最值問題3(垂線段與輔助圓)-資料下載頁
2025-03-25 03:44本頁面
【正文】 菱形的性質(zhì)，梯形，軸對稱（折疊），等邊三角形的判定和性質(zhì)，最值問題．【分析】如下圖所示，由題意可知，△ABC為等邊三角形；過C作CH⊥AB，則AH=HB；連接DH；要使CA′的長度最小，則梯形APQD沿直線PQ折疊后A的對應(yīng)點(diǎn)A′應(yīng)落在CH上，且對稱軸PQ應(yīng)滿足PQ∥DH；因?yàn)锽P=3，易知HP=DQ=1，所以CQ=7. 【解答】解：如圖，過C作CH⊥AB，連接DH；∵ABCD是菱形，∠B=60176。∴△ABC為等邊三角形；∴AH=HB==4；∵BP=3，∴HP=1要使CA′的長度最小，則梯形APQD沿直線PQ折疊后A的對應(yīng)點(diǎn)A′應(yīng)落在CH上，且對稱軸PQ應(yīng)滿足PQ∥DH；由作圖知，DHPQ為平行四邊形∴DQ=HP= 1，CQ=CDDQ=81=7. 故正確的答案為：B．【點(diǎn)評】本題綜合考查了菱形的性質(zhì)，梯形，軸對稱（折疊），等邊三角形的判定和性質(zhì)，最值問題．本題作為選擇題，不必直接去計(jì)算，通過作圖得出答案是比較便捷的方法。弄清在什么情況下CA′的長度最小（相當(dāng)于平移對稱軸）是解決本題的關(guān)鍵.答案：我認(rèn)為以上答案不對，點(diǎn)A’應(yīng)該落在以點(diǎn)P為圓心PA長為半徑的一段圓弧上，所以當(dāng)A’落在CP上時(shí)，CA’的長度最小，PA沿線段PQ對折可得∠APQ=∠CPQ，再利用平行得內(nèi)錯(cuò)角相等及等角對等邊得出CQ=CP=7：（1）①證明：∵AB＝AC，B1C＝BC ∴∠1＝∠B，∠B＝∠ACB，∵∠2＝∠ACB（旋轉(zhuǎn)角相等），∴∠1＝∠2 ∴BB1∥CA1②過A作AF⊥BC于F，過C作CE⊥AB于E ∵AB＝AC，AF⊥BC ∴BF＝CF∵cos∠ABC＝，AB＝5，∴BF＝3∴BC＝6 ∴B1C＝BC＝6∵CE⊥AB ∴BE＝B1E＝∴BB1＝，CE＝∴AB1＝，∴△AB1C的面積為：（2）如圖過C作CF⊥AB于F，以C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F1，EF1有最小值。 此時(shí)在Rt△BFC中，CF＝，∴CF1＝，∴EF1的最小值為； 如圖，以C為圓心BC為半徑畫圓交BC的延長線于F1，EF1有最大值。 此時(shí)EF1＝EC＋CF1＝3＋6＝9 ∴線段EF1的最大值與最小值的差為。11
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