微積分下冊主要知識點-資料下載頁
2025-06-20 05:04本頁面
【正文】 為最大值, 最小者即為最小值.在通常遇到的實際問題中，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，可以判斷出函數(shù)的最大值（最小值）一定在的內(nèi)部取得，而函數(shù)在內(nèi)只有一個駐點，則可以肯定該駐點處的函數(shù)值就是函數(shù)在上的最大值（最小值）. 三、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法前面所討論的極值問題，對于函數(shù)的自變量一般只要求落在定義域內(nèi)，并無其它限制條件，這類極值我們稱為無條件極值. 但在實際問題中，常會遇到對函數(shù)的自變量還有附加條件的的極值問題. 對自變量有附加條件的極值稱為條件極值.拉格朗日乘數(shù)法設二元函數(shù)和在區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導數(shù)，則求在內(nèi)滿足條件的極值問題，可以轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)（其中為某一常數(shù)）的無條件極值問題.于是，求函數(shù)在條件的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為：(1) 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)其中為某一常數(shù)。(2) 由方程組解出, 其中x, y就是所求條件極值的可能的極值點.注：拉格朗日乘數(shù)法只給出函數(shù)取極值的必要條件, 因此按照這種方法求出來的點是否為極值點, 還需要加以討論. 不過在實際問題中, 往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定所求的點是不是極值點.拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形:四、數(shù)學建模舉例 二重積分的概念與性質(zhì) 一、二重積分的概念定義1 設是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù). 將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域 其中表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個上任取一點, 作乘積并作和如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時, 這和式的極限存在, 則稱此極限為函數(shù)在閉區(qū)域D上的二重積分, 記為 即 ()其中稱為被積函數(shù),稱為被積表達式, 稱為面積微元, 和稱為積分變量,稱為積分區(qū)域, 并稱為積分和.對二重積分定義的說明:(1) 如果二重積分存在，則稱函數(shù)在區(qū)域上是可積的. 可以證明，如果函數(shù)區(qū)域上連續(xù)，則在區(qū)域上是可積的. 今后，我們總假定被積函數(shù)在積分區(qū)域上是連續(xù)的。(2) 根據(jù)定義，如果函數(shù)在區(qū)域上可積，則二重積分的值與對積分區(qū)域的分割方法無關，因此，在直角坐標系中，常用平行于軸和軸的兩組直線來分割積分區(qū)域，則除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外，于是. 故在直角坐標系中，面積微元可記為. 即.進而把二重積分記為，這里我們把稱為直角坐標系下的面積微元. 二、二重積分的性質(zhì)類似于一元函數(shù)的定積分，二重積分也有與定積分類似性質(zhì)，且其證明也與定積分性質(zhì)的證明類似. 一、區(qū)域分類型區(qū)域：. 其中函數(shù)在區(qū)間上連續(xù). 這種區(qū)域的特點是：穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩個交點.型區(qū)域：. 其中函數(shù)在區(qū)間上連續(xù). 這種區(qū)域的特點是：穿過區(qū)域且平行于軸的直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩個交點. 二、二重積分的計算假定積分區(qū)域為如下型區(qū)域:.則有 ()類似地，如果積分區(qū)域為型區(qū)域：.則有 () 特別地，當區(qū)域為矩形區(qū)域時，有 三、交換二次積分次序的步驟一般地，交換給定二次積分的積分次序的步驟為：（1） 對于給定的二重積分 先根據(jù)其積分限畫出積分區(qū)域D（圖6814）（2）根據(jù)積分區(qū)域的形狀，按新的次序確定積分區(qū)域D的積分限（3） 寫出結(jié)果四、利用對稱性和奇偶性化簡二重積分的計算利用被積函數(shù)的奇偶性及積分區(qū)域D的對稱性，常會大大化簡二重積分的計算. 在例5中我們就應用了對稱性來解決所給的問題. 如同在處理關于原點對稱的區(qū)間上的奇（偶）函數(shù)的定積分一樣，在利用這一方法時，要同時兼顧到被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域D的對稱性兩方面. 為應用方便，我們總結(jié)如下：1. 如果積分區(qū)域D關于y軸對稱，則(1) 當時，有.(2) 當時，有其中2．如果積分區(qū)域D關于x軸對稱，則(1) 當時，有.(2) 當時，有其中
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