【正文】 工小李需制作一批容積為V的圓錐形漏斗，欲使其用料最省，問漏斗高與漏斗底面半徑應(yīng)具有怎樣的比例？6．輪船每小時使用燃料費(fèi)用(單位：元)和輪船速度(單位：海里／時)的立方成正比．已知某輪船的最大船速是18海里／時，當(dāng)速度是10海里／時時，它的燃料費(fèi)用是每小時30元，其余費(fèi)用(不論速度如何)都是每小時480元，如果甲、乙兩地相距1000海里，求輪船從甲地行駛到乙地，所需的總費(fèi)用與船速的函數(shù)關(guān)系，并問船速為多少時，總費(fèi)用最低？ 推理與證明 一、基礎(chǔ)知識導(dǎo)學(xué)1. 推理一般包括合情推理和演繹推理.2. 合情推理：根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，、類比是合情推理常用的思維方法.3. 歸納推理：根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理.4. 歸納推理的一般步驟：⑴通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；⑵從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題（猜想）.5. 類比推理：根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似性，推出其中一類事物具有另一類事物類似的性質(zhì)的推理.6. 類比推理的一般步驟：⑴找出兩類事物之間的相似性或一致性；⑵從一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）.7. 演繹推理：根據(jù)一般性的真命題導(dǎo)出特殊性命題為真的推理.8. 直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；間接證明的一種基本方法──反證法.9. 分析法：從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法. 10. 綜合法：從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的思維方法. 11. 反證法：判定非q為假，推出q為真的方法.12. 應(yīng)用反證法證明命題的一般步驟：⑴分清命題的條件和結(jié)論；⑵做出與命題結(jié)論相矛盾的假定；⑶由假定出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果；⑷間接證明命題為真.13. 數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)｛pn｝是一個與自然數(shù)相關(guān)的命題集合，如果⑴證明起始命題p1成立；⑵在假設(shè)pk成立的前提上，推出pk＋1也成立，那么可以斷定，｛pn｝對一切正整數(shù)成立.14. 數(shù)學(xué)歸納法的步驟： （1）證明當(dāng) （如 或2等）時，結(jié)論正確； （2）假設(shè) 時結(jié)論正確，證明 時結(jié)論也正確．二、疑難知識導(dǎo)析，推出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理. 而類比推理是根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似性，推出其中一類事物具有另一類事物類似的性質(zhì)的推理.2. 應(yīng)用反證法證明命題的邏輯依據(jù)：做出與命題結(jié)論相矛盾的假定，由假定出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果3. 數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法，歸納推理是一種推理方法.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講[例1] {}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項(xiàng)和為,并且對于所有的自然數(shù),與2的等差中項(xiàng)等于與2的等比中項(xiàng).(1)寫出數(shù)列{}的前3項(xiàng)。(2)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式(寫出推證過程)。錯解：由(1)猜想數(shù)列{}有通項(xiàng)公式=42.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是=42. (∈N).①當(dāng)=1時,因?yàn)?12=2,又在(1)中已求出=2,所以上述結(jié)論成立.②假設(shè)n=k時結(jié)論成立,即有=,有將=42代入上式，得，解得由題意,有將代入，化簡得解得.∴這就是說,當(dāng)n=k+1時,上述結(jié)論成立.根據(jù)①、②,上述結(jié)論對所有的自然數(shù)n成立. 錯因在于解題過程中忽視了取值的取舍.　正解：由(1)猜想數(shù)列{an}有通項(xiàng)公式an=4n2.猜想數(shù)列{}有通項(xiàng)公式=42.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是=42. (∈N).①當(dāng)=1時,因?yàn)?12=2,又在(1)中已求出=2,所以上述結(jié)論成立.②假設(shè)n=k時結(jié)論成立,即有=,有將=42代入上式，得，解得由題意,有將代入，化簡得∴這就是說,當(dāng)n=k+1時,上述結(jié)論成立.根據(jù)①、②,上述結(jié)論對所有的自然數(shù)n成立. [例2]　用數(shù)學(xué)歸納法證明對于任意自然數(shù)， 　　錯解：證明：假設(shè)當(dāng)（N）時，等式成立，　　　　　即，　　　　　那么當(dāng)時，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　這就是說，當(dāng)時，等式成立．　　　　可知等式對任意N成立．錯因在于推理不嚴(yán)密，沒有證明當(dāng)?shù)那闆r ．