全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽級預(yù)賽模擬試題-資料下載頁
2025-06-07 15:34本頁面
【正文】 2=(tan33tan)b2，所以k|a|2=(tan33tan)|b|2,由題設(shè)|a|=2,|b|=1。從而。12． 由|2z3(z1+z2)|≤|z1z2|得2|z3||z1+z2|≤|z1z2|和|z1+z2|2|z3|≤|z1z2|，所以(|z1+z2||z1z2|)≤|z3|≤(|z1+z2|+|z1z2|).又|z1+z2||z1z2|=當(dāng)且僅當(dāng)z1,z2輻角相差時(shí)，|z3|取最大值又|z3|≥0，當(dāng)且僅當(dāng)z2,z1輻角相差時(shí)，z3可以為0，所以|z3|min=0.13．解 若拋物線的開口向右，設(shè)其方程為y2=2px(p0)，設(shè)，。因?yàn)锳，O，C三點(diǎn)共線，所以，所以 同理，由B，O，D共線有，又因?yàn)锳，F(xiàn)，B共線，所以y1y2=p2,所以，所以點(diǎn)C坐標(biāo)為，D坐標(biāo)為。所以AD//BC//x軸，所以ABCD為直角梯形。由拋物線定義，|BF|=|BC|，|AF|=|AD|，設(shè)∠BFx=θ，則ABCD面積SABCD=|AB|2sinθ=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，SABCD取最小值2p2，由已知2p2=8，所以p=2。故所求拋物線方程為y2=177。4x.14．證明 記f(x)=x22，則f(x)在[0,+∞）上是增函數(shù)，又，所以=a2aa，所以，依此類推有，再用數(shù)學(xué)歸納法證明原命題。（1）當(dāng)k=0,1時(shí)，不等式顯然成立。（2）設(shè)當(dāng)k=m時(shí)，原不等式成立。當(dāng)k=m+1時(shí)，因?yàn)槠渲衒(0)(a)a，所以1+得證。15．證明 （1）若0x≤1，則0xy≤yπ，所以cosxycosy，又cosx≤1，所以1+cosxycosx+cosy；（2）若0y≤1，同理可得1+cosxycosxcosy；（3）若x1,y1，則xy≤,記，則0t2≤,所以xy≤t2≤，所以cosxy≥cost2,又cosx+cosy=2cos所以只需證1+cost2≥2cost，即證f(t)=1+cost22cost≥0.這里，則,因?yàn)?tt2，所以sint2sint,所以所以f(t)在上單調(diào)遞減，又而（因?yàn)椋?，所以所以，所以f(t)0。所以原不等式成立。第二試試題解答1． 證明 取DI中點(diǎn)Q，作APBC于P。因?yàn)?． =所以AQBC，所以Q，A，P三點(diǎn)共線。延長AP至R，使AR=CG，則，又因?yàn)锳DBE，所以，所以RDEF，同理RIGH，所以ΔRDI∽ΔLKM，且對應(yīng)邊平行，所以RQ//LN或RQ與LN重合，因?yàn)镽QBC，所以LNBC。 先證對任意m,n∈N+,1≤m,n≤2007，有，即mannam+n. ①（1）當(dāng)m=n=1時(shí)a1a1+1，結(jié)論成立；（2）設(shè)m,n都小于k時(shí)，命題成立，?。┊?dāng)m=k,nk時(shí)，設(shè)m=nq+r，則am≥anq+ar≥qan+ar，所以nam≥nqan+nar，所以nam+n≥nqan+nar+n=manran+nar+nman；ⅱ）當(dāng)n=k, mk時(shí)，設(shè)n=mq+r, 0≤rm，則an≤aqm+ar+1≤a(q1)m+ar+am+2≤…≤qam+ar+q，由歸納假設(shè)ram+r≥mar,所以man≤mqam+mar+mqmqam+ram+r+mq=nam+n，所以當(dāng)m,n至少有一個(gè)為k時(shí)結(jié)論成立，而m=n=k時(shí)，結(jié)論也成立，所以由數(shù)學(xué)歸納法，①得證。記，則對一切n∈N+,1≤n≤2007，有an≤nxan+1，所以an=[nx]. N=209。先證明N≤209，用正中的豎直直線將方格表分成兩個(gè)2010的方格表，將1至200逐行按遞增順序填入左表中，再在右表中按同樣的原則填入201至400，這樣一來，在每一行中所填之?dāng)?shù)的最大差不超過2101=209，在每一列中所填之?dāng)?shù)的最大差都不超過1911=190，所以N≤209。再證N不能小于209?？疾熳蛹疢1={1，2，…，91}和M2={300，301，…，400}，將凡是填有M1中的數(shù)的行和列都染為紅色；將凡是填有M2中的數(shù)的行和列都染為藍(lán)色，只要證明紅色的行和列的數(shù)目不小于20，而藍(lán)色的行和列的數(shù)目不小于21。那么，就有某一行或某一列既被染為紅色，又被染為藍(lán)色，從而其中必有兩個(gè)數(shù)的差不小于30091=209。設(shè)有i行和j列被染為紅色，于是，M1中的元素全部位于這些行與這些列的相交處，所以ij≥91,從而i+j≥2≥2≥，被染為藍(lán)色的行數(shù)與列數(shù)之和
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