【正文】 167。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 ? ?xezyx ?,, ?yx? 由此看出記號(hào) 可以用相同的方式表達(dá)它們，對(duì)這三種不同的運(yùn)算，借助于統(tǒng)一的之間的 “ 平行的 ” 運(yùn)算性質(zhì)。這種表達(dá)的優(yōu)點(diǎn)在于，在推理的過(guò)程中不必考慮元素的性質(zhì)，唯一需要關(guān)心的是，元素的運(yùn)算 具有性質(zhì) “ (i)、 (ii)、 (iii)” 這個(gè)前提。這樣，就可以引出相應(yīng)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)。 167。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 ? 群結(jié)構(gòu)就是在某一集合中確定了某種運(yùn)算 ， 且具有三個(gè)性質(zhì) (i)、 (ii)、 (iii)的一種結(jié)構(gòu) 。 其中性質(zhì) (i)、(ii)、 (iii)叫做群結(jié)構(gòu)的公理 ， 展開這些公理的推論就構(gòu)成群的理論 。 顯然 ， 群理論較之 “ 實(shí)數(shù)加 ” 、“ 整數(shù)模 ” 、 “ 位移合成 ” 等理論概括得多 ， 它適合于這三者中任一個(gè) 。 這就是研究結(jié)構(gòu)意義之所在 。 ? 由上述分析看出 ， 具體而言 結(jié)構(gòu)是集合中元素間滿足一定條件 （ 公理 ） 的某種關(guān)系 ， 一個(gè)抽象的集合只不過(guò)是一組元素而已 ， 無(wú)所謂結(jié)構(gòu) ， 但引進(jìn)了關(guān)系 ，就形成了結(jié)構(gòu) 。 因此 ， 關(guān)系是重要的 ， 它就代表一種結(jié)構(gòu) 。 167。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 ? ?cbaS 、? ? ?cba 、? ? ? ? ? ? ? ? ? ?acbbacabcbcacab ，、，、，、，、例如， 是表為 ，還是 這沒有區(qū)別。但對(duì)于積集合 ， SSS ?? ? ?cba 、? ? ? ? ? ? ? ? ? ?acbbacabcbcacab ，、，、，、，、這些元素就互相有區(qū)別了。 167。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 三種基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)介 (1) 代數(shù)結(jié)構(gòu) XXf n ?: 所謂非空集 X中的 n元代數(shù)運(yùn)算指 到 的一個(gè)映射 nX X其中 n叫做運(yùn)算的階。最常用的代數(shù)運(yùn)算是二元代數(shù)運(yùn)算，也即習(xí)慣上的代數(shù)運(yùn)算。 167。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 序?qū)? 在代數(shù)運(yùn)算 下的象記作 ，顯然， 中的二元代數(shù)運(yùn)算 給出了 中的一個(gè)三元關(guān)系： ? ?ba, ? ba?X ? Xcba ?? 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，三元序組滿足這個(gè)關(guān)系。 3X? ?cba ,而三元序組 的集合是笛卡爾積 的子集，故二元運(yùn)算可以視為一種結(jié)構(gòu)。 若非空集 中的代數(shù)運(yùn)算記為 ，則序?qū)? ?? ??,AA就稱為一個(gè)代數(shù)，即定義了運(yùn)算的集合。 167。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 ? 代數(shù)的例子很多 ， 如果再給代數(shù)加上一定的公理 ， 那它就構(gòu)成各種不同的代數(shù)結(jié)構(gòu) 。 如加上群公理 、 環(huán)公理 、 域公理等就分別構(gòu)成群 、 環(huán) 、 域等常見代數(shù)結(jié)構(gòu) 。 ? 再以群為例具體說(shuō)明之； 167。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 ? ??。G例、群結(jié)構(gòu) 二元序?qū)? 稱為群，是指它滿足如下公理： GGcba ?? , ? ? ? ? 。cbacba ?????（ 1） 中的元素關(guān)于代數(shù)運(yùn)算滿足結(jié)合律，即 ，有 G e Ge?? Ga??aeaae ????（ 2） 中存單位元 ：即 ,使 ，有 G GeaaaaaGa ?????????? 使, （ 3） 中每一個(gè)元素 ， 都在 中存在逆元 ，即 ? 可見 ， 群也就是在其上定義了滿足上述公理的二元代數(shù)運(yùn)算的非空集合 。 ? 代數(shù)結(jié)構(gòu)是由 離散性的對(duì)象 、 運(yùn)算關(guān)系 及其公理組所構(gòu)成的 結(jié)構(gòu) 系統(tǒng) 。 （ 2） 序結(jié)構(gòu) ? 常見的序結(jié)構(gòu)有兩種：半序結(jié)構(gòu)和全序結(jié)構(gòu) ， 建立了這兩種序結(jié)構(gòu)的集分別稱為半序集和全序集 （ 也稱半序結(jié)構(gòu)和全序結(jié)構(gòu) ） 。 167。