【正文】 仿射坐標(biāo)系中，錯(cuò)切的公式為并且證明錯(cuò)切不改變圖形的面積。證明：以變換的不動(dòng)直線為軸，直線為軸建立仿射坐標(biāo)系，設(shè)。顯然，變換將原點(diǎn)變成原點(diǎn)，所以可設(shè)變換公式是變換將變成，將點(diǎn)變成，所以有我們得到故錯(cuò)切的公式為。由于變換矩陣的行列式等于1，所以錯(cuò)切不改變圖形的面積。：橢圓的共軛直徑與橢圓的交點(diǎn)處的切線構(gòu)成的平行四邊形的面積是常數(shù)。證明：以橢圓的中心為原點(diǎn)，長軸，短軸為軸和軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的方程為作仿射變換其變積系數(shù)是，則橢圓變成單位圓，同時(shí)將橢圓的共軛直徑變成單位圓的共軛直徑，單位圓的共軛直徑是互相垂直的，交點(diǎn)處的切線構(gòu)成的平行四邊形變成正方形，其面積為4，所以交點(diǎn)處的切線構(gòu)成的平行四邊形的面積是為常數(shù)。：橢圓的任一外切平行四邊形的兩條對(duì)角線所在的直線是橢圓的一對(duì)共軛直徑。證明：作一個(gè)仿射變換將橢圓變成單位圓，由于切線，平行線，共軛直徑都是仿射不變的，并且圓的外切平行四邊形就是正方形，而正方形的對(duì)角線是圓的互相垂直的共軛直徑，因此橢圓的任一外切平行四邊形的兩條對(duì)角線是橢圓的一對(duì)共軛直徑。：雙曲線的切線與它的漸近線確定的三角形的面積是一個(gè)常數(shù)。證明：設(shè)在直角坐標(biāo)系下，雙曲線的方程為作仿射變換其變積系數(shù)是，則雙曲線的方程變成軸和軸是雙曲線的兩條漸近線。雙曲線上任何一點(diǎn)的切線方程是，截距分別是。所以切線與它的漸近線確定的三角形的面積說，故雙曲線的切線與它的漸近線確定的三角形的面積是為常數(shù)。：雙曲線的兩條漸近線之間的切線段被切點(diǎn)等分。證明：設(shè)在直角坐標(biāo)系下，雙曲線的方程為作仿射變換則雙曲線的方程變成軸和軸是雙曲線的兩條漸近線。雙曲線上任何一點(diǎn)的切線方程是，它與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是，它們的中點(diǎn)坐標(biāo)是，所以雙曲線的兩條漸近線之間的切線段被切點(diǎn)等分。：所有內(nèi)接于橢圓的四邊形中面積最大的是以一對(duì)共軛直徑和橢圓的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形。證明：作仿射變換將橢圓變成單位圓，由于圓的內(nèi)接四邊形中面積最大的是正方形，而對(duì)角線是一對(duì)互相垂直的共軛直徑，所以經(jīng)過仿射變換的逆變換得到內(nèi)接于橢圓的四邊形中面積最大的是以一對(duì)共軛直徑和橢圓的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形。，哪些是仿射性質(zhì)：（1）等邊三角形，（2）平行四邊形，（3）多邊形，（4）三角形的中線，（5）三角形的高線，（6）圓的半徑。解：圖形的度量性質(zhì)有：等邊三角形，三角形的高線，圓的半徑。圖形的仿射性質(zhì)有：平行四邊形，多邊形，三角形的中線。：如果平面的仿射變換將一個(gè)圓變成它自身，則是正交變換。證明：以圓的圓心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系Ⅰ，由于平面的仿射變換將一個(gè)圓變成它自身，所以以為方向的共軛直徑變成圓的共軛直徑，向量變成互相垂直的單位向量，于是直角坐標(biāo)系Ⅰ變成直角坐標(biāo)系Ⅱ。由于仿射變換保持向量的線性關(guān)系不變，所以任何一點(diǎn)在Ⅰ中的坐標(biāo)與像點(diǎn)在Ⅱ中的坐標(biāo)相同。故這樣的仿射變換就是正交變換。1. 證明下述空間的點(diǎn)變換是第一類正交變換，并且求轉(zhuǎn)軸。證明：因?yàn)樽儞Q矩陣的每一行的向量都是單位向量且兩兩之間是正交的，所以變換矩陣式正交矩陣。變換矩陣的行列式等于1，故該變換是第一類的正交變換。變換的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的連線就是轉(zhuǎn)軸。顯然原點(diǎn)是不動(dòng)點(diǎn)，再求一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即解方程組解得，所以旋轉(zhuǎn)軸方程是2. 在直角坐標(biāo)系中，求出把點(diǎn)分別變成點(diǎn)的正交變換公式。解：由于將原點(diǎn)變成原點(diǎn)，所以可設(shè)變換公式是其中變換矩陣是正交矩陣，將點(diǎn)代入得到解此方程組得到由于矩陣是正交矩陣，可得到所以所求正交變換是3. 設(shè)是空間的第一類的正交變換，證明：對(duì)于空間的任意兩個(gè)向量有（1）（2）證明：取一個(gè)右手直角坐標(biāo)系，第一類正交變換將變成右手直角坐標(biāo)系。設(shè)在右手直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)為，則（1）。（2）由于，所以 4. 證明：空間中任給兩組不共面的四點(diǎn)和，則存在唯一的仿射變換，把變成。證明：設(shè)在一個(gè)仿射標(biāo)架下，設(shè)仿射變換將變成，則從而有，因?yàn)樗狞c(diǎn)不共面和不共面，所以兩個(gè)矩陣均可逆，并且唯一確定，其行列式不為0，故變換矩陣可逆。于是存在唯一的仿射變換，把變成。