【正文】 。數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)是學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行綜合運(yùn)用的最有效方式，因此選擇數(shù)學(xué)探究的內(nèi)容時(shí)，要使其有利于學(xué)生多層次、多角度地思考問題，有利于學(xué)生對(duì)信息的分析、綜合、交流能力的提高等。二、數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的教學(xué)要求。一個(gè)好的數(shù)學(xué)探究性課題應(yīng)該是具有一定的開放性，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的過程，有助于學(xué)生形成發(fā)現(xiàn)、探究問題的意識(shí)和提高數(shù)學(xué)的實(shí)踐能力、創(chuàng)新精神。 ，可以是某些數(shù)學(xué)結(jié)果的推廣和深入，不同數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系和類比，也可以是發(fā)現(xiàn)和探索新的數(shù)學(xué)結(jié)論。，學(xué)會(huì)與他人交流合作和建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。第二節(jié) 數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的一般模式探究是科學(xué)的本質(zhì)特征之一，沒有探究就不會(huì)有發(fā)現(xiàn)。作為中學(xué)生，一般不可能達(dá)到真正意義的探究，因而實(shí)施課題探究的重心就在于誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。當(dāng)前有不少師生認(rèn)為開展課題探究是課堂之外的事情，其實(shí)這是一種誤解。事實(shí)上，課堂教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的主渠道，因而對(duì)那些可以改造成數(shù)學(xué)探究性課題的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)內(nèi)容，數(shù)學(xué)教師要?jiǎng)?chuàng)造性地把它設(shè)計(jì)成具有探索性和開放性的問題。具體而言，在課堂中開展數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的一般模式主要由以下四個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成：“情境式”問題提出；“發(fā)現(xiàn)式”問題探究；“開放式”問題變換；“合作式”問題交流。一、“情境式”問題提出數(shù)學(xué)創(chuàng)新源于數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生離不開一定的數(shù)學(xué)情境。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力，不僅要以數(shù)學(xué)情境的精心創(chuàng)設(shè)為前提，而且，還要把挖掘數(shù)學(xué)情境與數(shù)學(xué)問題的內(nèi)在聯(lián)系作為教學(xué)的基本出發(fā)點(diǎn)。 數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)以一定數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法為依托，同時(shí)也是數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景，其素材可以源于生活，源于數(shù)學(xué)自身，還可以源于其它學(xué)科，它不僅能激發(fā)數(shù)學(xué)問題的提出，也能為數(shù)學(xué)問題的提出和解決提供相應(yīng)的信息和依據(jù)。在此過程中，當(dāng)學(xué)生不能單獨(dú)地利用已有知識(shí)和習(xí)慣的方法解決問題時(shí)，就能引起認(rèn)知沖突，激起學(xué)生的思維積極性和求知欲望、創(chuàng)造欲望，使學(xué)生積極投入到問題探究之中。 創(chuàng)設(shè)問題的情境需要三個(gè)條件：一是學(xué)習(xí)者能否在先前經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上覺察到問題的存在；二是探究的內(nèi)容對(duì)于學(xué)習(xí)者來說一定是未知的，而經(jīng)過努力是可掌握的；三是能否激發(fā)探究者的認(rèn)知沖突、需要和期望。