【正文】 仿射坐標系中，錯切的公式為并且證明錯切不改變圖形的面積。證明：以變換的不動直線為軸，直線為軸建立仿射坐標系，設。顯然，變換將原點變成原點，所以可設變換公式是變換將變成，將點變成，所以有我們得到故錯切的公式為。由于變換矩陣的行列式等于1，所以錯切不改變圖形的面積。：橢圓的共軛直徑與橢圓的交點處的切線構成的平行四邊形的面積是常數(shù)。證明：以橢圓的中心為原點，長軸，短軸為軸和軸建立直角坐標系，設橢圓的方程為作仿射變換其變積系數(shù)是，則橢圓變成單位圓，同時將橢圓的共軛直徑變成單位圓的共軛直徑，單位圓的共軛直徑是互相垂直的，交點處的切線構成的平行四邊形變成正方形，其面積為4，所以交點處的切線構成的平行四邊形的面積是為常數(shù)。：橢圓的任一外切平行四邊形的兩條對角線所在的直線是橢圓的一對共軛直徑。證明：作一個仿射變換將橢圓變成單位圓，由于切線，平行線，共軛直徑都是仿射不變的，并且圓的外切平行四邊形就是正方形，而正方形的對角線是圓的互相垂直的共軛直徑，因此橢圓的任一外切平行四邊形的兩條對角線是橢圓的一對共軛直徑。：雙曲線的切線與它的漸近線確定的三角形的面積是一個常數(shù)。證明：設在直角坐標系下，雙曲線的方程為作仿射變換其變積系數(shù)是，則雙曲線的方程變成軸和軸是雙曲線的兩條漸近線。雙曲線上任何一點的切線方程是，截距分別是。所以切線與它的漸近線確定的三角形的面積說，故雙曲線的切線與它的漸近線確定的三角形的面積是為常數(shù)。：雙曲線的兩條漸近線之間的切線段被切點等分。證明：設在直角坐標系下，雙曲線的方程為作仿射變換則雙曲線的方程變成軸和軸是雙曲線的兩條漸近線。雙曲線上任何一點的切線方程是，它與坐標軸的交點分別是，它們的中點坐標是，所以雙曲線的兩條漸近線之間的切線段被切點等分。：所有內(nèi)接于橢圓的四邊形中面積最大的是以一對共軛直徑和橢圓的交點為頂點的平行四邊形。證明：作仿射變換將橢圓變成單位圓，由于圓的內(nèi)接四邊形中面積最大的是正方形，而對角線是一對互相垂直的共軛直徑，所以經(jīng)過仿射變換的逆變換得到內(nèi)接于橢圓的四邊形中面積最大的是以一對共軛直徑和橢圓的交點為頂點的平行四邊形。，哪些是仿射性質：（1）等邊三角形，（2）平行四邊形，（3）多邊形，（4）三角形的中線，（5）三角形的高線，（6）圓的半徑。解：圖形的度量性質有：等邊三角形，三角形的高線，圓的半徑。圖形的仿射性質有：平行四邊形，多邊形，三角形的中線。：如果平面的仿射變換將一個圓變成它自身，則是正交變換。證明：以圓的圓心為原點建立直角坐標系Ⅰ，由于平面的仿射變換將一個圓變成它自身，所以以為方向的共軛直徑變成圓的共軛直徑，向量變成互相垂直的單位向量，于是直角坐標系Ⅰ變成直角坐標系Ⅱ。由于仿射變換保持向量的線性關系不變，所以任何一點在Ⅰ中的坐標與像點在Ⅱ中的坐標相同。故這樣的仿射變換就是正交變換。1. 證明下述空間的點變換是第一類正交變換，并且求轉軸。證明：因為變換矩陣的每一行的向量都是單位向量且兩兩之間是正交的，所以變換矩陣式正交矩陣。變換矩陣的行列式等于1，故該變換是第一類的正交變換。變換的兩個不動點的連線就是轉軸。顯然原點是不動點，再求一個不動點，即解方程組解得，所以旋轉軸方程是2. 在直角坐標系中，求出把點分別變成點的正交變換公式。解：由于將原點變成原點，所以可設變換公式是其中變換矩陣是正交矩陣，將點代入得到解此方程組得到由于矩陣是正交矩陣，可得到所以所求正交變換是3. 