【正文】 )r T tKV S t SN d A d e N dAd??? ? ??=()12( ) ( )1r T tKSN d K e N ddA????? (26) 其中 21l n ( )( )( 1 ) 2Sr T tAddTt??? ? ???? ， 21d d T t?? ? ? 。 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 （ 2 ）時間段在 ? ?,T a T a?? ? ? 內(nèi)， ? ?,t t tV V S J t? 是下列問題的解 ? ?? ? ? ?? ?? ?2222r12l n l n02, , e1tV S J V V VJ S rS rVt t T a J S SKSV S J T a N d K N ddJ????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ????? ? ???? ( 27) 其中 21l n ( )( 1 ) 2SraJdda?????? ， 21d d a??? 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 運(yùn)用類似的方法，可得到： ? ? ? ?? ?, , , er T a tV S J t W ??? ? ?? ? ?? ?? ?2222l n 121W , e e d12yyy d r aKNyd a??????? ? ? ????????? ??? ? ? ??? ????????????????? ? ?? ?? ?222rt2l n 121e e d2yy d r aK N a ya?????? ? ? ??????????? ??? ? ? ??? ??????????????? 其中 ? ?? ?? ?? ?222221ln ??????? ?????????????????? aTtrJSaTt， ? ?? ?323131???? ????? aTt ， 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 ? ? 0t T a ?? ? ? ? 時， ? ? ? ?, , , ,t t T a T aV S J t V S S T a?? ?? ? ? ?? ? ? ， ??? ??????????221 2r ，13??? ， 在時間段 ? ???? aT,0 ， ? ?__,ttV V S t? 。當(dāng) t T a ?? ? ? 時，? ?_,TaT a T aV V S S T a??????? ? ? ?? ? ? ? ?211, , , e2 2 3rV S S T a W r??? ? ??????? ? ? ????????? 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 ? ?__,V V S t? 適合定解問題： ? ? ? ?__0 , 0 , 0, , ,BSL V S t T a wV S T a V S S T a????? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ( 28) 方程（ 28）的解為 ? ? ? ? ? ? ? ?2__ 11, , e , e2 2 3T a t r r T a tV S t V S T W r? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??????同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 注 1 ： 如果是 算術(shù)平均的亞式 VPO （例如，在時間 ? ?,TT ?? 的平均）， VPO 的價值 V 滿足下列定解問題： ? ?? ? ? ?22220 , 0 , 0 , 02, , 1 1V S J V V VS r S rV S J t Tt t T J S SKSV S J T K ddJ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??????? ? ????? ??? (29) 其中 1()ttTJ S dtT????????? 而在 ? ?0, T ?? 仍是一個歐式期權(quán)。問題（ 31 ）沒有顯式解，只能用數(shù)值方法進(jìn)行求解。 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 注 2：有界的亞式 VPO可以看作多個期權(quán)的組合，不難得到相應(yīng)的模型，但一般也只能給出數(shù)值解。 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 第二講 利率風(fēng)險管理與股權(quán)風(fēng)險管理 轉(zhuǎn)股價可向下修正的可轉(zhuǎn)換債券 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 實(shí)際背景 ? 可轉(zhuǎn)債券受到了證券市場方方面面的青睞 ? 上市公司特殊的股權(quán)結(jié)構(gòu) ? 熊市市場，投資者比較關(guān)注股價波動的風(fēng)險 ? 可轉(zhuǎn)債券的發(fā)行條款中，一般都設(shè)有轉(zhuǎn)股價修正條款 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 ? 例如，在龍電轉(zhuǎn)債（ 110726）的條款中，就設(shè)有“轉(zhuǎn)股價格時點(diǎn)向下修正條款”：自龍電轉(zhuǎn)債發(fā)行首日起，滿半年、一年半、兩年半之日，如果該時點(diǎn)前 30個交易日龍電 A股收盤價的算術(shù)平均值與 于當(dāng)時生效的轉(zhuǎn)股價格的 98%，則該乘積自動成為修正后的轉(zhuǎn)股價格； 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 ? 例如水運(yùn)轉(zhuǎn)債（ 100087），在其條款中設(shè)有轉(zhuǎn)股價向下修正條款，其修正權(quán)限與修正幅度為：當(dāng)公司股票在任意連續(xù) 30個交易日內(nèi)收盤價格的算術(shù)平均值不高于當(dāng)期轉(zhuǎn)股價格的 80%時，公司董事會有權(quán)在不超過 20%的幅度內(nèi)降低轉(zhuǎn)股價。修正幅度在 20%以上時，由董事會提議，股東大會通過后實(shí)施，董事會此權(quán)力的行使在 12個月內(nèi)不得超過一次。 