而只有當(dāng)創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)情境進(jìn)入學(xué)生的“最近發(fā)現(xiàn)區(qū)”同時(shí)在內(nèi)容上富有挑戰(zhàn)性和探索性，學(xué)生才能在已有的認(rèn)知水平基礎(chǔ)上，通過教師的適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，從中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，形成“問題意識(shí)”，從而進(jìn)一步提高自己的探究意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。二、“發(fā)現(xiàn)式”問題探究 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)探究的一個(gè)重要方面，沒有發(fā)現(xiàn)就沒有證明，但傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)過程是重證明輕發(fā)現(xiàn)的，這顯然是數(shù)學(xué)“演繹”式的教學(xué)，不利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的目的是發(fā)展學(xué)習(xí)者自身的探究與解決問題的能力，使學(xué)習(xí)者成為知識(shí)的發(fā)現(xiàn)者，而不是被動(dòng)者，這就要求學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)乃夭?，主?dòng)探究發(fā)現(xiàn)，一般程序?yàn)椋河^察－－試探－－思索－－猜想－－證明。這種程序適應(yīng)于概念，公式，定理等知識(shí)過程的教學(xué)，體現(xiàn)學(xué)生參與發(fā)現(xiàn)過程的主體地位，注重了發(fā)現(xiàn)知識(shí)的策略和方法的培養(yǎng)。另外，在發(fā)現(xiàn)過程中要適時(shí)滲透合情推理，充分肯定歸納，類比，聯(lián)想等方法在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中重要作用，特別是“數(shù)學(xué)猜想”因?yàn)樗杀豢闯墒菙?shù)學(xué)探究活動(dòng)的基本方式，表現(xiàn)為思維主體從一定依據(jù)出發(fā)，利用非邏輯手段，直接獲得猜想性命題的創(chuàng)造性思維過程。數(shù)學(xué)家波利亞在他的著作《數(shù)學(xué)與猜想》中特別強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性過程是與其他知識(shí)的創(chuàng)造過程是一樣的，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，你先得猜測(cè)這個(gè)定理的內(nèi)容，在你完全做出詳細(xì)證明之前，你先得推測(cè)證明的思路……只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過程的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜測(cè)，合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢肹24]?？傊皵?shù)學(xué)探究”是波利亞的“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”和弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”教育思想的繼承和發(fā)展，是現(xiàn)代建構(gòu)主義認(rèn)知理論的具體實(shí)踐。三、“開放式”問題變換傳統(tǒng)上，問題的答案是唯一的，解法是模式化的，稱這類問題是“封閉”的。相反，條件開放（條件在不斷變化），結(jié)論開放（多結(jié)論或無固定結(jié)論），策略開放（可以采用多種方法和途徑去解決）的問題稱之為“數(shù)學(xué)開放題”。開放題由于其自身的開放性質(zhì)，不再是方法唯一，答案唯一，這就吸引學(xué)生不依賴教師和書本，獨(dú)立地去探索和發(fā)現(xiàn)問題的各種各樣的答案，可使學(xué)生在解題中形成積極探索和創(chuàng)造性的心理態(tài)勢(shì)，對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)產(chǎn)生一種新的領(lǐng)悟，進(jìn)而生動(dòng)活潑地參與“學(xué)數(shù)學(xué)，做數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)”的過程使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到有效的發(fā)展。然而，中國(guó)傳統(tǒng)課堂教學(xué)強(qiáng)調(diào)學(xué)課內(nèi)容的系統(tǒng)性，教師在課堂中占有主導(dǎo)地位。通過一定的變式教學(xué)策略可以幫助學(xué)生系統(tǒng)的、有效的理解和掌握學(xué)科知識(shí)。但一些國(guó)際比較研究顯示，與西方學(xué)生相比，盡管中國(guó)學(xué)生在解決常規(guī)題上有相當(dāng)優(yōu)勢(shì)，但是在解決開放性問題上則表現(xiàn)平平[25]。