等比數(shù)列例題解析-資料下載頁
2024-11-11 05:30本頁面
【導(dǎo)讀】分析由Sn＝pn，有a1=S1＝p，并且當(dāng)n≥2時，意對任∈，≥，都為同一常數(shù)是其定義規(guī)定的準(zhǔn)確含義．n*n2Naann?已知等比數(shù)列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之間插入n個正數(shù)x1，x2，…再注意到a2－a1=3，a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…b16是不是{an}中的項？
【正文】 四個數(shù)依次為 x， y， 12－ y， 16－ x． 依題意有 ＋ － － －x ( 1 2 y) = 2yy ( 1 6 x) = ( 1 2 y) 2??? 解方程組得： 或x = 0y = 4 x = 15y = 911 22??? ??? 這四個數(shù)為 0， 4， 8， 16 或 15， 9， 3， 1． 【例 13】 已知三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為 126；另外三個數(shù)成等比數(shù)列，把兩個數(shù)列的對應(yīng)項依次相加，分別得到 85， 76， 84．求這兩個數(shù)列． 解 設(shè)成等差數(shù)列的三個數(shù)為 b－ d， b， b＋ d，由已知， b－ d＋ b＋ b＋ d=126 ∴ b=42 這三個數(shù)可寫成 42－ d， 42， 42＋ d． 再設(shè)另三個數(shù)為 a， aq， aq2．由題設(shè)，得 a 42 d = 85ap 42 = 76aq 42 d = 842＋ －＋＋ ＋????? 整理，得－ ①②＋ ③ a d = 43aq = 34aq d = 422????? 解這個方程組，得 a1=17 或 a2=68 當(dāng) a=17 時， q=2， d=－ 26 當(dāng) 時， ，a = 68 q = 12 d = 25 從而得到：成等比數(shù)列的三個數(shù)為 17， 34， 68，此時成等差的三個數(shù)為68， 42， 16；或者成等比的三個數(shù)為 68， 34， 17，此時成等差的三個數(shù)為 17，42， 67． 【例 14】 已知在數(shù)列 {an}中， a a a3 成等差數(shù)列， a a a4 成等比數(shù)列， a a a5 的倒數(shù)成等差數(shù)列，證明： a a a5 成等比數(shù)列． 證明 由已知，有 2a2=a1＋ a3 ① a = a a32 2 4 ②③2 1 14 3 5a a a? ? 由③，得由①，得 代入②，得a =2a aa + aa =a + a2a =a + a243 53 521 332 1 3 2 3 53 5a aa a? 整理，得 a = a (a + a )a + a3 5 1 23 5 即 a3(a3＋ a5)=a5(a1＋ a3) a a a = a a a aa = a a32 3 5 1 5 3 532 1 5＋ ＋∴ 所以 a a a5 成等比數(shù)列． 【例 15】 已知 (b－ c)logmx＋ (c－ a)logmy＋ (a－ b)logmz=0． (1)設(shè) a， b， c 依次成等差數(shù)列，且公差不為零，求證： x， y， z成等比數(shù)列． (2)設(shè)正數(shù) x， y， z 依次成等比數(shù)列，且公比不為 1，求證： a， b， c 成等差數(shù)列． 證明 (1)∵ a， b， c 成等差數(shù)列，且公差 d≠ 0 ∴ b－ c=a－ b=－ d， c－ a=2d 代入已知條件，得：－ d(logmx－ 2logmy＋ logmz)=0 ∴ logmx＋ logmz=2logmy ∴ y2=xz ∵ x， y， z 均為正數(shù) ∴ x， y， z 成等比數(shù)列 (2)∵ x， y， z 成等比數(shù)列且公比 q≠ 1 ∴ y=xq， z=xq2 代入已知條件得： (b－ c)logmx＋ (c－ a)logmxq＋ (a－ b)logmxq2=0 變形、整理得： (c＋ a－ 2b)logmq=0 ∵ q≠ 1 ∴ logmq≠ 0 ∴ c＋ a－ 2b=0 即 2b=a＋ c 即 a， b， c 成等差數(shù)列
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