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 167。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 半序集：如果Ａ的元素之間定義了一個(gè)關(guān)系 “ ＜ ” ，它滿足如下公理： （ i）自反性，對(duì)Ａ中的一切元素 ,有 aaa? (ii) 反對(duì)稱性，若 則 , , ,a b A a b b a? ? ?且ab? （ iii）傳遞性，若 則 , , , , ,a b c A a b b c? ? ?ac?則稱Ａ為半序集，這個(gè)關(guān)系為半序關(guān)系。 167。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 例如 自然數(shù)集中的整除關(guān)系是半序關(guān)系，因?yàn)?n能被自身整除；若 n能整除 m,m能整除 n,則 m=n。若 n能整除 m,m能整除 r,則 n也能整除 r,故自然數(shù)集是一種半序結(jié)構(gòu)。 全序集：滿足下列可比性條件（ iv）的半序集稱為全序集； ,a b a b?ba? (iv)Ａ中的任意兩個(gè)元素 或 至少有一個(gè)成立。 167。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 例如 一冪集中的包含關(guān)系不具有可比性，故不是全序集。 又如 不難驗(yàn)證，數(shù)集 ，關(guān)于整除關(guān)系構(gòu)成一全序結(jié)構(gòu)。但自然數(shù)集Ｎ關(guān)于整除關(guān)系不構(gòu)成全序結(jié)構(gòu)。 ? ?3 , 9 , 2 7 , 8 1A ? 又如 自然數(shù)集Ｎ關(guān)于 “ ≤” 關(guān)系構(gòu)成一全序結(jié)構(gòu)。 可見，序結(jié)構(gòu)是由對(duì)象集、次序關(guān)系及其公理組所構(gòu)成的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。 167。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 （３）拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 為了在一般意義下引進(jìn)拓?fù)涓拍?，一種比較直觀而較簡(jiǎn)單的辦法是引進(jìn)鄰域和鄰域結(jié)構(gòu)，即鄰域公理系統(tǒng)。 Ｘ的一些子集組成的集族 稱為鄰域族，若此集族滿足如下鄰域公理，此時(shí)，就稱 為 X的一個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)； ? ?UB ?? ?UB ? 167。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 （ i）Ｘ中的任一元素 在Ｂ中有一個(gè) ，使 。 x U xU?x Ux?U VVx? BVU ??（ ii）Ｘ中的任一元素 ，若在Ｂ中有 、 使 且 ，則 。 Uy?x Ux BBV? Vy? UV ?（ iv）Ｘ中的元素 ，對(duì) 中任一含 的 ，若有 ， 則必存在 ，使 ，且 。 即 X 中每一點(diǎn)至少有一鄰域。 即 X 中一個(gè)點(diǎn)的兩個(gè)鄰域的交仍為其鄰域。 V ? ?.BUVUx ???(iii)若 是 的一個(gè)子集 ， 而Ｘ中元素 U則 也是 的一個(gè)鄰域。 xV 167。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 xx 根據(jù)上述四條公理 ,特別是公理 (ii)與公理 (iv)能保證在數(shù)學(xué)分析的論域內(nèi)任一點(diǎn) ,能選取一連串越來(lái)越小的鄰域，使之點(diǎn) 為極限。由此可見 ,鄰域公理系統(tǒng)可以導(dǎo)致極限概念。也正是因?yàn)猷徲蚬硐到y(tǒng)能描述極限和連續(xù)，而拓?fù)渥儞Q是研究一種比較廣泛的，即僅保持連續(xù)性不變的那種變換，所以， 拓樸結(jié)構(gòu)常被說(shuō)成是能夠描述極限的那種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 注 公理 (iv)保證了 X 中的每個(gè)點(diǎn)至少有一個(gè)這樣的鄰域，在該鄰域內(nèi)所有的點(diǎn)都有鄰域。顯然，實(shí)數(shù)域的開區(qū)間都具有這個(gè)性質(zhì)。 ? 從三種基本結(jié)構(gòu)出發(fā) ， 通過(guò)增加一個(gè)或幾個(gè)新公理 ， 就可以得到許許多多的特殊結(jié)構(gòu) 。 例如 ， 從一般的群論出發(fā) ， 加上群的元素是有限的這一公理 ， 就得到有限群結(jié)構(gòu) 。 母結(jié)構(gòu)的有機(jī)結(jié)合也可產(chǎn)生多重結(jié)構(gòu) 。又如 ， 實(shí)數(shù)結(jié)構(gòu)就是在全體實(shí)數(shù)集的基礎(chǔ)上由代數(shù)結(jié)構(gòu) 、 序結(jié)構(gòu)及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)三個(gè)母結(jié)構(gòu)交叉產(chǎn)生的一個(gè)綜合性的子結(jié)構(gòu) ， 也是一個(gè)完備的阿基米德全序域 。 ? 