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 ? 轉(zhuǎn)股價向下修正條款降低了可轉(zhuǎn)債持有人的投資風(fēng)險，有利于債券的發(fā)行。 ? 可轉(zhuǎn)債估值方法對投資各方具有強(qiáng)烈的現(xiàn)實(shí)意義。 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 數(shù)學(xué)模型 ? 可轉(zhuǎn)換債券的轉(zhuǎn)股價向下修正條款有各種形式，為了便于數(shù)學(xué)處理，我們對實(shí)際問題進(jìn)行了一些簡化和抽象。 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 基本假設(shè) （ a ） 某上市公司，其股票價格為 S ，公司發(fā)行一種可轉(zhuǎn)換債券，面值為 1 元。在到期日 T ，本息合計為 K 。 初始轉(zhuǎn)股價為 0S ，即一份轉(zhuǎn)債可轉(zhuǎn)為01S股公司的股票。 （ b ）在時間2T， 債券持有人可實(shí)施轉(zhuǎn)股條款，如果2T時刻前 ? 天的幾何平均股價2TA?低于0S? ，轉(zhuǎn)股價向下修正為0S? （ 01 ??? ? ? ）。 這里假設(shè) 2122lnTTTSdAe????? ??? 注： 采用平均股價的目的主要是為了防止大戶操縱股價，而采用幾何平均的目的主要為了數(shù)學(xué)求解的方便。 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 （ c ） 公司資產(chǎn)由股票和轉(zhuǎn)債構(gòu)成，而公司股票的價格tS 服從幾何 Br ow n 運(yùn)動，為求解方便不考慮分紅派息，在風(fēng)險中性鞅 測度下，tS 滿足： tttdSrd t dWS??? ( 2 ）這里 r ，? 為正常數(shù)。 r 為市場無風(fēng)險利率，?為股票波動率。 （ d ）市場是有效、無摩擦的。 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 轉(zhuǎn)債價格所滿足的微分方程 ? 如果可轉(zhuǎn)換債券具有擔(dān)保，可以不考慮違約風(fēng)險。 V表示可轉(zhuǎn)債價值，用 X表示可轉(zhuǎn)債在時刻的轉(zhuǎn)股價 ? ?2,TX X t A?? =0002202202TTTStTS t T A STS t T A S??????????? ? ???? ? ? ? ?? 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 考慮在 ? ?,T2 T 時間段可轉(zhuǎn)換債券 tV 的定價 可轉(zhuǎn)債在 T 時刻價值為： 1m a x ,TTV S KX???? ???? ()TS KKX ??? 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 由△ 對沖原理知，可轉(zhuǎn)債的價格 ? ?,。V V S t X? 滿足下列定解問題： ,00,( , ) ( )Tt T S2LVSV S T K KX?? ? ? ? ??? ???? ? ??? （ 5 ） 其中22222V V VL V S rS rVt S S?? ? ?? ? ? ?? ? ?。 注： 轉(zhuǎn)股價 X 在 ? ?,T2 T 是常數(shù)。 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 考慮在 ? ?2,TT2 ?? 時間段可轉(zhuǎn)債的定價 Tt2? 時，轉(zhuǎn)債的價值為： T2V ?21m a x , , 0 。2TTS V S XX?? ?? ????????? T2V ?22220 0 02200 0 0220( , 0 。 ) ( , 0 。 )( , 0 。 ) ( , 0 。 ) 0TTTTTTTTSV S S V S S A SSSV S S V S S A SS???? ? ???????? ? ? ? ? ??????? ? ?????? ? ? ? ? ??????? ??? ( 6) 222200220( ) ( , 0 。 ) ( , 0 。 )( ) ( )TTTTTTSSSH A V S V SS H A H A????????? ? ? ? ??? （ 7 ）其中 2()THA??22001, S1, 0 STTAA?????? ????? 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 在 ? ?2,TT2 ?? 時間段 ，設(shè) tJ 為 ? ?2,TT2 ?? 時間段的幾何平均股價，即 221ln()tTTSdttJe???? ??? ?? 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 轉(zhuǎn)債的價格 ? ?,t t tV V S J t? 是下列定解問題的解 ? ?22222002 2 20l n l n0 , 0 , 0 ,( ) 2( , , ) ( ) ( , 。 ) ( , 0 。 ) 1 0( ) ( )TT T TV S J V V V T TJ S r S r V S J tt t J S S 2 2SSSV S J H J V S V SS H J H J????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??????? ? ? ???????同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 在 ? ?0, T2 ?? 時間段，轉(zhuǎn)債的價格 V 是下列問題的解 22220 , 0 , 0( , ) ( , , )22 V V V TS rS rV S tt S STTV S V S S????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ???? ? ???? 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 模型的求解 轉(zhuǎn)股價向下修正條款的定價公式 在 ? ?2 ,T T ，轉(zhuǎn)債價格 ( , 。 )V V S t S? 為： ( ) ( )12( , 。 ) ( ) ( )r T t r T