[工學(xué)]數(shù)值方法第二章非線性方程的近似解法-在線瀏覽
2025-03-08 10:06本頁面
【正文】 3）誤差估計(jì) 產(chǎn)生的序列 必收斂于方程的根 ； 證明： 由于 上連續(xù)，作輔助函數(shù) ],[)( bax 在? ),()( xxxg ???( ) [ , ] ( ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0g x a b g a a a g b b b??? ? ? ? ? ? ?則 且 ，故由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，至少存在 ],[* bax ?又設(shè) **12( ) , [ , ] ( ) ( , ) ,x x x a b x a b?? ??有 兩 個(gè) 根 。)()( *2*1*2*1*2*1 xxxxxx ????? ????00))(39。 (1) 先證方程根的存在性。 )( xx ??,1)(39。)()( xxLxxxxxx kkkk ??????? ??? ????（ 2）由拉格朗日中值定理 ,有 。)()(xxLxxLxxxxxxkkkkkkkkk????????????－－ ＝ ????01k1kkk1kkxxL1LxxL1LxxL11xx??????????????...**1*11*11* )()(xxLxxxxxxxxxxxxkkkkkkkkkk??????????????????證畢 則對(duì)于任意的初值 x0?S， 迭代公式 產(chǎn)生的序列 必收斂于方程的根 。下面給出局部收斂定理： *x...,),( 210kxx k1k ????}{ kx定理 2.（局部收斂定理） 設(shè) 是方程 的根，若滿足： )( xx ??)(x?}|{ * ???? xxxS1)(39。 SxSx ??? )(,?],[ ** ?? ?? xx其中 ?在 x與 x*之間， 即 ??S。)()()(xxxxLxxxxxx證明： 證畢 故 。事實(shí)上， *x1)(39。)()( xxxxxxxxxx kkkk ????????? ??? ????Remark3： 當(dāng) 不取在 的鄰域內(nèi)時(shí)可能不收斂。 Remark4： 全局收斂定理中的兩個(gè)誤差估計(jì)式實(shí)際上 給出了迭代收斂的兩個(gè)準(zhǔn)則：事后誤差估計(jì)與事先誤 差估計(jì)（利用估計(jì)式可以預(yù)先求出迭代次數(shù) k）。 ?????? 01* 1 xxLLxxkk有 LxxLkln)1(ln01 ????由 由 1*1 ????? kkk xxLLxx因此可以用 來控制迭代過程。 Remark1:迭代方法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算程序簡單，并且雖然是以求解非線性方程的實(shí)根來討論的，但類似的結(jié)果完全可以推廣到求方程的復(fù)數(shù)根的情形。 例 求 x32x5=0在 [， ]上的根。 為了獲得較快的收斂速度你認(rèn)為應(yīng)該寫成怎樣的等價(jià)方程？ 051x53x03x50x 2 ??????? ..))(.(2212233 .5 1 .5 0( ) 2 .5 1 .5( ) ( 1 .5 ) / 3( ) 3 .5 1 .5xxx x x xx x xx x x???? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?51x53253x3x2x52x2x321...)(/)(.)(39。39。 Remark2：為便于識(shí)別，繪制習(xí)慣做法是： 圓角矩形表示“開始”與“結(jié)束”； 矩形表示工作環(huán)節(jié)用 ； 菱形表示問題判斷（審核）環(huán)節(jié)； 平行四邊形表示輸入輸出； 箭頭代表工作流方向。 p 越大，收斂速度越快；反之， p越小，收斂速度就越慢。 1lim kpkke Ce????（ C稱為漸近誤差常數(shù)） 定義： 設(shè) 收斂于 ，令迭代誤差 ，如果存在實(shí)數(shù) 及非零正常數(shù) C使得 1kkxx?? ? （ ） *()x x x?? 的 根*kke x x?? 1p?則稱該迭代過程以及該迭代式是 p階收斂的 ，也稱相應(yīng)的迭代法是 p階方法。 假定 在根 x*附近變化不大，可設(shè) ，由 迭代收斂條件有 ，故上式可寫為： 1)(39。 x? qx ?)(39。 如果把該誤差值作為對(duì) 的一種補(bǔ)償 ， 便可以得到更好的近似值 1?kx1?kx)(1 1??? kk xxqq)(1 11* kkk xxqqxx ???? ??記 )(1 111 kkkk xxqqxx ???? ???, . . .,)(210kxq1qxq11xxxk1k1kk1k???????????????Remark3：該方法的缺點(diǎn)是需估計(jì) 的近似值。在這種情況下，不但能加快新序列的收斂，還能有效地防止死循環(huán)的出現(xiàn)。 )(39。 2?kx?,2,1,02)()(122121121????????????????????????kxxxxxxxxxxxkkkkkkkkkkk??因此可以得下述 Aitken加速方法： kkkkkkk xxxxxxx?????????122121 2Remark：因?yàn)榈^程 xk+1= ?(xk)總是在根 x*附近進(jìn)行，因此用平均變化率代替迭代加速公式中 的是有意義的。)()( kkkkk xxxfxxxfxfxf0))((39。 Newton迭代法 設(shè) 是 的一個(gè)近似根，則 0)( ?xfkx基本思想 ：將非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程來求解。)(1kkkk xfxfxx ???1?kx ))(,( kk xfx )(xfy ?)(39。 ? Newton法亦稱為切線法 。 )( 210kxf xfxxkkk1k ????)0)(39。 )( ??? xfxf xfxx0)( ?xf顯然是 的同解方程。239。xfxfxfxfxfxfxfx??????證明： 只需證滿足迭代法局部收斂定理的兩個(gè)條件。 定理（ Newton迭代法局部收斂性 ）： 設(shè) 為 的根，如果：（ 1）函數(shù) f(x)在 的鄰域具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)；（ 2）在 的鄰域 。 ?xf*x*x? ????? *| xxxS*x則存在 的某
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