【正文】 造不同的迭代公式，得到不同的迭代序列。 )(x?即 )( ** xx ?? 0)( * ?xf一、 迭代法 ： 令方程 ,將其變成一個(gè)等價(jià)的方程 ,構(gòu)造 , 0)( ?xf )( xx ??,...,),( 10kxx k1k ???? }{ kx 稱為 迭代數(shù)列 ， )(1 kk xx ???或 迭代過程 。 迭代法 即序列 的極限 為 的根。因此，一般常用該方法求根的初始近似值，然后再用其它的求根方法精確化。 Remark3： 二分法的優(yōu)點(diǎn)是方法及相應(yīng)的程序均簡(jiǎn)單，且對(duì) f(x)性質(zhì)要求不高，只要連續(xù)即可。 ： 給定 ε ， 每步檢查 ，若成立，則取 ，否則繼續(xù)對(duì)分。 （ 2） 若 f (x1)與 f (a)同號(hào) ， 則知解位于區(qū)間 [x1, b]， a1=x1, b1=b。 2． 計(jì)算 f (x)在區(qū)間中點(diǎn)處的值 f (x1)。二分法的 基本思想 是：逐步將有根區(qū)間分半，通過判別函數(shù)值的符號(hào)，進(jìn)一步搜索有根區(qū)間，將有根區(qū)間縮小到充分小，從而求出滿足給定精度的根 的近似值。 二分法（對(duì)分法） 關(guān)于求解算法 : 算法多樣：比如剛才的 逐步搜索法 考慮因素： 1． 穩(wěn)定性； 2． 收斂性； 3． … 167。必要時(shí)可調(diào)整步長(zhǎng) h，總可把隔根區(qū)間全部找出。 描圖法 ： 畫出 y=f(x)的簡(jiǎn)圖，從曲線與 x軸交點(diǎn)的位置確定出隔根區(qū)間，或者將方程等價(jià)變形為g1(x)=g2(x)，畫出函數(shù) y= g1(x)和 y=g2(x)的簡(jiǎn)圖，從兩條曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的位置確定隔根區(qū)間。 Remark： 若能把有根區(qū)間不斷縮小，則可以得出根的近似值。 二、概念 設(shè)在區(qū)間 [a,b]上方程有一個(gè)根，則稱該區(qū)間為方程的一個(gè) 有根區(qū)間 。 例如 :1)多項(xiàng)式方程： 0axaxaxaxp 011n1nnnn ?????? ?? ...)(需要一定精度的近似解！ 2)超越方程 : 0c os2 ??xex方程 的解 稱為方程 的 根 或稱為 的 零點(diǎn) 。 Newton迭代法 167。 二分法（對(duì)分法） 167。第二章 非線性方程的近似解法 第二章 非線性方程的近似解法 167。 簡(jiǎn)介 167。 簡(jiǎn)單迭代法 167。 簡(jiǎn)介 求解非線性方程 f(x)=0 一、問題 困難 ：方程的解難以用公式表達(dá)。 ? ? 0?xf *x? ?xf? ? 0?xf二、概念 方程可能有多個(gè)實(shí)根，我們只能逐個(gè)求出來。若在區(qū)間 [a,b]上方程只有一個(gè)根，則稱該區(qū)間為方程隔根區(qū)間 。 三、根的隔離 基于函數(shù) f(x)的連續(xù)性質(zhì)，常用的根的隔離的方法有： 描圖法 與 逐步搜索法 。 逐步搜索法 ： 先確定方程 f(x)=0的所有實(shí)根所在區(qū)間 [a,b]，再按照選定的步長(zhǎng) （ n為正整數(shù)），取點(diǎn) xk=a+kh(k=0,1,… ,n)，逐步計(jì)算函數(shù)值f(xk)，依據(jù)函數(shù)值異號(hào)以及實(shí)根的個(gè)數(shù)確定隔根區(qū)間。 n abh ??三、根的隔離 三、根的隔離 問題： 掃描間距 ？ 167。 二分法（對(duì)分法） 一、算法 設(shè) 在 [a,b]上連續(xù)， f(a)f(b)0且在 [a,b]內(nèi)f(x)=0僅有一個(gè)實(shí)根 。 )(xf*x*x執(zhí)行步驟： 1． 計(jì)算 f (x)在有解區(qū)間 [a, b]端點(diǎn)處的值 ， f (a)， f (b)。 3． 判斷若 f (x1) = 0， 則 x1即是根，否則檢驗(yàn) ： （ 1） 若 f (x1)與 f (a)異號(hào) ， 則知解位于區(qū)間 [a, x1]， b1=x1, a1=a。 4. 反復(fù)執(zhí)行步驟 3， 便可得到一系列有根區(qū)間 ： (a, b), (a1, b1), …, (a k, bk), … 當(dāng) ??? ?? 11 kk ab時(shí) )(211 kkk bax ???則 即為方程的近似根 二、誤差估計(jì) 定理 1： 給定方程 f(x)=0，設(shè) f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且 f(a)f(b)0，則由二分法產(chǎn)生的序列 {xk}收斂于方程的根 x*，且具有誤差估計(jì)： , . . . ),()(* 21kab21xx1k1k ???? ??三、收斂準(zhǔn)則 ： ????? ?? )(2 1 1*1 abxx kk 利用誤差估計(jì)定理，令 得 2lnln)ln (1 ????? abk 從而得到對(duì)分次數(shù) k＋ 1，取 xk＋ 1作為根得近似值 x*。 1* ?? kxx????? ?? )(2 1 1*1 abxx kkRemark2： 也可以使用 來控制誤差。但 二分法不能用于求復(fù)數(shù)根和偶數(shù)重根，且收斂速度比較慢 。 ??)( kxfRemark1： 由于 ， 故也可以用 來控制誤差 （最常用） ??????? ??? )(2 1 11*1 abxxxx kkkk???? kk xx 1定義 f (x) f (a)? f (b)0 f (a)? f (b)=0 f (a) =0 打印 b, k 打印 a, k 結(jié)束 是 是 是 否 否 否 m=(a+b)/2 |ab|? f(a)?f(m)0 打印 m, k a=m b=m 結(jié)束 k=K+1 是 是 否 否 輸入 ?,bak = 0 算法 (二分法 ) 167。 }{kx*x 0)( ?xf)lim()(limlim 1 kkkkkk xxx ??????? ?? ?? 當(dāng) 連續(xù)時(shí)，有 或 。 )(x? 稱為 迭代函數(shù) , 稱為 迭代公式 因此，我們可以通過求迭代數(shù)列的極限的方法來求得方程 f(x)=0的根。在所有這些構(gòu)造的迭代公式中形成的序列中，有的序列是收斂的，而有些是發(fā)散的。?有)(x?（ 1）迭代函數(shù) 在區(qū)間 [a,b]上可導(dǎo)； ],[)( bax ??（ 2） 當(dāng) x?[a,b]時(shí)， ； *x（ 1）方程 在區(qū)間 [a,b]上有唯一的根 ； )( xx ??01*1*1,1 xxLLxxxxLLxx kkkkk ???????? ?（