【正文】 ??根軌跡的幅值方程： 法則 1 根軌跡的起點(diǎn) (Kg= 0)和終點(diǎn) (Kg??) ：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)， 終止于開環(huán)零點(diǎn)。 法則 2 根軌跡的分支數(shù)和對(duì)稱性 ：系統(tǒng)根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)有限零點(diǎn)數(shù) m 和有限極點(diǎn)數(shù) n 中的大者相等，根軌跡是連續(xù)的并且對(duì)稱于實(shí)軸。 70 *法則 3 根軌跡的漸近線 ：當(dāng)開環(huán)傳函中 m n 時(shí)，有 n ? m 條根軌跡分支沿著與實(shí)軸交角為 ?a ，交點(diǎn)為 ?a 的一組漸近線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，且有： mnzpmiinjja ??????? 11?mnka ???? 2 (k = 0,1, … , n ?m ? 1) *法則 4 實(shí)軸上的根軌跡 ：實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為 偶數(shù) ，則該區(qū)域必是根軌跡。 71 *法則 6 根軌跡的出射角與入射角 ： ???????????nxjjjxmiixp ppzpx,11)()(?1 , 1( ) ( )xmnz x i x ji i x jz z z p?? ? ?? ? ? ? ? ? ???1111( 2 1 )mnij ijdd z d pkl???????????分 離 點(diǎn) ：分 離 角 ： 法則 5 根軌跡分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn) ： 72 法則 7 根軌跡與虛軸交點(diǎn) ：若根軌跡與虛軸相交，則交點(diǎn)上的坐標(biāo)可按下述兩種方法求出： 方法一：在系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程 D(s) = 0中，令 s = jω，D(jω) = 0的解即是交點(diǎn)坐標(biāo)。 方法二：由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求出。 法則 8 閉環(huán)極點(diǎn)的和 ：若開環(huán)傳函分母階次 n比分子階次 m高 2次或 2次以上，即 n ? m ? 2，則系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于其開環(huán)極點(diǎn)之和。 1）根的分量之和是一個(gè)與 Kg 無(wú)關(guān)的常數(shù)； 2）各分支要保持總和平衡，走向左右對(duì)稱。 73 例 410 設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制系統(tǒng)的概略根軌跡。 )4)(2()1()(????sssKsG g解 : 單位正反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 0)4)(2( )1()(1)( ??? ???? ss sKsGsD g系統(tǒng)根軌跡需按 0176。 根軌跡的繪制法則繪制 。 1)4)(2( )1( ??? ?ss sK g即系統(tǒng)的根軌跡方程為 74 實(shí)軸上的根軌跡 ： [?4， ?2 ] [1， ∞ ] 分離點(diǎn)： 在 (?4， ?2)和 (1， ∞ )存在分離點(diǎn)。 114121????? ddd312,1 ???d根軌跡與虛軸的交點(diǎn)： 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程 s 2 + (6 ? Kg ) s + 8 ? Kg = 0 令 s = j?， 得 ( j? )2 + (6 ? Kg ) ( j? ) + 8 ? Kg = 0 分別令實(shí)部和虛部為零 ， 得 ?? 2 + 8 ? Kg = 0 6 ? Kg = 0 ? = ? ， Kg = 6 75 ? 0 j? 1 4 2 j1 1 ? )4)(2()1()(????sssKsG g當(dāng) Kg 6時(shí)，正反饋閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 如果此系統(tǒng)為負(fù)反饋系統(tǒng)，則系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。 76 參變量系統(tǒng)的根軌跡 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s)H(s) = GH(s , A) A為系統(tǒng)的參變量。則系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可表示為 D(s)= 1 177。 G(s)H(s) = 1 177。 GH(s, A) = 0 可整理為 式中， GH?’(s)為系統(tǒng)等效的開環(huán)傳遞函數(shù)。此時(shí)根軌跡可以化為常規(guī)根軌跡或 0?根軌跡。 )()(1)(1sQsPAsHG ????77 例 411 已知某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制參數(shù) a從零變化到正無(wú)窮時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。 )1()()()(2 ???ssassHsG 解 : 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 s3 + s2 + + = 0 兩邊同除以 s3 + s2 + ，得到如下 系統(tǒng)等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為 320 .2 5100 .2 5as s s????sssasHG)(23 ????把 a視為根跡增益，可繪制出 a 變化時(shí)系統(tǒng)的常規(guī)根軌跡。 78 ? 0 j? ? ?1 漸近線： σa= ?1/3 ?a= π/3， 5π/3， π。 根軌跡與虛軸的交點(diǎn) : a =1 s = ?j/2 sssasHG)(23 ????a ?? a = 1 分離點(diǎn)： d1= ?1/6 , d2= ?1/2。 a?? 79 ( 1 )( ) ( )( 1 ) ( 2 )K TsG s H ss s s???? 例 412 已知某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 其中開環(huán)根跡增益 K可自行選定。試分析時(shí)間常數(shù) T對(duì)系統(tǒng)性能的影響。 解 : 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 s (s +1 ) (s + 2 ) + K (1 + T s) = 0 或改寫為 s (s +1 ) (s + 2 ) + K + KT s = 0 系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)為 11( ) ( ) ( 1 ) ( 2 )K TsG s H ss s s K? ? ? ?等效開環(huán)極點(diǎn)為 s (s +1 ) (s + 2 ) + K = 0的根，也就是當(dāng) T = 0，以 K為可變參數(shù)的閉環(huán)極點(diǎn)。 80 ? 0 j? K=6 ( ) K=20 ( + ) K=3 (+ ) K=20 3 K=6 K=3 ( ) ( )( 1 ) ( 2 )KG s H ss s s???81 11( ) ( ) ( 1 ) ( 2 )K TsG s H ss s s K? ? ? ? ? 0 j? K=6 (T=0) K=20 (T=0) K=3 (T=0) K=20 K=6 K=3 3 漸近線： 有 2條漸近線 ? a = ? ?a = ? /2， 3? /2。 不論 K為何值，根軌跡的漸近線都是一樣的。 82 學(xué)習(xí)指導(dǎo)與小結(jié) 通過(guò)本章學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)做到： （ 1）掌握開環(huán)根軌跡增益 Kg變化時(shí)系統(tǒng)閉環(huán) 根軌跡的繪制方法。理解和熟記根軌跡的繪制法則。會(huì)利用幅值方程求特定的 K值。 （ 2）了解閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布和系統(tǒng)階躍響應(yīng)的定性關(guān)系及系統(tǒng)根軌跡分析的基本思路。 （ 3）掌握 0176。 根軌跡、參變量根軌跡繪制的基本思路和方法。 本章主要介紹了根軌跡的基本概念、控制系統(tǒng)根軌跡的繪制方法以及根軌跡法在控制系統(tǒng)分析中的應(yīng)用。 83 1)()(11 ????????njjmiigpszsK系統(tǒng)根軌跡的幅值方程為 gnjjmiiKpszs111 ???????系統(tǒng)根軌跡的幅角方程為 ? ?? ????????minjji kpszs1 1)12()()( ? 1）根軌跡的基本概念 根軌跡是當(dāng)系統(tǒng)中某參數(shù)由 0~∞ 變化時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)在 s平面上移動(dòng)的軌跡。 2）常規(guī)根軌跡方程 負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡方程的一般形式為 84 3）繪制系統(tǒng)軌跡的基本法則 根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡方程式，按照繪制系統(tǒng)根軌跡的基本法則，即可由系統(tǒng)開環(huán)零極點(diǎn)的分布直接繪制出閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。 4）控制系統(tǒng)的根軌跡分析 控制系統(tǒng)的根軌跡分析即應(yīng)用閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。 5）附加開環(huán)零極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響 根軌跡是根據(jù)開環(huán)零極點(diǎn)的分布繪制的，系統(tǒng)開環(huán)零極點(diǎn)的分布影響著根軌跡的形狀。通過(guò)附加零極點(diǎn)，可以改造系統(tǒng)根軌跡的形狀，使系統(tǒng)具有滿意的性能指標(biāo)。