，在不共線的3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)所在的平面上的每一點(diǎn)都是不動(dòng)點(diǎn)。證明：設(shè)是仿射變換的三個(gè)不共線的不動(dòng)點(diǎn)，在它們確定的平面內(nèi)任取一點(diǎn)，則對(duì)任意的點(diǎn)成立：設(shè)則故。解：作一個(gè)仿射變換：其變積系數(shù)是則橢球面變成單位球面，單位球面圍成的區(qū)域的體積是故橢球面圍成的區(qū)域的體積是：分別對(duì)于兩個(gè)平行平面的反射變換的乘積是一個(gè)平移。證明：以其中一個(gè)平面為坐標(biāo)面建立直角坐標(biāo)系，則另一個(gè)平面方程設(shè)為。對(duì)于平面的反射為對(duì)于平面的反射為兩個(gè)反射的乘積是這是一個(gè)平移。：分別對(duì)于兩個(gè)相交平面的仿射變換的乘積是一個(gè)繞定直線的旋轉(zhuǎn)。證明：以兩平面的交線為軸，平面為坐標(biāo)面建立直角坐標(biāo)系，設(shè)兩平面的夾角為。關(guān)于平面的反射記為，則反射的變換公式是反射的變換公式如下計(jì)算：的方程是，對(duì)任何一點(diǎn)，則，的中點(diǎn)在上，于是，即解得于是變換乘積的變換公式是由此看到的交線軸是變換乘積的不動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的直線，即旋轉(zhuǎn)軸，繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的角度為兩平面的夾角的2倍。第六章 平面射影幾何簡介，求（1）直線在齊次坐標(biāo)中的普通方程和參數(shù)方程；（2）直線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的齊次坐標(biāo)和它所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值。解：（1）設(shè)直線方程為點(diǎn)在直線上，得解得故直線方程是參數(shù)方程是（2）令則故無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)是對(duì)應(yīng)的參數(shù)值滿足所以：擴(kuò)大的歐氏平面上的三直線共點(diǎn)，并求該點(diǎn)的齊次坐標(biāo)。證明：由于方程組的解為故僅有一個(gè)公共點(diǎn)所以三直線共點(diǎn)。，給出了的歐氏直線在仿射坐標(biāo)中的方程，求由它確定的射影直線在齊次坐標(biāo)中的方程，并求出它上面的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)：（1） （2）（3） （4）解：將關(guān)系代入直線在仿射坐標(biāo)中的方程中可得到相應(yīng)的射影直線在齊次坐標(biāo)中的方程，然后令就可得到無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)，所以（1）無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)是（2）無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)是（3）無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)是（4）無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)是：射影平面上若三點(diǎn)不共線，則三線不共點(diǎn)。證明：設(shè)不共線，則直線的參數(shù)方程：直線的參數(shù)方程：直線的參數(shù)方程：直線的齊次坐標(biāo)是直線的齊次坐標(biāo)是直線的齊次坐標(biāo)是由于所以三線不共點(diǎn)。，和分別通過定點(diǎn)和時(shí)，則也通過上的一個(gè)定點(diǎn)。證明：在上任取一點(diǎn)，連接交于，連接交于。設(shè)，與分別交于，則與滿足Desargues定理的條件，得與的交點(diǎn)與共線，于是三點(diǎn)重合，故通過上的一定點(diǎn)。，三邊分別通過共線的定點(diǎn)，試證頂點(diǎn)的軌跡是一條直線。證明：在定直線上取點(diǎn)作，使得過共線的定點(diǎn)，則與滿足Desargues逆定理的條件，于是直線共點(diǎn)，則與定直線共點(diǎn)，即經(jīng)過的交點(diǎn)，頂點(diǎn)的軌跡是一條經(jīng)過定直線的交點(diǎn)的直線。，并且，證明共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的實(shí)數(shù)和使得證明：因?yàn)楣颤c(diǎn)，所以三向量共面。由于，因此兩向量不共線，則可由線性表出，即存在不全為零的實(shí)數(shù)和使得反之亦然。解：設(shè)射影平面上三點(diǎn)的齊次坐標(biāo)為，并且，則共線當(dāng)且僅當(dāng)存在不全為零的實(shí)數(shù)和使得1. 在射影平面上，設(shè)共線三點(diǎn)，在直線上求一點(diǎn)，使。解：，設(shè)，且。而，則，因此，取，故，即在直線上所求的點(diǎn)是。2. 在射影平面上，給了共線的四個(gè)通常點(diǎn)的仿射坐標(biāo)，，求它們的交比。解：由于，所以=。3. 在射影平面上，設(shè)共點(diǎn)于的三直線的齊次坐標(biāo)分別為，求通過的一條直線，使得交比。