期末總復(fù)習(xí)-微積分知識(shí)總結(jié)-資料下載頁(yè)
2024-10-20 08:58本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】函數(shù)是整個(gè)高等數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象，因而成為考核的對(duì)象之一。段函數(shù)的定義和性質(zhì)。①兩個(gè)函數(shù)只有當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同時(shí)，才能說(shuō)它們是相同的函數(shù)。②分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)。④反正（余）弦函數(shù)式：自變量1?在上述的函數(shù)解析式中，上述情況有幾種就列出幾個(gè)不等式組成不等式組解之。型題中是不可避免的。下列那些量是無(wú)窮小量?掌握介值定理的推論---零點(diǎn)定理。本定理主要用于判定一個(gè)方程根的存在性。限；利用兩個(gè)重要極限求極限；利用洛必達(dá)法則求極限等。x使分子和分母都為零，可通過(guò)約去公共零因子的方法解決，我們有。解同上題，設(shè)法分離出零因子，然后消去。
【正文】 形的面積的相反數(shù)。 2．掌握定積分的基本性質(zhì) 四則運(yùn)算性質(zhì)；區(qū)間可加性； abdxba ??? 3．理解積分上限函數(shù)，掌握其重要性質(zhì) 4．掌握牛頓 —— 萊布尼茲公式 5．掌握定積分的換元法和分部積分法 6． 掌握定積分在求平面圖形面積上 、經(jīng)濟(jì)上 的應(yīng)用 . 二、 典型例題 類型題 1． 積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 例 1 求下列函數(shù)對(duì) x 的導(dǎo)數(shù)： （ 1） ?xa dtt 。cos 2 （ 2） ?ox dtt 。cos 2 解 2 （ 1） ? ?xa xdtt 22 co s)39。co s( （ 2） ? ? ????0 222 c o s)39。c o s()39。c o s(x xo xdttdtt 例 3 ? ??? xo dtttxf ,)2)(1()(求 )2(39。 ?f 解 ? ?????? xo xxdtttxf )2)(1()39。)2)(1(()(39。 0)22)(12()2(39。 ???????f 例 4 類型題 2． 定積分的計(jì)算 例 計(jì)算下列定積分： （ 1） ?12112 。1 dxex x （ 2） .10 2 dxxex? 18 解 （ 1） eeexdedxex xxx ?????? ?? 21211121112112 11 （ 2） )(2121 10 210210 210 2 dxexex d edxxe xxxx ??? ??? )1(41)2121(2121)0(21 2221022 ???????? eeeee x 例 3 ???44tan?? xdx ； 例 4 ???21 2 1 dxxx ； 例 5 ?? ?10 dxe x 例 6 ???402x16 dx 例 7 ???30 23x dx 小 結(jié) 這里需要注意的是在用換元法求定積分時(shí)，若引入新的變量，則積分上、下限必須作相應(yīng)的變換。 類型題 3 利用定積分的性質(zhì) ?????? ??? aaa xfdxxfxfdxxf0 )()(2)(0)(為偶函數(shù)為奇函數(shù)計(jì)算定積分 例 1 ______________dx)xs in xxs in x(11 32 ????? 例 2 _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _) d xf( x22 23 ??? x 類型題 4． 平面圖形的面積計(jì)算 例 求曲線 2xy? 與直線 2??xy 圍成的平面圖形的面積。 解 由聯(lián)立方程組 ??? ??? 22xy xy ，求得交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1， 1）及（ 2， 4） 29]3)2(21[])2[(2132212???????????xxdxxxA 類型題 5． 定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用 19 第七部分 多元函數(shù)微積分 一、重點(diǎn)內(nèi)容提要 ⒈ 掌握偏導(dǎo)數(shù)的求法 2．掌握復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全微分的計(jì)算公式 3. 掌握隱函數(shù)求導(dǎo)公式 4 .二重積分 ，掌握直角坐標(biāo)系下的二重積分的計(jì)算 二、典型例題 類型題 1． 求偏導(dǎo)數(shù) 例 1 設(shè) ),0( ?? xxz y 求yzxz ????,。 解 1???? yyxxz ， xxyz yln??? 例 2 設(shè) dzyxz 求sinco s? 例 3 求多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù) 2222s i n ,c o sx zyx zxy zyez x ????????? 例 4 求下列復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) : 設(shè) ),ln( 2 vuz ?? 2yxeu ?? ， yxv ?? 2 ， 求 xz?? , yz?? 。 解 xvuevu uxvvzxuuzxz yx 21222 2 ???????????????? ? yxexeyxexeevuxue yx yxyx yxyxyx??????????? ? ?? ??? 22 )(2222)()(2)()()(2)(2222222 同理 yxe yeyz yxyx?? ???? ??22)(2)( 14 22。 類型 題 2． 求全微分 例 求 22ln yxz ?? 的全微分 解： ? 222222 2 21 yx xyx xyxxz ???????? 222222 2 21 yx yyx yyxyz ???????? 20 ? )(122 y d yx d xyxdyyzdxxzdz ?????????? dydxdz 41)4,1( ??? 類型題 4．二重積分的計(jì)算 例 計(jì)算二重積分 ??Ddxdyyx22 ，其中 D 是曲線 xy=1 與直線 y=x,x=2 所圍。 解 留意區(qū)域 D 的形式，有 ? ? ??? ??? 21 1 12122222 )1(xxxxDdxyxdyyxdxd x dyyx ? ??????? 2121423 49)42()( xxdxxx 例 計(jì)算二重積分 ?? ?D dxdyyx )23(，其中 D 由兩坐標(biāo)軸及直線 x+y=2 所圍。 例 計(jì)算二重積分 ??D dxdyxy2 ，其中 D 由圓周 422 ??yx 及 y 軸所圍成的右半 區(qū)域。 類型題 5． 交換積分次序 例 1 交換二重積分 ?? ?? y dxyxfdyI 1010 ),(的積分次序 解 畫出區(qū)域圖，可見(jiàn) ?? ?? 21010 ),(x dyyxfdxI 例 2 交換二重積分 ? ? ?? ??? 10 0)3(210312 ),(),(x x dyyxfdxdyyxfdxI 的積分次序 解 畫出區(qū)域圖，易見(jiàn) ? ? ?? 10 23 ),(yy dxyxfdyI 小 結(jié) 交換積分次序的一般步驟是先按所給的二重積分的積分限畫出積分區(qū)域 D，再按積分區(qū)域 D 確定新的積分次序的積分限。 二重積分的計(jì)算，關(guān)鍵是確定其積分限，因此 適當(dāng)做些這方面的練習(xí)是必要的。
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