設是空間的第一類的正交變換，證明：對于空間的任意兩個向量有（1）（2）證明：取一個右手直角坐標系，第一類正交變換將變成右手直角坐標系。設在右手直角坐標系的坐標為，則（1）。（2）由于，所以 4. 證明：空間中任給兩組不共面的四點和，則存在唯一的仿射變換，把變成。證明：設在一個仿射標架下，設仿射變換將變成，則從而有，因為四點不共面和不共面，所以兩個矩陣均可逆，并且唯一確定，其行列式不為0，故變換矩陣可逆。于是存在唯一的仿射變換，把變成。，在不共線的3個不動點所在的平面上的每一點都是不動點。證明：設是仿射變換的三個不共線的不動點，在它們確定的平面內(nèi)任取一點，則對任意的點成立：設則故。解：作一個仿射變換：其變積系數(shù)是則橢球面變成單位球面，單位球面圍成的區(qū)域的體積是故橢球面圍成的區(qū)域的體積是：分別對于兩個平行平面的反射變換的乘積是一個平移。證明：以其中一個平面為坐標面建立直角坐標系，則另一個平面方程設為。對于平面的反射為對于平面的反射為兩個反射的乘積是這是一個平移。：分別對于兩個相交平面的仿射變換的乘積是一個繞定直線的旋轉。證明：以兩平面的交線為軸，平面為坐標面建立直角坐標系，設兩平面的夾角為。關于平面的反射記為，則反射的變換公式是反射的變換公式如下計算：的方程是，對任何一點，則，的中點在上，于是，即解得于是變換乘積的變換公式是由此看到的交線軸是變換乘積的不動點構成的直線，即旋轉軸，繞旋轉軸旋轉的角度為兩平面的夾角的2倍。第六章 平面射影幾何簡介，求（1）直線在齊次坐標中的普通方程和參數(shù)方程；（2）直線上的無窮遠點的齊次坐標和它所對應的參數(shù)值。解：（1）設直線方程為點在直線上，得解得故直線方程是參數(shù)方程是（2）令則故無窮遠點的坐標是對應的參數(shù)值滿足所以：擴大的歐氏平面上的三直線共點，并求該點的齊次坐標。證明：由于方程組的解為故僅有一個公共點所以三直線共點。，給出了的歐氏直線在仿射坐標中的方程，求由它確定的射影直線在齊次坐標中的方程，并求出它上面的無窮遠點：（1） （2）（3） （4）解：將關系代入直線在仿射坐標中的方程中可得到相應的射影直線在齊次坐標中的方程，然后令就可得到無窮遠點的坐標，所以（1）無窮遠點的坐標是（2）無窮遠點的坐標是（3）無窮遠點的坐標是（4）無窮遠點的坐標是：射影平面上若三點不共線，則三線不共點。證明：設不共線，則直線的參數(shù)方程：直線的參數(shù)方程：直線的參數(shù)方程：直線的齊次坐標是直線的齊次坐標是直線的齊次坐標是由于所以三線不共點。，和分別通過定點和時，則也通過上的一個定點。證明：在上任取一點，連接交于，連接交于。設，與分別交于，則與滿足Desargues定理的條件，得與的交點與共線，于是三點重合，故通過上的一定點。，三邊分別通過共線的定點，試證頂點的軌跡是一條直線。證明：在定直線上取點作，使得過共線的定點，則與滿足Desargues逆定理的條件，于是直線共點，則與定直線共點，即經(jīng)過的交點，頂點的軌跡是一條經(jīng)過定直線的交點的直線。，并且，證明共點當且僅當存在不全為零的實數(shù)和使得證明：因為共點，所以三向量共面。由于，因此兩向量不共線，則可由線性表出，即存在不全為零的實數(shù)和使得反之亦然。解：設射影平面上三點的齊次坐標為，并且，則共線當且僅當存在不全為零的實數(shù)和使得1. 在射影平面上，設共線三點，在直線上求一點，使。解：，設，且。而，則，因此，取，故，即在直線上所求的點是。2. 在射影平面上，給了共線的四個通常點的仿射坐標，，求它們的交比。