等比數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)與典型例題答案-資料下載頁
2025-06-25 04:00本頁面
【正文】 的通項(xiàng)公式，通過通項(xiàng)公式判斷{an}類型.解析：∵log5(Sn+1)=n,∴Sn+1=5n,∴Sn=5n1 (n∈N+), ∴a1=S1=511=4,當(dāng)n≥2時，an=SnSn1=(5n1)(5n11)=5n5n1=5n1(51)=45n1而n=1時，45n1=4511=4=a1, ∴n∈N+時，an=45n1由上述通項(xiàng)公式，可知{an}為首項(xiàng)為4，公比為5的等比數(shù)列.舉一反三：【變式1】已知數(shù)列{Cn}，其中Cn=2n+3n，且數(shù)列{Cn+1pCn}為等比數(shù)列，求常數(shù)p?！敬鸢浮縫=2或p=3；∵{Cn+1pCn}是等比數(shù)列，∴對任意n∈N且n≥2，有(Cn+1pCn)2=(Cn+2pCn+1)(CnpCn1)∵Cn=2n+3n,∴[(2n+1+3n+1)p(2n+3n)]2=[(2n+2+3n+2)p(2n+1+3n+1)][(2n+3n)p(2n1+3n1)]即[(2p)2n+(3p)3n]2=[(2p)2n+1+(3p)3n+1][(2p)2n1+(3p)3n1]整理得：,解得：p=2或p=3,顯然Cn+1pCn≠0，故p=2或p=3為所求.【變式2】設(shè){an}、{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列，Cn=an+bn,證明數(shù)列{Cn}不是等比數(shù)列.【證明】設(shè)數(shù)列{an}、{bn}的公比分別為p, q，且p≠q為證{Cn}不是等比數(shù)列，只需證.∵,∴,又∵ p≠q, a1≠0, b1≠0,∴即∴數(shù)列{Cn}不是等比數(shù)列.【變式3】判斷正誤：(1){an}為等比數(shù)列a7=a3a4；(2)若b2=ac，則a，b，c為等比數(shù)列；(3){an}，{bn}均為等比數(shù)列，則{anbn}為等比數(shù)列；(4){an}是公比為q的等比數(shù)列，則、仍為等比數(shù)列；(5)若a，b，c成等比，則logma，logmb，logmc成等差.【答案】(1)錯；a7=a1q6，a3a4=a1q2a1q3=a12q5，等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)要求項(xiàng)數(shù)相同；(2)錯；反例：02=00，不能說0，0，0成等比；(3)對；{anbn}首項(xiàng)為a1b1，公比為q1q2；(4)對；；(5)錯；反例：2，4，8成等比，但logm(2)無意義.類型七：Sn與an的關(guān)系例7．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和Sn滿足，且a1，a3，a15成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an.解析：∵， ①∴，解之得a1=2或a1=3.又， ②由①②得，即∵an+an1＞0，∴anan1=5(n≥2).當(dāng)a1=3時，a3=13，a15=73，a1，a3，a15不成等比數(shù)列∴a1≠3；當(dāng)a1=2時，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n3.總結(jié)升華：等比數(shù)列中通項(xiàng)與求和公式間有很大的聯(lián)系，它們是，尤其注意首項(xiàng)與其他各項(xiàng)的關(guān)系.舉一反三：【變式】命題1：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an+b(a≠1)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列；命題2：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=nan，則數(shù)列{an}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列。上述兩個命題中，真命題為 個.【答案】0；由命題1得，a1=a+b，當(dāng)n≥2時，an=SnSn1=(a1)an1.若{an}是等比數(shù)列，則，即，所以只有當(dāng)b=1且a≠0時，此數(shù)列才是等比數(shù)列.由命題2得，a1=a1，當(dāng)n≥2時，an=SnSn1=a1，顯然{an}是一個常數(shù)列，即公差為0的等差數(shù)列，因此只有當(dāng)a1≠0，即a≠1時數(shù)列{an}才又是等比數(shù)列.17
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