【正文】 、 冪集公理無窮公理 、 正則公理代換公理 、 選擇公理 167。 后經(jīng)費蘭克爾 、 斯克朗等人的改進 ，于 19211923年間逐漸形成了一個嚴格的形式化集合論公理系統(tǒng) ， 這就是著名的 ZF公理系統(tǒng) 。 這也是希爾伯特公理 體 系 的一個美妙的特點 。 因為幾何學(xué)所研究的只是由什么樣的前提出發(fā)能推出什么樣的結(jié)論 ， 而對所討論的對象是什么事不關(guān)心的 。 這部分的詳細內(nèi)容可參見傅秀章先生著《 幾何基礎(chǔ) 》 （北師大出版社）。 一 、 希爾伯特 《 幾何基礎(chǔ) 》 的公理系統(tǒng) 基本對象 幾何基礎(chǔ)公理系統(tǒng) 基本關(guān)系 基本公理 點、線、面 結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系 合同關(guān)系、連續(xù)關(guān)系 平行關(guān)系 結(jié)合公理、順序公理 合同公理、連續(xù)公理 平行公理 167。 所以對公理化方法的作用和意義估價要恰當(dāng)。例如，微積分的產(chǎn)生、發(fā)展直至完善所經(jīng)歷的道路就是一個突出的例證。 方法 的邏輯特征、意義和作用 公理化方法一般地講只能運用于一個數(shù)學(xué)分支發(fā)展到一定的成熟階段，否則就有可能對數(shù)學(xué)的發(fā)展起束縛作用。 、意義和作用 ? 哥德爾定理的意義在于 ， 不僅是數(shù)學(xué)的全部 ， 甚至任何一個有意義的科學(xué)體系也不能用一個合理系統(tǒng)概括起來 ， 因為這樣的合理系統(tǒng)是不可能完備的 。 167。 167。 這就是所謂哥德爾第二不完全性定理。 167。 方法 的邏輯特征、意義和作用 四、公理化方法的局限性 每一個數(shù)學(xué)分支都要按公理化方法的三條標(biāo)準去實現(xiàn)它的公理化是不可能的。aae ?? 下面我們再來看看群的公理化定義 ? 令 G是一個非空集合， 是它的一個代數(shù)運算，如果滿足以下條件： 167。從 而 定 理 也 獲 證 。即，所以，00100200002??????yxgyfxfyxg? ? ? ?? ?0 0 0 000300.x y R g x g yg x y? ? ? ???定 理 、 如 果 ， ， 且 ，則證 ：? ? ? ?xgxg 2221 ??有、定理由定理? ? ? ? ? ?得，并利用，中分別令在方程 yfyfxxy ???? 21? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xgxgxfxfxfxgxgxfxf222 2?????? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?xgxgxgxgxfxfxfxf222 ????得上兩式消去? ? ? ? ? ? ? ?? ?.24 xgxgxfxg ???、定理? ? ? ? 11 22 ???? xgxfRx ，有、定理? ?2 fx定 理 、 是 偶 函 數(shù) 。? ? ? ? ? ? ? ?? ?.24 xgxgxfxg ???、定理? ?是奇函數(shù)。 方法 的邏輯特征、意義和作用 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的公理化定義 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? 。 方法 的邏輯特征、意義和作用 ? ? ? ? ? ?yxfyfxf ???的唯一不等于零的連續(xù)函數(shù) ? ? ? ?? ? ? ?為正常數(shù)。 ⑹ 夾在兩個平行平面間的兩個幾何體 ， 被平行于這兩個平面的任意平面所截 ， 如果截得的兩個截面的面積總相等 ， 那么這兩個幾何體的體積相等 。 ⑵ 如果兩個平面有一個公共點 ， 那么它們有且只有一條通過該點的公共直線 。 ⑹ 角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 。 ⑵ 在所有連接兩點的直線中 ， 線段最短 。 ? 現(xiàn)行幾何教材正是這樣做的：通過采用擴大公理系統(tǒng)的方法 ， 而其他概念 、 性質(zhì)和定理則采用推理和直觀相結(jié)合的方法演澤出來 ， 即在學(xué)生可接受的情況下 ， 充分體現(xiàn)公理化方法思想 。此外，由于公理化方法可以揭示一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)和分支的內(nèi)在規(guī)律性，從而使它系統(tǒng)化，這也無疑有利于人們學(xué)習(xí)和掌握。 167。 、意義和作用 ? 完善和創(chuàng)新理論 ? 公理化方法的應(yīng)用要求一門科學(xué)的充分成熟：積累了一定數(shù)量的基礎(chǔ)知識，進行了一定的系統(tǒng)分析和研究，對該門學(xué)科知識結(jié)構(gòu)有了較深入的理解。 、意義和作用 ? 具體地說，公理化方法的意義和作用可以概括為以下幾點： ? 表述和總結(jié)科學(xué)理論 ? 公理化方法使有關(guān)的理論系統(tǒng)化，把它們按照某種邏輯順序構(gòu)建成一個系統(tǒng)，因而便于人們系統(tǒng)地理解知識體系，便于掌握理論的本質(zhì)。 特別是 ， 得力于公理化方法 ， 數(shù)學(xué)似乎就被請來在一切學(xué)問中起領(lǐng)導(dǎo)的作用 ” 。 在這個意義上 ， 用公理化方法進行研究就等于用已掌握了的東西進行思考 。 現(xiàn)行中學(xué)幾何體系就放棄了這一要求 。當(dāng)且僅當(dāng)使 2121 ,: SyyRxxYX ??? ? ? ? YyyXxxxyxy ???? 21212211 ，其中 ?? 167。 ? 現(xiàn)代數(shù)學(xué)常借助模型的同構(gòu)給公理系的完備性下定義 ， 即如果公理系 T的所有模型或解釋都彼此同構(gòu) ， 就稱這個公理系是完備的 。 、意義和作用 利用解釋法同樣可以證明所給公理系的獨立性問題，所謂公理系 T中公理 A的獨立性無非是指 A由其他公理既不能證實，也不能否定。 167。 TT?TT?T? 解釋法實質(zhì)上是將一個公理系系統(tǒng)的無矛盾性證明化歸為另一個公理系統(tǒng)的無矛盾性的證明，是一種間接證明。 、意義和作用 AAA?A?A?A 這樣所得的集合與關(guān)系的全體叫做解釋域，公理系 T的每一命題 可以用自然的方法對應(yīng)于解釋域中相應(yīng)的命題 。 A 167。 、意義和作用 一 、 公理化方法的邏輯特征 ? 公理化方法的作用在于從一組公理出發(fā) ，以邏輯推理為工具 ， 把某一范圍系統(tǒng)內(nèi)的真命題推演出來 ， 從而使系統(tǒng)成為演繹體系 . ? 對于所選公理 ， 我們一方面要求能從公理組推出該系統(tǒng)內(nèi)的全部真命題 ， 另一方面又要求從公理組不能推出邏輯矛盾 ， 再就是希望所選公理個數(shù)最少 . ? 這三個方面構(gòu)成了公理化方法的邏輯要求 ，此也是判別一個公理系統(tǒng)是否科學(xué)合理的準則 。 電子計算機的出現(xiàn)就是突出的一例 ， 這是因為電子計算機的設(shè)計需要研究如何用基本的邏輯運算去表示和構(gòu)造復(fù)雜的邏輯結(jié)構(gòu)和運算 ， 這正是現(xiàn)代數(shù)理邏輯研究的一個基本課題 。一個符號化的形式系統(tǒng)只有在解釋之后才有意義。簡言之，元數(shù)學(xué)是以整個理論而不是以它的某一部分作為數(shù)學(xué)研究的對象。 ? 