【正文】 兩球號碼之差的絕對值之和為S，求值S達到最小值的方法的概率（若某種方法，經(jīng)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射可與另一種方法重合，則認(rèn)為是相同方法）。15. 過拋物線y=x2一點A(1,1)作拋物線的切線交x軸于D，交y軸于B，C在拋物線上，E在線段AC上，F(xiàn)在線段BC上，且λ1+λ2=1，線段CD與EF交于P，當(dāng)C在拋物線上移動時，求P的軌跡方程。二○○五年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：1． 評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn)。選擇題只設(shè)6分和0分兩檔，填空題只設(shè)9分和0分兩檔；其他各題的評閱，請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評分檔次給分，不要再增加其它中間檔次。2． 如果考生的解題方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分，5分為一個檔次，不要再增加其他中間檔次。一、 選擇題（本題滿分36分，每小題6分）本題共有6小題，每小題均給出A，B，C，D四個結(jié)論，其中有且僅有一個是正確的。請將正確答案的代表字母填在題后的括號內(nèi)。每小題選對得6分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（不論是否寫在括號內(nèi)），一律得0分。1．使關(guān)于的不等式有解的實數(shù)的最大值是（ ）A． B． C． D．解：令則的最大值為。選D。2．空間四點A、B、C、D滿足則的取值（ ）A．只有一個 B．有二個 C．有四個 D．有無窮多個解：注意到由于則=即只有一個值得0，故選A。3．內(nèi)接于單位圓，三個內(nèi)角A、B、C的平分線延長后分別交此圓于、。則的值為（ ）A．2 B．4 C．6 D．8解：如圖，連，則 4．如圖，為正方體。任作平面與對角線垂直，使得與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，（ ）A．S為定值，不為定值 B．S不為定值，為定值C．S與均為定值 D．S與均不為定值解：將正方體切去兩個正三棱錐后，得到一個以平行平面為上、下底面的幾何體V，V的每個側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形W的每一條邊分別與V的底面上的一條邊平行，將V的側(cè)面沿棱剪開，展平在一張平面上，得到一個，而多邊形W的周界展開后便成為一條與平行的線段（如圖中），顯然，故為定值。 當(dāng)位于中點時，多邊形W為正六邊形，而當(dāng)移至處時，W為正三角形，易知周長為定值的正六邊形與正三角形面積分別為與，故S不為定值。選B。（　　　）A．焦點在軸上的橢圓　　　　　　B．焦點在軸上的雙曲線C．焦點在軸上的橢圓　　　　　　D．焦點在軸上的雙曲線解：即又方程表示的曲線是橢圓。即曲線表示焦點在軸上的橢圓，選C。，則第2005個數(shù)是（　　　?。〢．　　B．C．　　D．解：用表示k位p進制數(shù)，將集合M中的每個數(shù)乘以，得 中的最大數(shù)為。在十進制數(shù)中，從2400起從大到小順序排列的第2005個數(shù)是24002004=396。而將此數(shù)除以，便得M中的數(shù)故選C。二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）本題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上。其中則.解：由題設(shè)知，和式中的各項構(gòu)成首項為1，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式，得：令得取有，若成立，則的取值范圍是解：在上定義，又?僅當(dāng)或時，在上是減函數(shù)，結(jié)合（＊）知或、滿足，若對于任意則解：設(shè)由，知，即又 只有另一方面，當(dāng)有記，顯然有即，四面體DABC的體積為，且滿足則.解：即又等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立，這時面ABC，.，　　80　　.解：設(shè)正方形的邊AB在直線上，而位于拋物線上的兩個頂點坐標(biāo)為、則CD所在直線的方程將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得令正方形邊長為則①在上任取一點（6，,5），它到直線的距離為②.①、②聯(lián)立解得或，那么稱為“吉祥數(shù)”.將所有“吉祥數(shù)”從小到大排成一列若則5200.