線性代數(shù)練習(xí)題帶解題過(guò)程-資料下載頁(yè)
2025-03-25 07:09本頁(yè)面
【正文】 解的存在定理掌握如何，并考察求通解的能力。 你來(lái)回答下面方程組或矩陣方程有解（唯一解等）的充要條件是什么？◆5． 設(shè)實(shí)二次型經(jīng)正交變換 化為標(biāo)準(zhǔn)形為（1）求參數(shù)；（2）求正交換矩陣評(píng)注 二次型正交變換化標(biāo)準(zhǔn)的問(wèn)題實(shí)質(zhì)就是對(duì)稱矩陣正交對(duì)角化的問(wèn)題，所以要把這類問(wèn)題轉(zhuǎn)化為矩陣問(wèn)題來(lái)處理。注意 二次型的矩陣我們規(guī)定一定是對(duì)稱的，如果二次型矩陣寫(xiě)不對(duì)的話，該題一分不得。提示 二次型的矩陣為這里標(biāo)準(zhǔn)形告訴你了，就等于告訴你特征值了特征值為，為確定參數(shù)常用下面方法，解得。的特征值為，求得其對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，由于特征值互異，它們是正交的，檢查一下如果不正交說(shuō)明你做錯(cuò)了。答案 提醒 如果只是一般的可逆變換化標(biāo)準(zhǔn)形為，這里標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)不再是特征值了，只有正交矩陣既是相似關(guān)系又是合同關(guān)系。一般不會(huì)出這樣的題。再注 一般二次型用正交變換化標(biāo)準(zhǔn)形的題，最常見(jiàn)的是教材P127例12，P132例11這種題型，你要好好看看，并完整地做一遍。四 證明題◆1． 設(shè)為個(gè)線性無(wú)關(guān)的維列向量，和與都正交，證明，線性相關(guān)。提示 前面曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，把正交關(guān)系看成齊次方程組。由題意，都是方程組的解，其系數(shù)矩陣的秩為，說(shuō)明只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。評(píng)注 這只是方法之一，可以說(shuō)是最簡(jiǎn)單的?！?． 證明提示 第一個(gè)等號(hào)見(jiàn)教材P101例15。 第二個(gè)等號(hào)絕不是同理可證的關(guān)系。因?yàn)榕c沒(méi)有同解的關(guān)系，未知數(shù)的個(gè)數(shù)不等。應(yīng)該這樣證：利用第一個(gè)結(jié)論評(píng)注 以上兩個(gè)證明題都用到齊次方程組解空間的維數(shù)定理，望對(duì)這個(gè)定理予以重視。
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