【正文】 自由的運(yùn)動到其他晶胞內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)。這種運(yùn)動就是電子在晶體內(nèi)的共有化運(yùn)動。 ? 波函數(shù)的振幅為一常數(shù)時(shí)，電子為自由電子，即在各點(diǎn)找到電子的幾率相同，這反映了電子在空間中的自由運(yùn)動。 ? 外層電子共有化運(yùn)動較強(qiáng)，其行為與自由電子相同 準(zhǔn)自由電子。內(nèi)層電子的行為與孤立原子中的電子相似。 ? 不同的 k標(biāo)志著不同的共有化運(yùn)動狀態(tài)，即電子具有不同的能量。 3? /a ?/a 0 ? /a 3?/a k E E與 k的關(guān)系 能帶 簡約布里淵區(qū) 允帶 允帶 允帶 允帶 禁帶 2. 晶體中電子的能帶 說明 ? 在 k=n?/a處，即布里淵區(qū)邊界上能量出現(xiàn)不連續(xù)性，形成允帶和禁帶；每個(gè)布里淵區(qū)對應(yīng)于一個(gè)能帶。 ? E(k)是 k的周期性函數(shù)，周期為 2? /a， 即： E(k)=E(k+n2?/a)，說明 k 和 k+ n2? /a表示相同狀態(tài)； ?只取第一布里淵區(qū)的 k值描述電子的運(yùn)動狀態(tài)，其他區(qū)域移動n2?/a與第一區(qū)重合； ? 在考慮能帶結(jié)構(gòu)時(shí)，只需考慮簡約布里淵區(qū)，在該區(qū)域，能量是波矢的多值函數(shù)，必須用 En(k)標(biāo)明是第 n個(gè)能帶。 ? 對于有邊界的晶體，需考慮邊界條件，根據(jù)周期性邊界條件，波矢只能取分立的數(shù)值，每一個(gè)能帶中的能級數(shù)（簡約波矢數(shù)）與固體物理學(xué)原胞數(shù) N相等。每一個(gè)能級可容納 2個(gè)電子。 ? 能量越高的能帶，其能級間距越大。 四 . 晶體中電子的運(yùn)動 有效質(zhì)量 能帶底部和頂部附近的 E(k )與 k的關(guān)系： 將一維 E(k )在 k=0附近按泰勒級數(shù)展開 k E(k ) 1. 晶體中 E(k )與 k的關(guān)系 E(k)=E(0)+(dE/dk)k=0k+(1/2)(d2E/dk2)k=0 k2 + (dE/dk) k=0 =0 E(k) － E(0) =(1/2)(d2E/dk2) k=0 k2 對給定的晶體 , (d2E/dk2) k=0=?2/m*n, 是一個(gè)常數(shù) 能帶底部附近有： E(k) － E(0) = k2?2/2m*n 和自由電子的 E(k )與 k的關(guān)系 E(k)= k2?2/2m0 相似。 m0 電子的慣性質(zhì)量； m*n 能帶底部電子的有效質(zhì)量，大于零。 同理能帶頂部附近的 E(k )與 k的關(guān)系 E(k)E(0) = k2?2/2m*n 電子的有效質(zhì)量小于零。 自由電子速度 v= ? k/m0 由 E= ?2k2/2m0 得 dE/dk= ?2k/m0 自由電子的速度： v=(1/ ?) dE/dk 同理，晶體中電子速度與能量的關(guān)系： v=(1/ ?) dE/dk 得 v= ? k / m*n 2. 電子的平均速度 外加電場作用，外力對電子作功，電子的能量變化為： dE=fd s=fvd t dE/dt=(fdE/?dk) f=?dk/dt 說明： 在外力作用下，電子的波矢不斷改變，其變化率與外力成正比。 加速度： dv/dt= d[(1/ ?) dE/dk]/dt = d[(1/ ?) d2E/dk2] dk /dt =f d2E/?2dk2 =f/m*n 電子所受外力與加速度的關(guān)系與牛頓第二運(yùn)動定律類似，不同的是用電子有效質(zhì)量代替慣性質(zhì)量。 1/m*n = d2E/?2dk2 4. 電子的有效質(zhì)量的意義 （ 1）晶體中的電子一方面受到外力的作用，另一方面，受到內(nèi)部原子及其他電子的勢場作用。 （ 2）電子的加速度應(yīng)是所有場的綜合效果。 （ 3）內(nèi)部電場計(jì)算困難 , 引入有效質(zhì)量可使問題簡單化，直接把外力和加速度聯(lián)系起來，而內(nèi)部的勢場作用由有效質(zhì)量概括。 （ 4）解決晶體中電子在外力作用下，不涉及內(nèi)部勢場的作用，使問題簡化。 （ 5）有效質(zhì)量可以直接測定。 能量、速度、有效質(zhì)量與波矢的關(guān)系 內(nèi)層電子的能量窄，有效質(zhì)量大；外層電子的能帶寬，有效質(zhì)量小。 外層電子，在外力的作用下，可以獲得較大的加速度。 正有效質(zhì)量 負(fù)有效質(zhì)量 m*n O k O E ?/a ?/a O V 5. 恒定電場作用下電子的運(yùn)動 eE K 電子速度隨時(shí)間做振蕩的變化，電子在 k空間做循環(huán)運(yùn)動。 (1) 部分填充帶導(dǎo)電 金屬 O ?/a E k ?/a f O ?/a E k ?/a f 6. 能帶論對導(dǎo)電性的解釋 在外加電場的作用下 ，電場使向著其正端運(yùn)動的電子能量降低 ， 反向運(yùn)動的電子能量升高 。由于那些接近費(fèi)米能的電子轉(zhuǎn)向電場正端運(yùn)動的能級 ， 從而使金屬呈現(xiàn)出導(dǎo)電性能 。 (2) 半導(dǎo)體和絕緣體 a. 無外加電場，且溫度一定 由于 E(k)=E(k) 電子占據(jù) k態(tài)的幾率同占據(jù) k態(tài)的幾率一樣，它們的速度方向相反、大小相等，二者的電流正好抵消，晶體中總電流為零。 b. 外加電場時(shí)， f=?dk/dt 電子的狀態(tài)變化 dk/dt = f / ? ， 沒有改變均勻填充，總電流為零。 絕緣體 半導(dǎo)體 1）本征激發(fā)成對地產(chǎn)生自由電子和空穴，所以自由電子濃度與空穴濃度相等，都等于本征載流子濃度； 2）禁帶寬度 Eg越大，載流子濃度越?。? 3）溫度升高時(shí)載流子濃度增大； 4）載流子濃度與原子密度相比是極小的，所以本 征半導(dǎo)體的導(dǎo)電能力很微弱。 a. 本征半導(dǎo)體 1）摻雜濃度與原子密度相比雖然很微小，但是卻 能使載流子濃度極大的提高，因而使導(dǎo)電能力顯 著增強(qiáng)。摻雜濃度越大，其導(dǎo)電能力越強(qiáng)； 2）摻雜只是使一種載流子的濃度增加，因此雜質(zhì)半 導(dǎo)體主要靠多子導(dǎo)電。當(dāng)摻入五價(jià)元素（施主雜 質(zhì)）時(shí)，主要靠自由電子導(dǎo)電；當(dāng)摻入三價(jià)元素 （受主雜質(zhì)）時(shí)，主要靠空穴導(dǎo)電。 b. 雜質(zhì)半導(dǎo)體 說明： 當(dāng)價(jià)帶狀態(tài)空出時(shí)，通常把價(jià)帶中空著的狀態(tài)看成是帶正電的粒子 空穴 價(jià)帶頂部空穴的質(zhì)量 mp*= mn* 空穴具有正的有效質(zhì)量。 (1) 費(fèi)米分布函數(shù) 電子的能量具有統(tǒng)計(jì)分布性 : 對于晶體中一個(gè)電子來說 ,它所具有的能量不確定 ,但對于大量的電子 ,在熱平衡狀態(tài)下 ,電子按照能量的大小具有一定的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律性 .即電子在不同的能級上統(tǒng)計(jì)分布幾率是一定的 . 根據(jù)能量統(tǒng)計(jì)理論 , 服從泡利不相容原理的電子遵循費(fèi)米統(tǒng)計(jì)律 . 對于能量為 E的一個(gè)能級被一個(gè)電子占據(jù)的幾率 f(E)為 f(E)=1/{1+exp[(EEF)/k0T]} 電子的費(fèi)米分布函數(shù) 7. 費(fèi)米能級與玻耳茲曼分布函數(shù) EF為費(fèi)米能級 。 它與溫度 、 材料的導(dǎo)電類型 、 雜質(zhì)的含量等有關(guān) 。 費(fèi)米能級一定 ， 在一定的溫度下 ， 電子在各量子態(tài)上的統(tǒng)計(jì)分布就完全確定 。 由晶體中能帶內(nèi)所有量子態(tài)中被電子占據(jù)的量子態(tài)數(shù)應(yīng)等于電子總數(shù)這一條件來決定 。 將晶體中大量的電子的集體看成一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng) ，由統(tǒng)計(jì)理論證明 ， 費(fèi)米能級是該系統(tǒng)的化學(xué)勢 。 即系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài) ， 也不對外界作功的情況下 ，系統(tǒng)中增加一個(gè)電子所引起系統(tǒng)自由能的變化為費(fèi)米能級 EF 。 本征情況 強(qiáng) n型 弱 n型 弱 p型 強(qiáng) p型 對于雜質(zhì)濃度一定的半導(dǎo)體，隨著溫度的升高，載流子以雜質(zhì)電離為主過渡到以本征激發(fā)為主的過程，相應(yīng)地，費(fèi)米能級則從位于雜質(zhì)能級附近逐漸移近禁帶中線處。 金屬 （ 2）玻爾茲曼分布函數(shù) f(E)=1/{1+exp[(EEF)/k0T]} 當(dāng) EEF k0T時(shí)， exp[(EEF)/k0T 1 有 1+exp[(EEF)/k0T]? exp[(EEF)/k0T] 此時(shí) f(E)=exp[(EF E)/k0T] = [exp(EF /k0T )] [exp(E /k0T )] 電子的玻爾茲曼分布函數(shù) 課堂作業(yè)： ，電子仍有相當(dāng)大的平均能量； 與自由電子的波函數(shù)異同。