因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中引進(jìn)“開放式”問題也將成為必然，它可作為貫徹素質(zhì)教育的一個(gè)切入口，成為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的載體，教師要樹立正確的教學(xué)思想，在教學(xué)中要有意識(shí)構(gòu)建開放式問題，讓學(xué)生進(jìn)行探索和交流活動(dòng)，才能在教學(xué)過程中有意識(shí)地向?qū)W生傳授思維策略，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力[26]。四、“合作式”問題交流當(dāng)今建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，學(xué)習(xí)者以自己的方式建構(gòu)對(duì)事物的理解，從而不同的人看到的是事物的不同的側(cè)面，不存在完全相同標(biāo)準(zhǔn)的理解，教學(xué)要增進(jìn)學(xué)生之間的合作交流，達(dá)到取長(zhǎng)補(bǔ)短，集思廣益，通過學(xué)習(xí)者合作可使理解更加豐富和全面。因此，合作學(xué)習(xí)成為當(dāng)今世界范圍內(nèi)廣泛使用的課堂教學(xué)組織形式。擁有共同目標(biāo)的小組成員之間必定會(huì)形成積極的相互促進(jìn)的關(guān)系，與傳統(tǒng)教學(xué)相比，合作學(xué)習(xí)給予學(xué)生更多的機(jī)會(huì)嘗試多種交流方式，討論，指導(dǎo)等，學(xué)生通過彼此之間的交流與自我思考解決認(rèn)知沖突，從而達(dá)到對(duì)知識(shí)的真正理解。另一方面，教師也不再是過去的“主演”，而應(yīng)是營(yíng)造一個(gè)寬松和諧，民主的環(huán)境。首先，教師是合作學(xué)習(xí)環(huán)境中的設(shè)計(jì)者，同時(shí)要在適當(dāng)時(shí)候給予學(xué)生幫助和暗示，避免學(xué)生走彎路，耗費(fèi)更多的時(shí)間。其次，教師又是合作學(xué)習(xí)的評(píng)估者，既要對(duì)學(xué)習(xí)過程不斷評(píng)估，又要對(duì)學(xué)習(xí)結(jié)束后各小組的學(xué)習(xí)成果進(jìn)行評(píng)估。對(duì)評(píng)估的不同結(jié)果，都能引起各小組成員的反思，對(duì)于培養(yǎng)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度，學(xué)會(huì)既要堅(jiān)持真理，又要尊重他人等方面都會(huì)產(chǎn)生積極的影響[27]。第三節(jié) 數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的基本類型及教學(xué)案例設(shè)計(jì)探究性教學(xué)情境，讓中學(xué)生在觀察、歸納、分析、綜合，提出并驗(yàn)證結(jié)論的過程中體會(huì)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，長(zhǎng)期以來受到數(shù)學(xué)教育研究者的重視。但不是每一節(jié)課的教學(xué)都能用探究的方法進(jìn)行，正如布魯納所指出的，一個(gè)學(xué)生不可能只憑發(fā)現(xiàn)法去組織教學(xué)。要充分發(fā)揮探究課的作用，使其不流于形式，一個(gè)重要方面就是教師對(duì)所教內(nèi)容做出較好的教學(xué)法加工和組織。教師要正確把握教材；合理組織探究?jī)?nèi)容，抓住探究的關(guān)鍵點(diǎn)；設(shè)計(jì)出一些富有挑戰(zhàn)性，能激發(fā)起學(xué)生探究興趣，且可使學(xué)生在探究之后能獲得成就感的數(shù)學(xué)材料來組織課題探究學(xué)習(xí)。筆者擬結(jié)合教學(xué)實(shí)踐從教學(xué)內(nèi)容的組織與選擇闡述數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的四種基本類型。一、數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、形成和發(fā)展過程的課題探究設(shè)計(jì)將數(shù)學(xué)教學(xué)理解為活動(dòng)、思維和過程，就會(huì)沖破傳統(tǒng)的“結(jié)果式”教學(xué)范式，使數(shù)學(xué)教育的功能得以全面發(fā)揮。讓學(xué)生感受到知識(shí)的發(fā)生過程，了解知識(shí)的可靠性和局限性，使他們認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)是在實(shí)驗(yàn)，猜想、反駁，修正和證明中發(fā)展起來的，從而發(fā)展他們合情推理的能力、勇于批判的精神和自我反省意識(shí)；讓學(xué)生理解知識(shí)的形成過程，可以使他們明晰數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，弄清楚知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，從而培養(yǎng)他們的邏輯思維能力、概括能力和解決問題的能力；讓學(xué)生了解知識(shí)的發(fā)展性，可以使他們經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的探究歷程，培養(yǎng)他們的發(fā)散思維能力和直覺思維能力[28]。