【正文】 )V V S t S? 為： ( ) ( )12( , 。 ) ( , 0 。 ) ( , 0 。 ) ( , 0 。 ) ( , 0 。 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 考慮在 ? ?2,TT2 ?? 時(shí)間段可轉(zhuǎn)債的定價(jià) Tt2? 時(shí)，轉(zhuǎn)債的價(jià)值為： T2V ?21m a x , , 0 。V V S t X? 滿足下列定解問(wèn)題： ,00,( , ) ( )Tt T S2LVSV S T K KX?? ? ? ? ??? ???? ? ??? （ 5 ） 其中22222V V VL V S rS rVt S S?? ? ?? ? ? ?? ? ?。 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 轉(zhuǎn)債價(jià)格所滿足的微分方程 ? 如果可轉(zhuǎn)換債券具有擔(dān)保，可以不考慮違約風(fēng)險(xiǎn)。 r 為市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，?為股票波動(dòng)率。 這里假設(shè) 2122lnTTTSdAe????? ??? 注： 采用平均股價(jià)的目的主要是為了防止大戶操縱股價(jià)，而采用幾何平均的目的主要為了數(shù)學(xué)求解的方便。 初始轉(zhuǎn)股價(jià)為 0S ，即一份轉(zhuǎn)債可轉(zhuǎn)為01S股公司的股票。 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 基本假設(shè) （ a ） 某上市公司，其股票價(jià)格為 S ，公司發(fā)行一種可轉(zhuǎn)換債券，面值為 1 元。 ? 可轉(zhuǎn)債估值方法對(duì)投資各方具有強(qiáng)烈的現(xiàn)實(shí)意義。修正幅度在 20%以上時(shí)，由董事會(huì)提議，股東大會(huì)通過(guò)后實(shí)施，董事會(huì)此權(quán)力的行使在 12個(gè)月內(nèi)不得超過(guò)一次。 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 注 2：有界的亞式 VPO可以看作多個(gè)期權(quán)的組合，不難得到相應(yīng)的模型，但一般也只能給出數(shù)值解。當(dāng) t T a ?? ? ? 時(shí)，? ?_,TaT a T aV V S S T a??????? ? ? ?? ? ? ? ?211, , , e2 2 3rV S S T a W r??? ? ??????? ? ? ????????? 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 ? ?__,V V S t? 適合定解問(wèn)題： ? ? ? ?__0 , 0 , 0, , ,BSL V S t T a wV S T a V S S T a????? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ( 28) 方程（ 28）的解為 ? ? ? ? ? ? ? ?2__ 11, , e , e2 2 3T a t r r T a tV S t V S T W r? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??????同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 注 1 ： 如果是 算術(shù)平均的亞式 VPO （例如，在時(shí)間 ? ?,TT ?? 的平均）， VPO 的價(jià)值 V 滿足下列定解問(wèn)題： ? ?? ? ? ?22220 , 0 , 0 , 02, , 1 1V S J V V VS r S rV S J t Tt t T J S SKSV S J T K ddJ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??????? ? ????? ??? (29) 其中 1()ttTJ S dtT????????? 而在 ? ?0, T ?? 仍是一個(gè)歐式期權(quán)。 問(wèn)題（ 25）可解得： ? ?()12, [ ( ) ( 1 ) ( )]( 1 )r T tKV S t SN d A d e N dAd??? ? ??=()12( ) ( )1r T tKSN d K e N ddA????? (26) 其中 21l n ( )( )( 1 ) 2Sr T tAddTt??? ? ???? ， 21d d T t?? ? ? 。 于是 V 是下列定解問(wèn)題解 ([ 4] ) ： ? ?? ? ? ?2222l n l n0,2S , 0 , 0, , 11V S J V V VJ S r S rVt t T J S SJ t TKSV S J T K ddJ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?????????????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? ? ???? ???? (1 9) 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 令 ? ?lntT STJ????? ， ? ?,V U t?? (2 0 ) 則定解問(wèn)題（ 19）化為下列定解問(wèn)題： ? ? ? ?? ?? ? ? ?22 2 220 , , 0 ,22, e 11Tt T t TU U Ur r U R t Tt T TKU T K dd???????????? ? ? ? ??? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ?? ????????? ? ????? ??? (21) 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 經(jīng)變換（詳見(jiàn)本章附錄）定解問(wèn)題（ 2 1 ）的解為 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?22212, , e 1 e1r T tKV S J t N d d N dd? ? ??????? ? ???????? ( 22) 其中 ? ? ? ?????? dd????1ln21 ， ? ???? dd???1ln2， ? ?? ?? ?222221ln ??????? ???????????????? TtrJSTt， ? ?323131???? ???? Tt ， 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 ? 