[工學(xué)]數(shù)值方法第二章非線性方程的近似解法-資料下載頁
2025-01-19 10:06本頁面
【正文】 ）（ kk xx ???1 *)( xxx 的根??*xxe kk ?? 1?p則稱該迭代過程以及該迭代式是 p階收斂的 ，也稱相應(yīng)的迭代法是 p階方法。 定理： （ 1）在迭代法的局部收斂定理的條件下，即 x*是方程 的根，滿足 迭代函數(shù) 在 x* 的鄰域內(nèi)可導(dǎo)， 且在根 x*的某個鄰域 內(nèi)， 對于任意 x?S，有 ， 則迭代法是線性收斂的。 （ 2） 由 Newton迭代公式 xk+1= ?(xk)產(chǎn)生的數(shù)列 {xk} 若滿足 Newton迭代法的非局部收斂定理，則Newton迭代法是平方收斂的。 )( xx ?? )(x?}|{ * ???? xxxS1)(39。0 ??? Lx?證明 ：（ 1）因為迭代函數(shù) ?(x)在根 x*的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，故由 Lagrange中值定理有 kkkk exxxxe )(39。))((39。 **11 ???? ????? ??其中 ?在 xk與 x*之間。 )(39。)(39。lim)(39。limlim *1 xeeeekkkkkkk????? ??????????由 知，迭代法是線性收斂的。 1)(39。0 ??? Lx?2*1* )()(39。)(21kkkk xxxffxx ?????（ 2）由 Newton迭代法的非局部收斂定理證明過程知， 即 )(39。)(2121kkkkxffee ???因為 在鄰域內(nèi)不變號，故有 )(),( xfxf ???0)(2)(lim**21 ???????? xfxfeekkk即 Newton迭代法是平方收斂的。 證畢 三 、 牛頓迭代法的變形 Newton迭代優(yōu)點： 格式構(gòu)造容易； 迭代收斂速度快； Newton迭代缺點： 對初值的選取比較敏感，要求初值充 分接近真解； 對重根收斂速度較慢； 當(dāng)函數(shù)復(fù)雜時，導(dǎo)數(shù)計算工作量大． 1．牛頓下山法 牛頓迭代法依賴于 x0 （ 1）敏感度高； （ 2）對重根收斂慢； 2. 牛頓下山法 ：修正 （ 1）選取下山因子； （ 4）計算 f (xk+1)，并比較 與 的大小，分以下二種情況： 1）若 ，則當(dāng) 時，取 x*?xk+1，計算過程結(jié)束 。 當(dāng) 時，則把 xk+1作為新的xk值，并重復(fù)回到（ 3）。 1．牛頓下山法 牛頓下山法計算步驟可歸納如下： （ 1）選取初始近似值 x0； （ 2）取下山因子 ? = 1； )(39。)(1kkkk xfxfxx ????（ 3）計算 )( 1?kxf )( kxf)(( )1 kk xfxf ?? 21???? kk xx21 ???? kk xx11 )( ???kxf當(dāng) ?＞ ??； 且 , 則將下山因子縮小一半，取 ?/2代入，并轉(zhuǎn)向（ 3）重復(fù)計算。 xk+1加上一個適當(dāng)選定的小正數(shù)， )(( )1 kk xfxf ?? 2） 若 ，則當(dāng) ?≤ ??且 ，取 x*? xk，計算過程結(jié)束； 11 )( ???kxf否則若 ?≤ ??，而 時， 則把 即取 xk+1+?作為新的 xk 值， 并轉(zhuǎn)向（ 3）重復(fù)計算； 例 5：求方程 f (x) = x3 – x – 1 = 0 的根 k ? xk 0 1 1 1/25 2 1 3 1 4 1 牛頓下山法的計算結(jié)果： 2．針對重根情形的加速算法 設(shè) 是方程的 m 重根，并且存在函數(shù) ，使得 *x ()gx**( ) ( ) ( ) , ( ) 0mf x x x g x g x? ? ?*** 1 * *( ) ( ) ( ) ( ) ( )()() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )mmmf x x x g x x x g xx x x xfx m x x g x x x g x m g x x x g x? ???? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ?****** *****( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) l im l im( ) 1l im 1 1( ) ( ) ( )x x x xxxx x g xxxxx mg x x x g xxx x x xgxmmg x x x g x??????????? ??? ????? ? ? ????可見，此時牛頓迭代法僅為線性收斂 ()()()fxxfx? ? ?法 1：令 2( ) ( ) ( )()() [ ( ) ] ( ) ( )x f x f xx x xx f x f x f x????? ? ? ?? ? ???1 2( ) ( ) ( 0 , 1 , 2 , )[ ( ) ] ( ) ( )kkkkk k kf x f xx x kf x f x f x??? ? ?? ???法 2： ()() ()fxx x m fx? ?? ?1() ( 0 , 1 , 2 , )()kkkkfxx x m kfx? ? ? ??為加速收斂，可以采取如下兩種方法： 單點弦截法 ： 牛頓法一步要計算 f 和 f 39。，相當(dāng)于 2個函數(shù)值?，F(xiàn)用 f 的值近似 f 39。 : x0 x1 切線 割線 切線斜率 ? 割線斜率 00 )()()(xxxfxfxfkkk ?????)()()( )( 001 xxxfxfxfxxkkkkk ?????x2 雙點弦截法 ： 切線斜率 ? 割線斜率 11 )()()(???????kkkkk xxxfxfxf)()())((111??? ?????kkkkkkk xfxfxxxfxx 需要 2個初值 x0 和 x1。 x0 x1 x2
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