數(shù)列極限的例題和習(xí)題-資料下載頁(yè)
2025-01-14 03:09本頁(yè)面
【正文】 式依次相加，則得即. 因此，⑵ 設(shè). 提示:一方面，；另一方面，對(duì)于任何，數(shù)列是單調(diào)增大或單調(diào)減小的有界數(shù)列. 答案：. ⑶ 設(shè)實(shí)數(shù).提示:首先指出，假如有極限，在兩端取極限，則得二次方程解得. 因此，當(dāng)時(shí)，且. 答案：.. 數(shù)列和由下式所確定：證明它們有公共極限 [稱它為數(shù)和的算術(shù)幾何平均數(shù)]證 因?yàn)?，所以?又因?yàn)椋虼说? 我們用相同的方法，可以證明一般的不等式根據(jù)單調(diào)有界原理，有極限 和 在兩端讓，則得. 因此，即我們就把這個(gè)公共極限值記成.【注】德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯求出了這個(gè)極限值，即，其中（橢圓積分,見(jiàn)第6章）有極限.證 根據(jù)單調(diào)有界原理， 即.其次，因?yàn)椋园堰@些同向不等式依次相加，則得不等式因此，：數(shù)列，設(shè)，則因此，其中常數(shù)稱為“歐拉常數(shù)”.證 ，（見(jiàn)第16節(jié)）即. 另一方面，根據(jù)[,見(jiàn)第16節(jié)]則有. 根據(jù)單調(diào)有界原理，必有極限.：.證 因?yàn)?，所以因此，上式右端第一?xiàng)是正整數(shù)，所以[注意，]33
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