續(xù)性 初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間內(nèi)處處連續(xù)． 函數(shù)()fx在點(diǎn)0x連續(xù)的充分必要條件是下列三個(gè)條件同時(shí)滿足 1) ．0()fx有定義； 2) ．0l i m ( )xxfx?存在； 3) ．00l i m ( ) ( )xxf x f x?? 解 ： 函數(shù)的定義域?yàn)? 1 , )? ? ?．由于函數(shù)在 0x ? 處的函數(shù)值( 0 )fk ?是單獨(dú)定義的，所以該函數(shù)在定義域( 1 , )? ? ?上不是初等函數(shù)。 但是在 0x ? 時(shí)是初等函數(shù)l n ( 1 )()xfxx??． 因此函數(shù)在區(qū)間( 1 , 0 )?和( 0 , )??上是連續(xù)的． 若使該函數(shù)在 0x ? 處連續(xù)，則應(yīng)有0lim ( ) ( 0 )xf x k f???， 又因0 0 0 01ln ( 1 ) 11li m ( ) li m li m li m 1 ,11x x x xxxfxxx? ? ? ???? ? ? ?? 所以 1k ? 時(shí)，該函數(shù)在 0x ? 處連續(xù) ， 1k ? ， 0x ? 為間斷點(diǎn)。 例 1 9 、 函數(shù)21()( 2 3 )xxfxe x x???? 的間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 【 】 (A) 0 個(gè) (B) 1 個(gè) (C) 2 個(gè) (D) 3 個(gè) 知識(shí)點(diǎn) ： 判斷初等函數(shù)的間斷點(diǎn) 如果()fx在點(diǎn)0x不連續(xù)，則稱0x是()fx的間斷點(diǎn)． ● 若下列三種情況之一成立，則0x是()fx的間斷點(diǎn)： i ．0()fx無(wú)定義 (0x是無(wú)定義的孤立點(diǎn) ) ii ．0l i m ( )xxfx?不存在 iii ．0()fx有定義，0l i m ( )xxfx?存在，但00l i m ( ) ( )xxf x f x??． ● 若()fx是含有分母的初等函數(shù)，則分母的零點(diǎn)是間斷點(diǎn)． ● 若()fx是分段函數(shù)，則分段的分界點(diǎn)是可疑的間斷點(diǎn)． 解答 將函數(shù)的分母做因式分解，則有1()( 1 ) ( 2 )xxfxe x x????．分母的零 點(diǎn)就是函數(shù)的間斷點(diǎn)．可以看到分母的零點(diǎn)為1 , 2x ?，應(yīng)選擇 C ． 注 ： 對(duì)函數(shù) 分母 做因式分解是判斷函數(shù) 間斷 點(diǎn)的常用方法． 例 20 ． 證明：方程 2xxe ? 在區(qū)間 ( 0 , 1 ) 上至少有一個(gè)實(shí)根． 知識(shí)點(diǎn)： 零點(diǎn)定理 設(shè) ()fx 在閉區(qū)間 [ , ]ab 上連續(xù)，且 ( ) ( ) 0f a f b ?， ( 即 ()fx 在區(qū)間端點(diǎn)處 函數(shù)值的符號(hào)相反 ) ，則至少存在一個(gè)點(diǎn) ( , )c a b? 使得 ( ) 0fc ? ． 解： 將方程根的范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題。 該方程等價(jià)于 20xxe ?? ．令函數(shù) ( ) 2xf x xe?? ， 則函數(shù) ()fx 在閉區(qū)間 [ 0 , 1 ] 上連續(xù)（初等函數(shù)的連續(xù)性）， ( 0 ) 2 0f ? ? ?， ( 1 ) 2 0 . 7 1 8 0fe ? ? ? ?． 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理可知， 存在 0 ( 0, 1 )x ? 使得 0( ) 0fx ? ，即0020xxe ?? 。 這說(shuō)明 0x 是方程 2xxe ? 的根． 注： 方程根的范圍問(wèn)題一般都化為求函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題來(lái)解決．
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