20xx年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析蘇教版20-資料下載頁
2025-01-25 05:28本頁面
【正文】 圖，在銳角三角形ABC的BC邊上有兩點(diǎn)E、F，滿足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，F(xiàn)N⊥AC（M、N是垂足），延長AE交三角形ABC的外接圓于D．證明：四邊形AMDN與三角形ABC的面積相等．證明：連MN，則由FM⊥AM，F(xiàn)N⊥AN知A、M、F、N四點(diǎn)共圓，且該圓的直徑為AF．又208。AMN=208。AFN，但208。FAN=208。MAD，故208。MAD+208。AMN=208。FAN+208。AFN=90176。．∴MN⊥AD，且由正弦定理知，MN=AFsinA．∴SAMDN=ADMN=ADAFsinA．連BD，由208。ADB=208。ACF，208。DAB=208。CAF，得⊿ABD∽⊿AFC．∴ AD∶AB=AC∶AF，即ADAF=ABAC．∴ SAMDN=ADAFsinA=ABACsinA=SABC．二．（本題滿分50分）設(shè)數(shù)列{a n}和{b n }滿足a0=1，a1=4，a2=49，且n=0，1，2，……證明a n（n=0，1，2，…）是完全平方數(shù)．證明 ⑴7：7an+1=49an+42bn－21，⑵6：6bn+1=48an+42bn－24．兩式相減得，6bn+1－7an+1=－an－3，即6bn=7an－an－1－3．代入⑴：an+1=14an－an－1－6．故an+1－=14(an－)－(an－1－)．其特征方程為x2－14x+1=0，特征方程的解為x=7177。4．故an=α(7+4)n+β(7－4)n+,現(xiàn)a0=1，a1=4，a2=49．解得α=β=．∴ an=(7+4)n+(7－4)n+=(2+)2n+(2－)2n+=[(2+)n+(2－)n]2． 由于[(2+)n+(2－)n]是整數(shù)，故知an是整數(shù)的平方．即為完全平方數(shù)．三．（本題滿分50分）有n個(gè)人，已知他們中的任意兩人至多通電話一次，他們中的任意n－2個(gè)人之間通電話的次數(shù)相等，都是3 k次，其中k是自然數(shù)，求n的所有可能值．解：由條件知，統(tǒng)計(jì)各n－2人組的通話次數(shù)都是3k次，共有C=C個(gè)n－2人組，若某兩人通話1次，而此二人共參加了C= C個(gè)n－2人組，即每次通話都被重復(fù)計(jì)算了C次．即總通話次數(shù)應(yīng)為3k次．由于(n－1，n－2)=1，故n－2|n?3k．若n－2|n，故n－2|2，易得n=4，(n=3舍去)此時(shí)k=0．由n－2|3k，n=3m+2，(m為自然數(shù)，且m≤k)，此時(shí)3k =3k=[3m+4+]3k－m，即3m－1|6．∴ m=0，1．當(dāng)m=0時(shí)，n=3(舍去)，當(dāng)m=1時(shí)，n=5．又：n=4時(shí)，每兩個(gè)人通話次數(shù)一樣，可為1次(任何兩人都通話1次)；當(dāng)n=5時(shí)，任何兩人都通話1次．均滿足要求．∴ n=0，5
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