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排列組合二項(xiàng)式定理練習(xí)題-資料下載頁(yè)

2025-03-25 02:36本頁(yè)面
  

【正文】 Z,這不可能,所以展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng).(2)若Tr+1是有理項(xiàng),當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù),又0≤r≤8,r∈Z,所以 r=0,4,8,即展開(kāi)式中有三項(xiàng)有理項(xiàng),分別是T1=x4,T5= x,T9= x2.【點(diǎn)撥】(1)把握住二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,還應(yīng)熟練掌握二項(xiàng)式的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、展開(kāi)式的系數(shù)間的關(guān)系、性質(zhì);(2)應(yīng)用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng),如求某一項(xiàng),含x某次冪的項(xiàng),常數(shù)項(xiàng),有理項(xiàng),系數(shù)最大的項(xiàng)等,一般是應(yīng)用通項(xiàng)公式根據(jù)題意列方程,在求得n或r后,再求所需的項(xiàng)(要注意n和r的數(shù)值范圍及大小關(guān)系);(3) 注意區(qū)分展開(kāi)式“第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”與“第r+1項(xiàng)的系數(shù)”.【變式訓(xùn)練1】若(x+)n的展開(kāi)式的前3項(xiàng)系數(shù)和為129,則這個(gè)展開(kāi)式中是否含有常數(shù)項(xiàng),一次項(xiàng)?如果有,求出該項(xiàng),如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】由題知C+C2+C22=129,所以n=8,所以通項(xiàng)為T(mén)r+1=C(x)8r =, 故r=6時(shí),T7=26Cx=1 792x,所以不存在常數(shù)項(xiàng),而存在一次項(xiàng),為1 792x.題型二 運(yùn)用賦值法求值【例2】(1)已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且a1+a2+…+an-1=29-n,則n=  ;(2)已知(1-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若5a1+2a2=0,則a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=  . 【解析】(1)易知an=1,令x=0得a0=n,所以a0+a1+…+an=30.又令x=1,有2+22+…+2n=a0+a1+…+an=30,即2n+1-2=30,所以n=4.(2)由二項(xiàng)式定理得,a1=-C=-n,a2=C=,代入已知得-5n+n(n-1)=0,所以n=6,令x=-1得(1+1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6,即a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=64.【點(diǎn)撥】運(yùn)用賦值法求值時(shí)應(yīng)充分抓住代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,通過(guò)一些特殊值代入構(gòu)造相應(yīng)的結(jié)構(gòu).【變式訓(xùn)練2】設(shè)(3x-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a7x7++a2+a4+a6+a8的值.【解析】令f(x)=(3x-1)8,因?yàn)閒(1)=a0+a1+a2+…+a8=28,f(-1)=a0-a1+a2-a3+…-a7+a8=48,所以a0+a2+a4+a6+a8==27(1+28).題型三 二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用【例3】求證:46n+5n+1-9能被20整除.【解析】46n+5n+1-9=4(6n-1)+5(5n-1)=4[(5+1)n-1]+5[(4+1)n-1]=20[(5n-1+C5n-2+…+C)+(4n-1+C4n-2+…+C)],是20的倍數(shù),所以46n+5n+1-9能被20整除.【點(diǎn)撥】用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題時(shí),首先需注意(a+b)n中,a,b中有一個(gè)是除數(shù)的倍數(shù);其次展開(kāi)式有什么規(guī)律,余項(xiàng)是什么,必須清楚.【變式訓(xùn)練3】,.【解析】=(1-)6=1+6(-)1+15(-)2+…+(-)6.因?yàn)門(mén)3=C(-)2=15(-)2= 06<, ,所以從第3項(xiàng)起,以后的項(xiàng)都可以忽略不計(jì).=(1-)6≈1+6(-)=1-=.總結(jié)提高(如常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)等),解決這些問(wèn)題通常采用待定系數(shù)法,運(yùn)用通項(xiàng)公式寫(xiě)出待定式,再根據(jù)待定項(xiàng)的要求寫(xiě)出n、r滿(mǎn)足的條件,求出n和r,再確定所需的項(xiàng);、差問(wèn)題的一個(gè)重要手段;,關(guān)鍵是進(jìn)行合理的變形,要注意余數(shù)的取值范圍.
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