解：設(shè)直線的齊次坐標(biāo)是，且，而，則，取，于是直線的齊次坐標(biāo)是，故直線的方程是。，且兩兩不同，證明證明：設(shè)，則有所以，是共點(diǎn)于的四條不同直線，證明（）式。證明：任取一條不過點(diǎn)的直線，設(shè)，則。由四個(gè)三角形的邊上的高相同，可得到。：在歐氏平面上，已給一個(gè)圓上任意四個(gè)不同的固定點(diǎn)，則它們到圓上任意第五點(diǎn)的連線的交比是常數(shù)，與在圓上的位置無關(guān)。如果與中某點(diǎn)重合，比如，則用處的切線替代。證明：由上一題的結(jié)論得到：，而對(duì)于圓周上的另一點(diǎn)我們有，所以。當(dāng)與中某點(diǎn)重合時(shí)，用該點(diǎn)處的切線替代，仍然有同樣的角度關(guān)系，所以結(jié)論依然成立。（其中任意三點(diǎn)不共線）和由它們兩兩相連的六條直線構(gòu)成的圖形叫做完備四邊形（如下圖）。證明：兩個(gè)點(diǎn)調(diào)和分割兩個(gè)點(diǎn)。HOFACBDES證明：設(shè)與的交點(diǎn)為，先后考慮以為中心的線束及以為中心的線束，我們有： 因此。利用交比的性質(zhì)（2），得到。如果，利用交比的性質(zhì)（3），則得到，于是簡單比，因此，這與已知條件矛盾。所以，故兩個(gè)點(diǎn)調(diào)和分割兩個(gè)點(diǎn)。：射影平面上的射影變換把直線變成直線。證明：設(shè)直線方程是，射影變換是，其中矩陣是可逆的。于是直線方程變成，它仍然表示一條直線。（1）（2）變成五個(gè)射影類之一的射影變換。解：（1）如果，不妨設(shè)，則令曲線方程化為即有。如果不共線，則令曲線方程化為即。，求出把直線分別變?yōu)橹本€的射影變換。解：設(shè)所求的射影變換是，其中矩陣是可逆的，設(shè)矩陣的逆矩陣是。由已知條件得到所以，因此，故射影變換是1. 在射影平面上給了五個(gè)點(diǎn)，，求由它們所確定的二次曲線。解：設(shè)二次曲線的方程是，將五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，得到解得，于是二次曲線的方程是。：的配極。解：二次曲線的矩陣是，所以點(diǎn)關(guān)于二次曲線的配極是，即。：非退化二次曲線的中心（若有的話）的配極是無窮遠(yuǎn)直線。證明：過中心任作一直線與二次曲線交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，因此關(guān)于，的調(diào)和點(diǎn)是直線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，于是非退化二次曲線的中心（若有的話）的配極是無窮遠(yuǎn)直線。，任取一直線及上的一點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的配極，它交于點(diǎn)，點(diǎn)的配極交直線于點(diǎn)且通過。這樣，我們作出三角形，它的邊是對(duì)頂點(diǎn)的配極，這個(gè)三角形叫自配極三角形。證明：如果取直線作自配極三角形的邊，那么圓錐曲線的方程將有形式：證明：的方程分別是，因?yàn)槭屈c(diǎn)的配極，所以的方程又應(yīng)為，即，于是，同理得到。因此圓錐曲線的方程將有形式：：圓錐曲線焦點(diǎn)的配極是準(zhǔn)線。證明：在歐氏平面上取一直角坐標(biāo)系，使得圓錐曲線的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程，以拋物線為例，此時(shí)方程為，焦點(diǎn)是，準(zhǔn)線方程是。于是焦點(diǎn)的配極方程是，即，它在直角坐標(biāo)系的方程是，也就是準(zhǔn)線方程。（如下圖）：直線1和直線2是任意作的，其余的直線根據(jù)圖中的編號(hào)順序作出，直線8和直線9就是切線，說明這種作法的理由。S289314567證明：,2與直線7的交點(diǎn)分別是直線1,2與圓錐曲線的交點(diǎn)及點(diǎn)的第4調(diào)和點(diǎn)，因此直線7是點(diǎn)的極線，直線7與圓錐曲線的交點(diǎn)也在點(diǎn)的極線上，從而這兩交點(diǎn)的極線也通過點(diǎn)。而曲線上的點(diǎn)的極線是切線，所以直線8,9就是切線。：雙曲線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的配極是它的漸近線，從而雙曲線上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的切線是漸近線。證明：因?yàn)殡p曲線的中心的極線是無窮遠(yuǎn)直線，所以無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極線通過中心。又因?yàn)殡p曲線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極線通過它自身，所以這極線的方向是漸進(jìn)方向，于是極線是漸近線。另法：設(shè)雙曲線方程是，則無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是，漸近線方程是。無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極線方程是，即，所以雙曲線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的配極是它的漸近線。