二面角求法及經(jīng)典題型歸納-資料下載頁(yè)
2025-03-24 06:31本頁(yè)面
【正文】 所示，建立空間直角坐標(biāo)系，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)依題意得 （I） 所以異面直線與所成的角的大小為.（II）證明： ， （III） 又由題設(shè)，平面的一個(gè)法向量為例2（2010北京卷理，16題14分） 如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角ABED的大小。 [來(lái)源:例3（2010福建卷理，18題，13分）如圖，圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O直徑.（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）設(shè)AB=，在圓柱內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于三棱柱內(nèi)的概率為.（i）當(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值；（ii）記平面與平面所成的角為，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值.解（Ⅰ）平面ABC，．AB是圓O的直徑，．又．而，所以平面．（Ⅱ）（i）設(shè)圓柱的底面半徑為r，則故三棱柱 的體積．又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．從而，．而圓柱的體積，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．所以，的最大值等于．（ii）由（i）可知，取最大值時(shí)，．于是，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則．，是平面的一個(gè)法向量．例4（2010海南理，18題，12分）如圖，己知四棱錐PABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD,⊥BD垂足為H,PH是四棱錐的高，E為AD中點(diǎn). （Ⅰ)證明：PE⊥BC（Ⅱ）若==60176。，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值.解：以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP分別為軸，線段HA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則.（Ⅰ）設(shè)，則.可得.因?yàn)椋?（Ⅱ）由已知條件可得，故，.例5（2010遼寧省理，19題，12分）已知三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小.證明：設(shè)PA=1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則（Ⅰ）． 因?yàn)椋?所以． （Ⅱ）， 設(shè)為平面CMN的一個(gè)法向量， 則令， 得． 因?yàn)椋?所以SN與平面CMN所成角為45176。．練習(xí)（2008湖北）如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若直線與平面所成的角為,二面角的大小為，試判斷與的大小關(guān)系，并予以證明.分析：由已知條件可知：平面ABB1 A1⊥平面BCC1 B1⊥平面ABC于是很容易想到以B 點(diǎn)為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，并將相關(guān)線段寫成用坐標(biāo)表示的向量，先求出二面角的兩個(gè)半平面的法向量，再利用兩向量夾角公式求解。（答案：，且）總之，上述五種二面角求法中，前三種方法可以說(shuō)是三種增添輔助線的一般規(guī)律，后兩種是兩種不同的解題技巧，考生可選擇使用。15
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