解：由于，所以=。3. 在射影平面上，設共點于的三直線的齊次坐標分別為，求通過的一條直線，使得交比。解：設直線的齊次坐標是，且，而，則，取，于是直線的齊次坐標是，故直線的方程是。，且兩兩不同，證明證明：設，則有所以，是共點于的四條不同直線，證明（）式。證明：任取一條不過點的直線，設，則。由四個三角形的邊上的高相同，可得到。：在歐氏平面上，已給一個圓上任意四個不同的固定點，則它們到圓上任意第五點的連線的交比是常數(shù)，與在圓上的位置無關。如果與中某點重合，比如，則用處的切線替代。證明：由上一題的結論得到：，而對于圓周上的另一點我們有，所以。當與中某點重合時，用該點處的切線替代，仍然有同樣的角度關系，所以結論依然成立。（其中任意三點不共線）和由它們兩兩相連的六條直線構成的圖形叫做完備四邊形（如下圖）。證明：兩個點調和分割兩個點。HOFACBDES證明：設與的交點為，先后考慮以為中心的線束及以為中心的線束，我們有： 因此。利用交比的性質（2），得到。如果，利用交比的性質（3），則得到，于是簡單比，因此，這與已知條件矛盾。所以，故兩個點調和分割兩個點。：射影平面上的射影變換把直線變成直線。證明：設直線方程是，射影變換是，其中矩陣是可逆的。于是直線方程變成，它仍然表示一條直線。（1）（2）變成五個射影類之一的射影變換。解：（1）如果，不妨設，則令曲線方程化為即有。如果不共線，則令曲線方程化為即。，求出把直線分別變?yōu)橹本€的射影變換。解：設所求的射影變換是，其中矩陣是可逆的，設矩陣的逆矩陣是。由已知條件得到所以，因此，故射影變換是1. 在射影平面上給了五個點，，求由它們所確定的二次曲線。解：設二次曲線的方程是，將五個點的坐標代入方程，得到解得，于是二次曲線的方程是。：的配極。解：二次曲線的矩陣是，所以點關于二次曲線的配極是，即。：非退化二次曲線的中心（若有的話）的配極是無窮遠直線。證明：過中心任作一直線與二次曲線交于兩點，是的中點，因此關于，的調和點是直線上的無窮遠點，于是非退化二次曲線的中心（若有的話）的配極是無窮遠直線。，任取一直線及上的一點，作點關于的配極，它交于點，點的配極交直線于點且通過。這樣，我們作出三角形，它的邊是對頂點的配極，這個三角形叫自配極三角形。證明：如果取直線作自配極三角形的邊，那么圓錐曲線的方程將有形式：證明：的方程分別是，因為是點的配極，所以的方程又應為，即，于是，同理得到。因此圓錐曲線的方程將有形式：：圓錐曲線焦點的配極是準線。證明：在歐氏平面上取一直角坐標系，使得圓錐曲線的方程是標準方程，以拋物線為例，此時方程為，焦點是，準線方程是。于是焦點的配極方程是，即，它在直角坐標系的方程是，也就是準線方程。（如下圖）：直線1和直線2是任意作的，其余的直線根據(jù)圖中的編號順序作出，直線8和直線9就是切線，說明這種作法的理由。S289314567證明：,2與直線7的交點分別是直線1,2與圓錐曲線的交點及點的第4調和點，因此直線7是點的極線，直線7與圓錐曲線的交點也在點的極線上，從而這兩交點的極線也通過點。而曲線上的點的極線是切線，所以直線8,9就是切線。：雙曲線上的無窮遠點的配極是它的漸近線，從而雙曲線上無窮遠點的切線是漸近線。證明：因為雙曲線的中心的極線是無窮遠直線，所以無窮遠點的極線通過中心。又因為雙曲線上的無窮遠點的極線通過它自身，所以這極線的方向是漸進方向，于是極線是漸近線。另法：設雙曲線方程是，則無窮遠點是，漸近線方程是。無窮遠點的極線方程是，即，所以雙曲線上的無窮遠點的配極是它的漸近線。