解：∵，可知，位“吉祥數(shù)”的個數(shù)為∵2005是形如的數(shù)中最小的一個“吉祥數(shù)”，且對于四位“吉祥數(shù)”，其個數(shù)為滿足的非負(fù)整數(shù)解個數(shù)，即個?！?005是第1+7+28+28+1＝65個“吉祥數(shù)”，即從而又而∴從大到小最后六個五位“吉祥數(shù)”依次是：70000，61000,60100,60010,60001,52000.∴第325個“吉祥數(shù)”是52000，即三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）：證明：（1）對任意為正整數(shù)；(2)對任意為完全平方數(shù)。證明：（1）?、佟、冖佗诘谩、塾散凼郊翱芍?，對任意為正整數(shù).…………………………10分（2）將①兩邊配方，得④由③≡∴≡≡0（mod3）∴為正整數(shù)④式成立.是完全平方數(shù).………………………………………………………………20分,2，…，9的九個小球隨機放置在圓周的九個等分點上，.（注：如果某種放法，經(jīng)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射后可與另一種放法重合，則認(rèn)為是相同的放法）解：九個編號不同的小球放在圓周的九個等分點上，每點放一個，相當(dāng)于九個不同元素在圓周上的一個圓形排列，故共有8！種放法，考慮到翻轉(zhuǎn)因素，則本質(zhì)不同的放法有種. …5分下求使S達到最小值的放法數(shù)：在圓周上，從1到9有優(yōu)弧與劣弧兩條路徑，對其中任一條路徑，設(shè)是依次排列于這段弧上的小球號碼，則上式取等號當(dāng)且僅當(dāng)，即每一弧段上的小球編號都是由1到9遞增排列.因此.…………………………………………………………………10分由上知，當(dāng)每個弧段上的球號確定之后，達到最小值的排序方案便唯一確定.在1,2，…，9中，除1與9外，剩下7個球號2,3，…，8，將它們分為兩個子集，元素較少的一個子集共有種情況，每種情況對應(yīng)著圓周上使S值達到最小的唯一排法，即有利事件總數(shù)是種，故所求概率……………20分（1,1）作拋物線的切線，分別交軸于D，點E在線段AC上，滿足。點F在線段BC上，滿足，且，求點P的軌跡方程.解一：過拋物線上點A的切線斜率為：切線AB的方程為的坐標(biāo)為是線段AB的中點. ………………5分設(shè)、則由知，得∴EF所在直線方程為：化簡得…①…………10分當(dāng)時，直線CD的方程為：…②聯(lián)立①、②解得，消去，得P點軌跡方程為：………15分當(dāng)時，EF方程為：方程為：，∴∴所求軌跡方程為………………………………………………20分解二：由解一知，AB的方程為故D是AB的中點. ……5分令則因為CD為的中線，而是的重心. ………………………………………………………………………10分設(shè)因點C異于A，則故重心P的坐標(biāo)為消去得故所求軌跡方程為………………………………………………20分2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題（二）及參考答案一、（本題滿分50分） 如圖，在△ABC中，設(shè)ABAC，過A作△ABC的外接圓的切線l，又以A為圓心，AC為半徑作圓分別交線段AB于D；交直線l于E、F。 證明：直線DE、DF分別通過△ABC的內(nèi)心與一個旁心。 （注：與三角形的一邊及另兩邊的延長線均相切的圓稱為三角形的旁切圓，旁切圓的圓心稱為旁心。） 證明：（1）先證DE過△ABC的內(nèi)心。 如圖，連DE、DC，作∠BAC的平分線分別交DC于G、DE于I，連IC，則由AD=AC， 得，AG⊥DC，ID=IC. 又D、C、E在⊙A上， ∴∠IAC=∠DAC=∠IEC，∴A、I、C、E四點共圓， ∴∠CIE=∠CAE=∠ABC，而∠CIE=2∠ICD， ∴∠ICD=∠ABC. ∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90176。+∠ABC，∴∠ACI=∠ACB，∴I為△ABC的內(nèi)心。 （2）再證DF過△ABC的一個旁心. 連FD并延長交∠ABC的外角平分線于I1，連IIB IB I，由（1）知，I為內(nèi)心， ∴∠IBI1=90176。=∠EDI1，∴D、B、lI四點共圓， ∵∠BI l1 =∠BDI1=90176。－∠ADI1 =（∠BAC+∠ADG）－∠ADI=∠BAC+∠IDG，∴A、I、I1共線. I1是△ABC的BC邊外的旁心二、（本題滿分50分） 設(shè)正數(shù)a、b、c、x、y、z滿足 求函數(shù)的最小值.解：由條件得， 即， ，同理，得 a、b、c、x、y、z為正數(shù)，據(jù)以上三式知， ， 故以a、b、c為邊長，可構(gòu)成一個銳角三角形ABC， ，問題轉(zhuǎn)化為：在銳角△ABC中， 求函數(shù)、）=的最小值. 