正解：證明：（1）當(dāng)時，左式，右式，所以等式成立．　　　　　（2）假設(shè)當(dāng)（）時，等式成立，　　　　　即，　　　　　那么當(dāng)時，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　這就是說，當(dāng)時，等式成立．　　　　　由（1）、（2），可知等式對任意N成立．[例3]　是否存在自然數(shù)，使得對任意自然數(shù)，都能被整除，若存在，求出的最大值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由．　分析　本題是開放性題型，先求出，…再歸納、猜想、證明．解：，　　　　　　，　　　　　　，　　　　……　　　　猜想， 能被36整除，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：　　　?。?）當(dāng)時，能被36整除．　　　?。?）假設(shè)當(dāng)，（N）時，能被36整除．　　　　那么，當(dāng)時， 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　由歸納假設(shè)，能被36整除，　　　　當(dāng)為自然數(shù)時，為偶數(shù)，則能被36整除．　　　　∴ 能被36整除，　　　　這就是說當(dāng)時命題成立．　　　　由（1）、（2）對任意，都能被36整除．　　　　當(dāng)取大于36的自然數(shù)時，不能被整除，所以36為最大．　[例4] 設(shè)點(diǎn)是曲線C：與直線的交點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線交軸于，過點(diǎn)作直線的平行線交曲線C于，再過點(diǎn)作的垂線作交X軸于，如此繼續(xù)下去可得到一系列的點(diǎn)，…，…如圖，試求的橫坐標(biāo)的通項(xiàng)公式．　分析 本題并沒有指明求通項(xiàng)公式的方法，可用歸納——猜想——證明的方法，也可以通過尋求與的遞推關(guān)系式求的通項(xiàng)公式．解：解法一　 與（，）聯(lián)立，解得　　直線的方程為，　令，得，所以點(diǎn)　直線的方程為與聯(lián)立，消元得（），解得，　所以點(diǎn)（，）．直線的方程為，　令，得，所以點(diǎn)　同樣可求得點(diǎn)（，0）　　　　　　……　　由此推測（，0），即　　　用數(shù)學(xué)歸納法證明　　?。?）當(dāng)時，由點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），　　　　即，所以命題成立．　　?。?）假設(shè)當(dāng)時命題成立，　　　　　即，0），則當(dāng)時，　　　　　由于直線的方程為，　　　　　把它與（，）聯(lián)立，　　　　　消去可得（），　　　　　∴ 　　　　　于是 　　　　　　即點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．　　　　　　∴ 直線的方程為　　　　　　令得，　　　　　　即點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）　　　　　　∴ 當(dāng)時，命題成立．　　解法二　設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（，0）、（，0），　　　　　　建立與的遞推關(guān)系，即，　　　　　　由數(shù)列是等差數(shù)列，且，公差　　　　　　可求得（），． 用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n有關(guān)的幾何命題，由k過渡到k＋1常利用幾何圖形來分析圖形前后演變情況．[例5] 有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個圓都不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個圓把平面分成f(n)＝n2n＋2個部分．證明①當(dāng)n＝1時，即一個圓把平面分成二個部分f(1)=2又n＝1時，n2n＋2＝2，∴命題成立②假設(shè)n＝k時，命題成立，即k個圓把平面分成f(k)＝k2k＋2個部分，那么設(shè)第k＋1個圓記⊙O，由題意，它與k個圓中每個圓交于兩點(diǎn)，又無三圓交于同一點(diǎn)，于是它與其它k個圓相交于2k個點(diǎn)．把⊙O分成2k條弧而每條弧把原區(qū)域分成2塊，因此這平面的總區(qū)域增加2k塊，即f(k＋1)＝k2k＋2＋2k=(k＋1)2(k＋1)＋2即n＝k＋1時命題成立．由①②可知對任何n∈N命題均成立．說明: 本題如何應(yīng)用歸納假設(shè)及已知條件，其關(guān)鍵是分析k增加“1”時，研究第k＋1個圓與其它k個圓的交點(diǎn)個數(shù)問題． [例6] 已知n≥2，n∈N②假設(shè)n=k時，原不等式成立．由①②可知，對任何n∈N(n≥2)，原不等式均成立．四、典型習(xí)題導(dǎo)練“1＋2＋3＋…＋（＋3）= (N)”，當(dāng)=1時，左邊應(yīng)為____________.{ }的前n項(xiàng)和，則{}的前四項(xiàng)依次為_______,猜想=__________.證明.，表示不超過的最大整數(shù). 設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿足證明. 5. 自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對魚群總量的影響. 用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N*，且x1＞0.不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c.（1）求xn+1與xn的關(guān)系式；（2）猜測：當(dāng)且僅當(dāng)x1，a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（3）設(shè)a＝2，c＝1，為保證對任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論.