排列組合二項(xiàng)式定理練習(xí)題-資料下載頁(yè)
2025-03-25 02:36本頁(yè)面
【正文】 Z，這不可能，所以展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng).(2)若Tr＋1是有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)，又0≤r≤8，r∈Z，所以 r＝0,4,8，即展開(kāi)式中有三項(xiàng)有理項(xiàng)，分別是T1＝x4，T5＝ x，T9＝ x2.【點(diǎn)撥】(1)把握住二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，還應(yīng)熟練掌握二項(xiàng)式的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、展開(kāi)式的系數(shù)間的關(guān)系、性質(zhì)；(2)應(yīng)用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)，如求某一項(xiàng)，含x某次冪的項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)，有理項(xiàng)，系數(shù)最大的項(xiàng)等，一般是應(yīng)用通項(xiàng)公式根據(jù)題意列方程，在求得n或r后，再求所需的項(xiàng)(要注意n和r的數(shù)值范圍及大小關(guān)系)；(3) 注意區(qū)分展開(kāi)式“第r＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”與“第r＋1項(xiàng)的系數(shù)”.【變式訓(xùn)練1】若(x＋)n的展開(kāi)式的前3項(xiàng)系數(shù)和為129，則這個(gè)展開(kāi)式中是否含有常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)？如果有，求出該項(xiàng)，如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】由題知C＋C2＋C22＝129，所以n＝8，所以通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝C(x)8r ＝， 故r＝6時(shí)，T7＝26Cx＝1 792x，所以不存在常數(shù)項(xiàng)，而存在一次項(xiàng)，為1 792x.題型二 運(yùn)用賦值法求值【例2】(1)已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a1＋a2＋…＋an－1＝29－n，則n＝ ；(2)已知(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若5a1＋2a2＝0，則a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝ . 【解析】(1)易知an＝1，令x＝0得a0＝n，所以a0＋a1＋…＋an＝30.又令x＝1，有2＋22＋…＋2n＝a0＋a1＋…＋an＝30，即2n＋1－2＝30，所以n＝4.(2)由二項(xiàng)式定理得，a1＝－C＝－n，a2＝C＝，代入已知得－5n＋n(n－1)＝0，所以n＝6，令x＝－1得(1＋1)6＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝64.【點(diǎn)撥】運(yùn)用賦值法求值時(shí)應(yīng)充分抓住代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)一些特殊值代入構(gòu)造相應(yīng)的結(jié)構(gòu).【變式訓(xùn)練2】設(shè)(3x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7＋＋a2＋a4＋a6＋a8的值.【解析】令f(x)＝(3x－1)8，因?yàn)閒(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28，f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋…－a7＋a8＝48，所以a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝＝27(1＋28).題型三 二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用【例3】求證：46n＋5n＋1－9能被20整除.【解析】46n＋5n＋1－9＝4(6n－1)＋5(5n－1)＝4[(5＋1)n－1]＋5[(4＋1)n－1]＝20[(5n－1＋C5n－2＋…＋C)＋(4n－1＋C4n－2＋…＋C)]，是20的倍數(shù)，所以46n＋5n＋1－9能被20整除.【點(diǎn)撥】用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題時(shí)，首先需注意(a＋b)n中，a，b中有一個(gè)是除數(shù)的倍數(shù)；其次展開(kāi)式有什么規(guī)律，余項(xiàng)是什么，必須清楚.【變式訓(xùn)練3】，.【解析】＝(1－)6＝1＋6(－)1＋15(－)2＋…＋(－)6.因?yàn)門(mén)3＝C(－)2＝15(－)2＝ 06＜， ，所以從第3項(xiàng)起，以后的項(xiàng)都可以忽略不計(jì).＝(1－)6≈1＋6(－)＝1－＝.總結(jié)提高(如常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)等)，解決這些問(wèn)題通常采用待定系數(shù)法，運(yùn)用通項(xiàng)公式寫(xiě)出待定式，再根據(jù)待定項(xiàng)的要求寫(xiě)出n、r滿(mǎn)足的條件，求出n和r，再確定所需的項(xiàng)；、差問(wèn)題的一個(gè)重要手段；，關(guān)鍵是進(jìn)行合理的變形，要注意余數(shù)的取值范圍.
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