令則 且 同理， +（取等號當(dāng)且僅當(dāng)，此時，三、（本題滿分50分） 對每個正整數(shù)n，定義函數(shù) （其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)， 試求：的值.解：對任意，若，則，設(shè) 則 讓a跑遍區(qū)間）中的所有整數(shù)，則 于是……① 下面計算畫一張2k2k的表，第i行中，凡是i行中的位數(shù)處填寫“*”號，則這行的“*”號共個，全表的“*”號共個；另一方面，按列收集“*”號數(shù)，第j列中，若j有T（j）個正因數(shù)，則該列使有T（j）個“*”號，故全表的“*”號個數(shù)共個，因此=.示例如下：ji1234561******2***3**4*56* 則……② 由此，……③ 記易得的取值情況如下：k123456789101112131415356678698881071010 因此，……④ 據(jù)定義， 又當(dāng)， ， ，則……⑤ 從則2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試第2題的探討本文對2005年的全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試第2題的解法及來歷作以探討，供感興趣的讀者參考。題目：設(shè)正數(shù)a、b、c、x、y、z滿足 ；，求函數(shù)的最小值。一．幾種迷茫思路的分析這道題目初看起來比較平易，給人一種立刻想到直接使用Cauchy不等式的通暢思路的驚喜，殊不知，這是一個極大的誤區(qū)，本題的難度和技巧正好在這里設(shè)置了較好的陷阱。思路一：由Cauchy不等式知到此，在u＞0的情況下，力圖使用函數(shù)的性質(zhì)無法得到最小值。思路二：考慮到題目的條件是6個變量的3個等量關(guān)系，于是，可根據(jù)三個條件等式容易求出x、y、z用a、b、c表達的式子：因為a、b、c；x、y、z都是正數(shù)，所以， 即以a、b、c為對應(yīng)邊可以構(gòu)成一個銳角△ABC，令從而，結(jié)合Cauchy不等式有令 ,則因為 ，∴ 到此，似乎勝利的曙光就在眼前，立刻想到在區(qū)間內(nèi)使用函數(shù)的性質(zhì)，但也無法得到最小值，而此時的最大值正好與題目的最小值（由于函數(shù)的對稱性，可以猜測其最小值在A=B=C=600時達到）吻合，實際上，這是一條無用的信息（表明使用Cauchy不等式過當(dāng)！），它是答題人再次陷入不能自拔的困境。俗話說得好，失敗是成功之母，上面的思路也昭示我們，對原式不能直接使用Cauchy不等式，需要再對原式做更好的更有用的恒等變形，可能是正確的途徑。二．賽題的解答為證明本賽題，我們先證明如下一個引理。引理：在△ABC 中，求證：　　　　　　 　?、俚忍柍闪⒌臈l件是△ABC為等邊三角形。證明：用向量方法證明如下設(shè)是平面上的單位向量，且成角為πA, 成角為πB, 成角為πC,那么， ,所以 注意到，在△ABC 中有熟知的等式：.從而①得證。有了上面的引理，本題的解答就容易多了，下面看本題的解法。解：同思路二得到，以a、b、c為對應(yīng)邊可以構(gòu)成一個銳角△ABC， 令從而 等號成立的條件顯然是A=B=C=600時達到，最后一個不等式是根據(jù)引理而得到的。所以，的最小值為.顯然，在時，等號成立，所以的最小值為.三．背景探索早在1994年，華東交大劉健先生就提出了如下猜想命題：在△ABC中，是否有： ②后來，湖南師大附中黃軍華（現(xiàn)為深圳中學(xué)教師）先生在文[1]曾證明了這一猜想。請看證明：分兩種情況（1）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，此時不妨設(shè)A＞900， 于是 ，所以 ,∴ 再據(jù) ，所以，即此種情況②得證。（2）當(dāng)△ABC為非鈍角三角形時，所以， 從而 即三角形為非鈍角三角形時結(jié)論也成立，綜上結(jié)論得證。對比③之后的敘述與今年的這道競賽加試第2題的解法，不難知道，今年的這道賽題無非是在②的第2種情況的基礎(chǔ)上增加了一個解方程組的程序（并由此判斷△ABC為銳角三角形）罷了，即今年的這道加試題可以看作是由解方程組（初中知識的要求），判斷三角形種類、與求最值（高中知識的要求）三個問題的簡單合成（串聯(lián)）。順便指出，①的證明曾經(jīng)是上世紀(jì)1990年前后在文[2]等刊物上討論過幾年的一個結(jié)論。 四．條件等式的幾何解釋對比條件等式 ；（注意a、b、c、x、y、z為正數(shù)）與△ABC中的斜射影定理 以及余弦定理，可知，應(yīng)有從而，求解本題中的解方程組的環(huán)節(jié)就可以看作是余弦定理的默認(rèn)結(jié)果。另外，有了上邊的余弦定理結(jié)構(gòu)，解答中的構(gòu)造三角形法已經(jīng)水到渠成了。參考文獻[1] 黃軍華 兩個猜想的證明 《湖南數(shù)學(xué)通訊》2（1996）P34。[2]