一注基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié)(參考版)
2025-04-07 02:52本頁(yè)面
【正文】 若特征方程含重實(shí)根，則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)若特征方程含重復(fù)根則其通解中必含對(duì)應(yīng)項(xiàng)。5． 二階常系數(shù)線性齊次方程基本思路：求解常系數(shù)線性齊次微分方程求特征方程(代數(shù)方程)之根二階常系數(shù)齊次線性微分方程： （）可能有形式解，代入上式，得，由于，故有 （）稱（）為微分方程（）的特征方程，其根稱為特征根。4． 用常數(shù)變易法求非齊次的特解——常用來由齊次推非齊次、由線性推非線性對(duì)一階非齊次微分方程：對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為，則設(shè)非齊次方程的解為，代入原方程確定。3． 二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) 定理：設(shè)是二階非齊次方程 （）的一個(gè)特解，是相應(yīng)齊次方程的通解，則是非齊次方程的通解。求通解的關(guān)鍵：找到兩個(gè)線性無關(guān)的解（基解）。方程，利用“常數(shù)變易法”，設(shè)其通解為，代入方程得。若，則一階線性齊次方程的解存在，且唯一，其通解為 。變換，則，代入原方程可得 （變量分離方程）一階線性微分方程： 方程稱為一階線性齊次方程。特解是指滿足定解條件，不含任意常數(shù)的解，其圖形稱為積分曲線。一般地，階常微分方程的形式是。PS2：非周期函數(shù)，可以先進(jìn)行周期延拓，再進(jìn)行傅里葉變換。定理：設(shè)是周期為的周期函數(shù)，且 ①右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分，則有 ②狄利克雷(Dirichlet)條件：1）在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；2）在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)。 (比值審斂法) （即 ）定理：若的系數(shù)滿足，則收斂半徑。稱為收斂半徑，稱為收斂區(qū)間，加上收斂的端點(diǎn)稱為收斂域。由Abel定理可以看出，的收斂域是以原點(diǎn)為中心的區(qū)間。后面著重討論的情形，即Abel定理：若冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，則對(duì)滿足不等式的的一切冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂。：若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則它的更序級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂，且和不變，即= 推論：1）絕對(duì)收斂的充分必要條件是和都收斂；2）條件收斂則和都發(fā)散。若原級(jí)數(shù)收斂, 但發(fā)散, 則稱原級(jí)數(shù)條件收斂。3． 級(jí)數(shù)收斂的一般判別法Cauchy收斂原理：級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是：對(duì)任意給定的0，存在正整數(shù)N，使得下式對(duì)一切與一切正整數(shù)p成立： Leibnitz判別法：設(shè)單調(diào)趨于零，則級(jí)數(shù)收斂。定理（比值審斂法/D’alembert 判別法）：設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，則：1）當(dāng)1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；2）當(dāng)1或時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。定理(比較審斂法的極限形式)：設(shè)，是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且滿足。定理(比較審斂法)：設(shè)，是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且存在，對(duì)一切，有（常數(shù)），則有：1）若強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂，則弱級(jí)數(shù)也收斂；2）若弱級(jí)數(shù)發(fā)散，則強(qiáng)級(jí)數(shù)也發(fā)散。2． 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法定義：若，則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。定理：收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和。定理：設(shè)兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)和則級(jí)數(shù)也收斂，其和為。若存在，則稱無窮級(jí)數(shù)收斂，并記級(jí)數(shù)的和。若，則，則稱是有勢(shì)場(chǎng)，是的一個(gè)勢(shì)函數(shù)，同時(shí)，也是的勢(shì)函數(shù)。若函數(shù)在（連同）上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 （其中的法向與的方向滿足右手法則確定） 或 旋度：向量場(chǎng)沿有向曲線的積分定義為環(huán)量，定義向量場(chǎng)的旋度為 （代表流場(chǎng)的渦旋特性）故Stokes定理可以寫成：8． 保守場(chǎng)保守場(chǎng)：設(shè)是區(qū)域中的連續(xù)向量場(chǎng)，如果沿任何鑄鍛光滑的閉路，都有，則稱是中的一個(gè)保守場(chǎng)。若函數(shù)在上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則向量場(chǎng)的通量：，向量場(chǎng)通過的通量為，如果為雙側(cè)封閉曲面， 如果，說明內(nèi)部有產(chǎn)生向量的能力，即為有“源”的；如果，說明向量在內(nèi)流失，即為有“匯”或“漏”。PS：X型區(qū)域： Y型區(qū)域：推論：正向閉曲線所圍區(qū)域的面積為 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件：設(shè)是單連通域，在上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)條件等價(jià)：1） 沿中任意光滑閉曲線， 2） 在內(nèi)每一點(diǎn)都有 3） 中任一分段光滑曲線， 與路徑無關(guān)，只與起止點(diǎn)有關(guān) 4） 在內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，即 PS：1）計(jì)算曲線積分時(shí), 若在某區(qū)域內(nèi)，可選擇方便的積分路徑；2） 求曲線積分時(shí)，可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算，若積分路徑不是閉曲線，可添加輔助線；3） 可用積分法求在域內(nèi)的原函數(shù)：取定點(diǎn)及動(dòng)點(diǎn)，則原函數(shù)為5． 第二類曲面積分雙側(cè)曲面及其定向：指定了側(cè)的曲面叫有向曲面，其方向用法向量指向表示：方向余弦封閉曲面?zhèn)鹊囊?guī)定 0 為前側(cè) 0 為右側(cè) 0 為上側(cè)外側(cè) 0 為后側(cè) 0 為左側(cè) 0 為下側(cè)內(nèi)側(cè)PS：設(shè)為有向曲面，其面元在面上的投影記為，的面積為，則規(guī)定 類似規(guī)定PS：光滑參數(shù)曲面：，的兩個(gè)法向量為 （PS：非單位法向量）顯式曲面：，的法向量 定義：設(shè)在光滑的有向曲面上定義向量場(chǎng)，則稱為向量場(chǎng)在曲面上第二類曲面積分。PS：若為空間曲線： 性質(zhì)：1）2） （必須注意積分弧段的方向!）PS：定積分是第二類曲線積分的特例。第一類曲面積分的性質(zhì)：與第一類曲線積分類似，線性性質(zhì)和可加性。PS：對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求，但定積分中可能為負(fù)。定理：若兩個(gè)二元有界函數(shù)在有界閉區(qū)域上除去有限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑曲線外都相等，則二者可積性相同，若可積，其積分相等。無界函數(shù)的廣義積分（瑕積分或第二類廣義積分）：設(shè)，而在點(diǎn)的右鄰域內(nèi)無界，取，若存在，則記廣義積分 。 定積分1． 定積分定義 （分割，近似，求和，取極限 ），任一種分法，令，任取，總趨于確定的極限，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即 定積分的幾何意義：曲邊梯形的有向面積。目的：去根號(hào)等。
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