這樣 ， 遵循從一般到特殊 ， 從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的原則 ，一層一層地構(gòu)造下去 ， 就可得到許許多多獨(dú)特的結(jié)構(gòu)及其理論 。 從而 ， 可把古典數(shù)學(xué)作某種統(tǒng)一 ， 給整個(gè)數(shù)學(xué)一種概括 。 167。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 ? 結(jié)構(gòu)的意義還在于它可以使數(shù)學(xué)家實(shí)現(xiàn)一種重要的 “ 思維經(jīng)濟(jì) ” ， 以往數(shù)學(xué)家為了解決一個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題 ， 必須根據(jù)具體問(wèn)題的特性 ， 為之探索適合于該問(wèn)題的工具 。 今天 ， 有了公理化方法 ， 有了結(jié)構(gòu)概念以后 ， 數(shù)學(xué)家一旦在他所研究的元素之間認(rèn)識(shí)到滿足某個(gè)已知類型公理的關(guān)系時(shí) ， 就可以自由地支配屬于該類結(jié)構(gòu)的整個(gè)定理庫(kù) 。 換言之 ， 以前是一種方法解決一個(gè)問(wèn)題 ， 現(xiàn)在是一種方法解決一類問(wèn)題 ， 從某種意義上來(lái)說(shuō)公理方法和結(jié)構(gòu)方法 ，把數(shù)學(xué)工具標(biāo)準(zhǔn)化了 。 167。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 從結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)出發(fā)來(lái)分析問(wèn)題，同構(gòu)的概念是一個(gè)非常重要的概念。這是因?yàn)榉簿哂型瑯?gòu)性質(zhì)的一些結(jié)構(gòu)，在本質(zhì)上都可看成是同一結(jié)構(gòu)；在研究問(wèn)題時(shí)當(dāng)然只須抓住一種結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析即可。而無(wú)需浪費(fèi)重復(fù)性的勞動(dòng)。 三、同構(gòu)、同態(tài)及其方法論意義 我們通常要研究賦予一定結(jié)構(gòu)的集合到賦予同類結(jié)構(gòu)的集合內(nèi)的映射，如具有某種結(jié)構(gòu)的代數(shù) 到具有同類結(jié)構(gòu)的代數(shù) 的映射，有序集到有序集的映射，拓?fù)淇臻g到拓?fù)淇臻g內(nèi)的映射等。同構(gòu)、同態(tài)就是代數(shù) 到同類代數(shù) 的特殊映射。 ? ?11。A? ?22。A? ?11。A ? ?22。A 代數(shù) 與代數(shù) 的同構(gòu)是指雙射 ? ?11。A ? ?22。A 12:f A A?并且對(duì)于 中任意的 ,有 1A 12,xx ? ? ? ? ? ?1 1 2 1 2 2 .f x x f x f x? 代數(shù)到其自身的同構(gòu)映射叫做這個(gè)代數(shù)的自同構(gòu)。 ? ? ? ? ? ? ，同構(gòu)。事實(shí)上，設(shè)；與代數(shù)；代數(shù)、例 xexfRR ??? ?11 2 1 2x x x xf R R e e e?? ??這 時(shí) 是 與 的 雙 射 。 等 式 說(shuō) 明 了? ? ? ? ? ?2121 xfxfxxf ???? ? ? ?的同構(gòu)映射。；到代數(shù)；是代數(shù)即 ?? ?RRf””、“其內(nèi)的運(yùn)算“，；、設(shè)例 ???????? ?????????? RaaaA002? ? ? ?同構(gòu)。事實(shí)上，；與，；，則通常的矩陣加法與乘法 ??? RA ?的一個(gè)雙射。且有到是容易驗(yàn)證令 RAfaaaf ?????????????????00 167。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 ???????? ?????????????????????????????????????????? ???????????????????????????? bbfaafbabaobafbbaaf000000000???????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????? bbfaafababoabfbbaaf000000000 ?? ? ? ?的同構(gòu)映射。，；到，；是即 ??? RAf ?? ?，其內(nèi)加法為，；設(shè)、例 RbabiaA ???3? ? ? ? ? ? ? ?idbcadicbia ???????? ? ? ? ? ?內(nèi)的一同態(tài)映射。；到；是，則，：令 ????? RAfabiafRAf。僅是滿射，而不是單射這是因?yàn)?f 167。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 ，；、設(shè)例?????? ?????????? RbabaA ,004的一個(gè)滿射。且到是則容易驗(yàn)證令 RAfabaf ,0 0 ????????????????????????? ?????????????????????????????????????????? ???????????????????????????? dcfbafcadbocafdcbaf000000000???????? ?????????????????????????????????????????????