案例一 探究課題：點(diǎn)到直線的距離公式探究普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修2第113頁“點(diǎn)到直線的距離”一節(jié)內(nèi)容是該章的一個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)之一。教材開門見山地提出了已知點(diǎn)P（x0 , y0）和直線l:Ax+By+C=0怎樣求點(diǎn)P到直線l的距離問題，然后進(jìn)行分析和證明。這種傳授知識(shí)的方法雖然直截了當(dāng)，但不符合學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的心理順序，在課題探究學(xué)習(xí)中，我們可以通過如下處理，將教材內(nèi)容重組成課題探究問題的系列（約兩課時(shí)）：【拋磚引玉】問題：已知l1// l2且l1：y=kx+b1, l2: y=kx+b2, 求l1, l2的距離d 。生：利用圖形31，可得 。 l1xyMNl2Qααl1xyMNl2θαQdd圖31OO師：如何將兩平行線之間的距離公式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離公式？生：根據(jù)平行線之間的距離處處相等，在l1任取一點(diǎn)P（x0 , y0），y0=kx0+b1即b1= y0 kx0代入公式得 。生：已知點(diǎn)P（x0 , y0），直線l：y=kx+b,可求P到l 的距離。（，將b2改為b即可）生：已知點(diǎn)P（x0 , y0），直線l：Ax+By+C=0，可求出點(diǎn)P到l 的距離。（令代入公式整理即得，最后補(bǔ)充說明以上結(jié)論當(dāng)B=0時(shí)公式同樣成立）【循序漸進(jìn)】 師：剛才我們通過兩條平行線距離的求法自然過渡到點(diǎn)到直線距離的求解，并由直線的點(diǎn)斜式自然過渡到直線的一般式，順利地完成了點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)。原因是我們對(duì)圖形的幾何特征進(jìn)行了深入分析。那么，能否從代數(shù)式結(jié)構(gòu)尋求解法？生：可以，點(diǎn)到直線的距離是該點(diǎn)到直線上任意一點(diǎn)距離的最小值，因此可以通過求最小值的方法來解決。同學(xué)們分組展開了熱烈的討論，大家躍躍欲試，最后得到了結(jié)論。生：如圖32，設(shè)P（x0 , y0），P1（x , y），于是， =當(dāng)x = 時(shí), 的最小值是yPQxO圖32l=【登高望遠(yuǎn)】師：非常好，這種方法雖然運(yùn)算較冗繁，但能訓(xùn)練學(xué)生的耐性，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。從解題的過程中，我們能否得到一點(diǎn)啟示？能否整體表示出？（其中(x1，y1)點(diǎn)Q的坐標(biāo)）生：由，可見，只要求出就可以了。生：直線PQ的方程可寫成。①生：直線l的方程也可寫成。② 師：非常好！那么怎樣處理①、②兩式？ 生：可以將①、②兩式平方后相加，得到 ，所以，= ，兩邊開平方，取算數(shù)根求出d。 師：此種證法可謂是“好方法”，一波三折，千呼萬喚始出來。由于加強(qiáng)了任務(wù)分析，簡(jiǎn)化了計(jì)算過程，運(yùn)算量小，但思維量大。其實(shí)，發(fā)明創(chuàng)造就在我們身邊，只要大家勇于探索，充分發(fā)揮自己的聰明才智，就會(huì)有更多的驚喜出現(xiàn)?！居嗯d未消】 生：從代數(shù)式結(jié)構(gòu)出發(fā)分析，構(gòu)造向量（A ，B）與（），用它們的數(shù)量積表示（如圖32）設(shè)向量=（A ，B），P1（x1 ，y1）,，而，因?yàn)樗裕? =（因?yàn)椋Ｉ簭拇鷶?shù)式結(jié)構(gòu)出發(fā)分析，我想到了在數(shù)學(xué)新課標(biāo)必修④學(xué)到的不等式：對(duì)于任意的a、b、c、d∈R，恒有不等式，由此產(chǎn)生。設(shè)P（x0 , y0），P1（x1 , y1）。= 師：從這位同學(xué)的解法中我們就可以發(fā)現(xiàn)二維柯西不等式的幾何背景，很有創(chuàng)意！師：太令人激動(dòng)了，出現(xiàn)了百家爭(zhēng)鳴、百花齊放的局面，對(duì)于這個(gè)公式的證法可能不僅這些，希望同學(xué)們回去繼續(xù)考慮。點(diǎn)評(píng)：本設(shè)計(jì)的創(chuàng)新點(diǎn)在于這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，顯然不僅是為了得到一個(gè)公式，要結(jié)論，而重要的是要過程。通過對(duì)幾何圖形的結(jié)構(gòu)或者對(duì)目標(biāo)任務(wù)的分析，不僅尋找出解決問題的方法得到這個(gè)公式，更重要的是教會(huì)學(xué)生會(huì)探究問題。