20xx-20xx學年福建省泉州市德化一中高二(下)期末數(shù)學試卷(理科)-資料下載頁
2025-04-04 02:42本頁面
【正文】 x≤22票價（單位：元） 3 4 5現(xiàn)有甲、乙兩位乘客，他們乘坐的里程都不超過22公里．已知甲、乙乘車不超過6公里的概率分別為，甲、乙乘車超過6公里且不超過12公里的概率分別為，．（Ⅰ）求甲、乙兩人所付乘車費用不相同的概率；（Ⅱ）設甲、乙兩人所付乘車費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學期望．考點： 離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列．專題： 概率與統(tǒng)計．分析： （Ⅰ）求出甲、乙乘車超過12公里且不超過22公里的概率分別為，求出甲、乙兩人所付乘車費用相同的概率，即可求解甲、乙兩人所付乘車費用不相同的概率．（Ⅱ）求出ξ=6，7，8，9，10，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望即可．解答： （本小題滿分12分）解：（Ⅰ）由題意可知，甲、乙乘車超過12公里且不超過22公里的概率分別為，則甲、乙兩人所付乘車費用相同的概率…（2分）所以甲、乙兩人所付乘車費用不相同的概率…（4分）（Ⅱ）由題意可知，ξ=6，7，8，9，10則…（10分）所以ξ的分布列為ξ 6 7 8 9 10P 則…（12分）點評： 本題考查離散型隨機變量的分布列期望的求法，考查計算能力． 22．如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，直線l與x軸交于點E，與橢圓C交于A、B兩點．當直線l垂直于x軸且點E為橢圓C的右焦點時，弦AB的長為．（1）求橢圓C的方程；（2）若點E的坐標為（，0），點A在第一象限且橫坐標為，連結(jié)點A與原點O的直線交橢圓C于另一點P，求△PAB的面積；（3）是否存在點E，使得+為定值？若存在，請指出點E的坐標，并求出該定值；若不存在，請說明理由．考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．專題： 圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析： （1）由，設a=3k（k＞0），則，b2=3k2，可設橢圓C的方程為，由于直線l垂直于x軸且點E為橢圓C的右焦點，即，代入橢圓方程，解得y即可得出．（2）將代入，解得y，可得直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立解得B，又PA過原點O，可得P，|PA|，直線PA的方程，求出點B到直線PA的距離h，k可得S△PAB=．（3）假設存在點E，使得為定值，設E（x0，0），當直線AB與x軸重合時，有=，當直線AB與x軸垂直時，可得=，利用，解得x0，若存在點E，此時，為定值2．根據(jù)對稱性，只需考慮直線AB過點，設A（x1，y1），B（x2，y2），又設直線AB的方程為，與橢圓C聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關系即可得出．解答： 解：（1）由，設a=3k（k＞0），則，b2=3k2，∴橢圓C的方程為，∵直線l垂直于x軸且點E為橢圓C的右焦點，即，代入橢圓方程，解得y=177。k，于是，即，∴橢圓C的方程為．（2）將代入，解得y=177。1，∵點A在第一象限，從而，由點E的坐標為，∴，直線AB的方程為，聯(lián)立，解得，又PA過原點O，于是，|PA|=4，∴直線PA的方程為，∴點B到直線PA的距離，．（3）假設存在點E，使得為定值，設E（x0，0），當直線AB與x軸重合時，有，當直線AB與x軸垂直時，由，解得，∴若存在點E，此時，為定值2．根據(jù)對稱性，只需考慮直線AB過點，設A（x1，y1），B（x2，y2），又設直線AB的方程為，與橢圓C聯(lián)立方程組，化簡得，∴，又，∴，將上述關系代入，化簡可得．綜上所述，存在點，使得為定值2．點評： 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、弦長公式，考查了分類討論思想方法、探究能力、推理能力與計算能力，屬于難題． 23．已知函數(shù)，其中a為實數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f（x）≥0對定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）證明：對任意的正整數(shù)m，n，不等式恒成立．考點： 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問題．專題： 計算題；導數(shù)的綜合應用．分析： （1）由，得，由此根據(jù)a的取值范圍進行分類討論，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．（2）由于f（1）=﹣，當a＞0時，f（1）＜0，此時f（x）≥0對定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的．當a≤0時，由（1）得f（x）在區(qū)間（0，+∞）上取得最小值為f（1）=﹣，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．（3）由（2）知，當a=﹣時，f（x）=﹣≥0，當且僅當x=1時，等號成立，這個不等式等價于lnx≤x2﹣x．由此能夠證明對任意的正整數(shù)m，n，不等式恒成立．解答： 解：（1）∵，∴，①當a≤0時，若0＜x＜1，則f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，1）；若x＞1，則f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（1，+∞）．②當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（a，1）；單調(diào)增區(qū)間是（0，a），（1，+∞）．③當a=1時，則，故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；④當a＞1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，a）；函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），（a，+∞）．（2）由于f（1）=﹣，當a＞0時，f（1）＜0，此時f（x）≥0對定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的．當a≤0時，由（1）得f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的極小值，也是最小值為f（1）=﹣，此時，f（1）≥0，解得a≤﹣，故實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣）．（3）由（2）知，當a=﹣時，f（x）=﹣≥0，當且僅當x=1時，等號成立，這個不等式等價于lnx≤x2﹣x．當x＞1時，變換為，在上面的不等式中，令x=m+1，m+2，…，m+n，則有＞﹣，即對任意的正整數(shù)m，n，不等式恒成立．點評： 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式恒成立的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數(shù)的性質(zhì)和分類討論思想的靈活運用．
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