第29講等比數(shù)列-資料下載頁
2025-06-30 04:14本頁面
【正文】 。（2）在和之間插入n個(gè)正數(shù)，使這個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，求所插入的n個(gè)數(shù)之積。（3）設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍，且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍，問數(shù)列{lgan}的前多少項(xiàng)和最大？(lg2=0 3,lg3=)解析：（1）設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，依題意設(shè)：a1＞0，Sn=80 ，S2n=6560。 ∵S2n≠2Sn ，∴q≠1；從而 =80，且=6560。兩式相除得1+qn=82 ，即qn=81?！郺1=q－1＞0 即q＞1,從而等比數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列，故前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為第n項(xiàng)?！郺1qn1=54,從而(q－1)qn1=qnqn1=54?！鄎n1=81－54=27 ∴q==3。∴a1=q－1=2故此數(shù)列的首為2，公比為3。（2）解法1：設(shè)插入的n個(gè)數(shù)為，且公比為q，則。解法2：設(shè)插入的n個(gè)數(shù)為。（3）解法一 設(shè)公比為q,項(xiàng)數(shù)為2m,m∈N*，依題意有：，化簡(jiǎn)得，設(shè)數(shù)列{lgan}前n項(xiàng)和為Sn，則Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1nq1+2+…+(n－1)=nlga1+n(n－1)lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3=(－)n2+(2lg2+lg3)n可見，當(dāng)n=時(shí)，Sn最大，而=5,故{lgan}的前5項(xiàng)和最大，解法二 接前，,于是lgan=lg［108()n－1］=lg108+(n－1)lg，∴數(shù)列{lgan}是以lg108為首項(xiàng)，以lg為公差的等差數(shù)列，令lgan≥0，得2lg2－(n－4)lg3≥0，∴n≤=，由于n∈N*,可見數(shù)列{lgan}的前5項(xiàng)和最大。點(diǎn)評(píng)：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡(jiǎn)單、實(shí)用，缺點(diǎn)是有時(shí)計(jì)算較繁；第二種解法利用等比數(shù)列的性質(zhì)，與“首末項(xiàng)等距”的兩項(xiàng)積相等，這在解題中常用到。題型6：等差、等比綜合問題例11．（2006年廣東卷）已知公比為的無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為9，無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為。(Ⅰ)求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；(Ⅱ)對(duì)給定的，設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．求數(shù)列的前10項(xiàng)之和。解析：(Ⅰ)依題意可知：，(Ⅱ)由(Ⅰ)知,，所以數(shù)列的的首項(xiàng)為,公差，,即數(shù)列的前10項(xiàng)之和為155。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于出現(xiàn)等差、等比數(shù)列的綜合問題，一定要區(qū)分開各自的公式，不要混淆。五．思維總結(jié)1．等比數(shù)列的知識(shí)要點(diǎn)（可類比等差數(shù)列學(xué)習(xí)）（1）掌握等比數(shù)列定義＝q（常數(shù)）（nN），同樣是證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù)，也可由anan＋2＝來判斷；（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1；（3）對(duì)于G 是a、b 的等差中項(xiàng)，則G2＝ab，G＝177。；（4）特別要注意等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式應(yīng)分為q＝1與q≠1兩類，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1，當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝，Sn＝。2．等比數(shù)列的判定方法①定義法：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列；②等比中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列。3．等比數(shù)列的性質(zhì)①等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果是等比數(shù)列的第項(xiàng)，是等差數(shù)列的第項(xiàng)，且，公比為，則有；②對(duì)于等比數(shù)列，若，則，也就是：，如圖所示：。③若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么，成等比數(shù)列。如下圖所示：歡迎
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