通過(guò)連續(xù)性條件得到前段的定解條件 當(dāng) ? ? 0tT ?? ? ? 時(shí)， ?????????????2212r ，13??? ， 可得 ? ? ? ? ? ?21612, , , , e 1 e1rrKV S J t V S S T N d d N dd????????????????? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ??? 其中 ? ? ? ?216 12 l n 143rdd????? ? ? ?? ， ? ? ? ?226 3 l n 143rdd????? ? ? ?? 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 在時(shí)間段 ? ???T,0 ，若記 ? ?__,t tV V S t? ，則當(dāng) tT ??? 時(shí)，利用期權(quán)價(jià)格的連續(xù)性 ? ?_,TV V S S T? ?? ?? 因此 ? ?__,V V S t? 適合定解問(wèn)題： ? ? ? ?__0, , ,LVV S T V S S T???????? ? ?? (23 ) 其中 _ _ _22__222V V VL V S rS r Vt S S?? ? ?? ? ? ?? ? ? 問(wèn)題（ 23 ）有解： ? ? ? ?? ?, , eT t rV S t V S T??? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ?21612e 1 e1rT t rKN d d N dd?????????????? ? ?????? (24) 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 2 、 在金融實(shí)踐中，為了便于操作，亞式 VPO 往往選擇在時(shí)間 ? ?,T a T a?? ? ? 的平均股價(jià)A 。 在時(shí)間段 ? ?TT ,?? , ? ?,t t tV V S J t? ( 18 ) 其中? ?1l n dtTetTStJ???? ????? 。 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 (1) 歐式的標(biāo)準(zhǔn) VPO ? ? ? ?, , ,1KdV r t P r t Td? ?同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 (2) 歐式的有界的 VPO 在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下， VPO 的價(jià)格 V 是下列定解問(wèn)題的解 : ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 22 2 22212 0 ,2, 0 , 0, , 1r S r vc c fV V V V V Vr rS S S rVt r S r S r Sr S t TV S r T c S X d c S X f S X? ? ? ? ? ? ??? ?? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ????(15) 轉(zhuǎn)換計(jì)價(jià)單位 ， 以零息票 P 作為計(jì)價(jià)單位，引進(jìn)股票 和期權(quán)相對(duì)于零息票的相對(duì)價(jià)格，ttPS和 ttVP，則可把上述二維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維問(wèn)題 。零息票的價(jià)格 P 是下列定解問(wèn)題的解 ([2 ] ) ? ?? ?2 220 , , 02, , 1rP P Pr rP r t Tt r rP r T T???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ????? (13 ) 這里rr? ? ? ??? ， ? 是市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格（ [ 3] ）。 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 假定 ? ?TtrPPtt,? 是 T 時(shí)刻到期的零息票在 t 時(shí)刻的價(jià)格。 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 ? 根據(jù)市場(chǎng)實(shí)際情況，作了下列考慮 ? 首先，如果 VPO的期限較長(zhǎng)，利率作為常數(shù)來(lái)處理似乎不盡合理，應(yīng)該探討利率是隨機(jī)的情況； ? 其次 ,為了防止操縱市場(chǎng)， 亞式 VPO應(yīng)該更有實(shí)際意義。 同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 標(biāo)準(zhǔn)亞式 VPO 假定 A 是到期日前某時(shí)間段的平均股價(jià)，則 標(biāo)準(zhǔn)亞式 VPO 發(fā)行的公司股票數(shù) ? ?dA KNA ?? 1到期日該期權(quán)持有者的收益（ Payoff）為： ? ?()m a x 0 , 1 TT K S KV dA???? ?????同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 有界的亞式 VPO ? 有界的亞式 VPO發(fā)行的公司股票數(shù) ? ?,1,cA c ffc A XKN X A XAdf X A? ???? ? ?? ??? ?? 收益（ Payoff）為： ? ?? ?? ?,1, ,11,1,0,Tc T cTc f Tf T fTcS KA X S X dSKK X A X S A dV dAX A S X df S K??? ? ??? ?? ? ? ? ??? ??? ? ???????其 它 情 況同濟(jì)大學(xué) 金融工程案例分析 固定利率下 VPO模型的建立 ? 市場(chǎng)的假定