數(shù)學(xué)新課程以轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式為著眼點(diǎn)，以學(xué)生的發(fā)展為本，以發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力為本。點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，往往是因?yàn)樗倪\(yùn)算量較大，學(xué)生對(duì)此不感興趣。因此，筆者嘗試以課題探究學(xué)習(xí)為前提，以合作交流為形式，以探究建構(gòu)為目的，通過教師與學(xué)生、學(xué)生和學(xué)生的互動(dòng)，攻克了教學(xué)的難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生對(duì)此公式認(rèn)識(shí)的建構(gòu)和深化。建構(gòu)主義教學(xué)理論指出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非是一個(gè)被動(dòng)的接受過程，而是一個(gè)主動(dòng)的建構(gòu)過程。數(shù)學(xué)知識(shí)不能從一個(gè)人遷移到另一個(gè)人，一個(gè)人的數(shù)學(xué)知識(shí)必須基于個(gè)人對(duì)經(jīng)驗(yàn)的操作、交流通過反省來主動(dòng)建構(gòu)。這就是說教師所教的數(shù)學(xué)，必須經(jīng)過學(xué)生的主體感知、消化、改造，使之適合他們自己的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，才能被理解掌握。這就意味著，作為數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)必須在課堂中充分暴露教師的思維過程，充分展現(xiàn)知識(shí)的形成過程，讓學(xué)生在兩種過程的認(rèn)同與體驗(yàn)中建構(gòu)知識(shí)。其實(shí)思維是一個(gè)很自然的過程，問題是教師不要總是包攬、承擔(dān)學(xué)生思考的權(quán)利，學(xué)生自己可以做的事情就應(yīng)該放手讓他們?nèi)ピ囈辉?。為了提升?shù)學(xué)課的探究成分，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)把握好以下3個(gè)環(huán)節(jié)：其一，揭示知識(shí)的形成過程，從數(shù)學(xué)家的廢紙簍里尋找研究的痕跡，讓學(xué)生看到并體驗(yàn)，面對(duì)一個(gè)新問題他們是如何去研究、創(chuàng)造的。其二，創(chuàng)設(shè)問題情境，給學(xué)生一個(gè)形象生動(dòng)、內(nèi)容豐厚的對(duì)象，使學(xué)生深入其境，真正作為一個(gè)主體去從事研究。其三，暴露思維過程，不僅要給成功的范例，還要展示失敗和挫折，讓學(xué)生了解探索的艱辛和反復(fù)，體驗(yàn)研究的氛圍和真諦。二、數(shù)學(xué)問題解決的課題探究設(shè)計(jì) 問題解決，就是指綜合地、創(chuàng)造性地運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)去解決那種并非單純練習(xí)題式的問題的過程，其中包括實(shí)際問題和源于數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題，也就是波利亞稱為的具有挑戰(zhàn)性的問題[29]。我們以問題解決作為數(shù)學(xué)教育的中心即要努力幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”。具體地講，首先，“問題解決”是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)目的。重視問題解決能力的培養(yǎng)，發(fā)展問題解決的能力，其目的倒不是單純?yōu)榱吮M量多盡量好地解決新問題，而是為了學(xué)習(xí)在這個(gè)充滿疑問，有時(shí)連問題和答案都是不確定的世界里生存的本領(lǐng)。其次，問題解決是一個(gè)過程，是個(gè)發(fā)現(xiàn)的過程，探索的過程，創(chuàng)新的過程。在進(jìn)行問題解決時(shí)學(xué)生必須綜合他所學(xué)到的東西，并把它用到新的、困難的情境中去，此種解釋著重考慮學(xué)生用以解決問題的方法、策略和猜想。在問題解決過程中，這些部分是必不可少的。最后，“問題解決”是個(gè)基本技能，當(dāng)“問題解決”解釋為基本技能時(shí)，它遠(yuǎn)非一個(gè)單一的技巧，而是若干個(gè)技巧的一個(gè)整體。人們必須考慮問題的具體內(nèi)容、問題的形式以及構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)求解模型的方法等等。其焦點(diǎn)在于全體學(xué)生必須學(xué)習(xí)問題解決的必要性和選擇問題及所應(yīng)用的技巧時(shí)的困難[30]。案例二 探究課題：關(guān)于拋物線焦點(diǎn)弦的探究普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教材選修11第66頁例4