其一 ， 本世紀初以希爾伯特 、 哥德爾為代表的數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家掀起了以數(shù)理邏輯為工具來研究整個數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的高潮 ， 又因數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進一步發(fā)展的需要 ， 反過來又促使現(xiàn)代數(shù)理邏輯的發(fā)展 ，從而也就導(dǎo)致了證明論 （ 或元數(shù)學(xué) ） 、 模型論 、遞歸函數(shù)論的出現(xiàn) 。 ? 雖然希爾伯特幾何公理系統(tǒng)從本質(zhì)上講是一個形式化的公理系統(tǒng)，但它畢竟沒有完全擺脫幾何所研究的內(nèi)容范圍。 ? 希爾伯特在他的 《 幾何基礎(chǔ) 》 中 ， 放棄了歐幾里德 《 幾何原本 》 中公理的直觀顯然性 ， 把那些在對空間直觀進行邏輯分析時無關(guān)重要的內(nèi)容加以拼棄 ， 著眼于對象之間的聯(lián)系 ， 強調(diào)了邏輯推理 ， 第一次提出了一個簡明 、 完整 、 邏輯嚴謹?shù)男问交硐到y(tǒng) 。 ? 由于形式公理化方法在分析、代數(shù)領(lǐng)域中取得了成功，反過來又將幾何公理化方法的研究推向一個新的階段，即 形式公理化階段 。 ? 在非歐幾何創(chuàng)立之后，以希爾伯特為代表的數(shù)學(xué)家掀起了對幾何基礎(chǔ)的研究，同時也促進了康托、維爾斯托拉斯、戴德金等為代表的數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的實數(shù)理論的研究。又如，由 1947年對視空間（從正常的有雙目視覺的人心理上觀察到的空間）所作的研究得出結(jié)論：這樣的空間最好用羅巴切夫斯基非歐幾何來描述。 ? ⑷非歐幾何為數(shù)學(xué)提供了一個不受實用性左右，只受抽象思想和邏輯思維支配的范例，提供了一個理性的智慧摒棄感覺經(jīng)驗的范例。 ? ⑵ 非歐幾何的創(chuàng)立，使人們開始認識到數(shù)學(xué)空間與物理空間之間有著本質(zhì)的區(qū)別。非歐幾何的建立標(biāo)志著從實質(zhì)性公理化方法向形式公理化方法的過渡，這表明人們的認識已從直觀空間上升到抽象空間。這就是說，在一個公理系統(tǒng)中，我們可以把一個具有獨立性的公理換成另外的公理而得到一個全新的公理系統(tǒng)，這種方法是現(xiàn)代的一個重要的公理化方法。 ? 非歐幾何的確立促進了公理化方法及幾何基礎(chǔ)研究的進展 。 167。 ? 意大利的貝特拉米于 1869年 在其論文 《 非歐幾何的實際解釋 》 中 提出了用歐氏球面作為黎曼幾何的一個解釋 （ 歐氏球面的部分大圓被解釋成黎曼幾何的直線 ， 球面上的點被解釋成黎曼幾何的點 ） 。 從邏輯方面看 ， 這種邏輯無矛盾性還有待于從理論上得到嚴格證明；從實踐方面看 ，非歐幾何的客觀原型是什么 ？ 人們還不清楚 。 167。 167。 數(shù)學(xué)家們從薩克利的錯誤中得到了啟發(fā)，銳角假設(shè)（三角形內(nèi)角和小于 180176。這樣就證明了第五公設(shè)。他在一本名叫 《 歐幾里得無懈可擊 》 （ 1733年）的書中，從著名的 “ 薩克利四邊形 ” 出發(fā)來證明平行公設(shè)。 通過很多第一流的數(shù)學(xué)家近兩千年的大量工作，第一方案尚未成功。 167。 《 原本 》 的基本結(jié)構(gòu)是由少數(shù)不定義的概念（如點、線、面等）和少量不證自明的命題（五個公設(shè)和五個公理）出發(fā)，定義出該體系中的所有其他概念，推演出所有其他的命題（定理）。它不考慮這些概念和命題與社會具體生活的關(guān)系，也不研究這些數(shù)學(xué) “ 模型 ” 所由之產(chǎn)生的那些顯示原型。從邏輯結(jié)構(gòu)來看， 《 原本 》 是一個最早形成的演繹體系，除所用的邏輯規(guī)則外，具備了其理論推導(dǎo)的所有前提，從理論發(fā)展形勢來看是一個封閉的理論演繹體系。 167。 ? 歐幾里德 《 幾何原本 》 是有史以來用公理化思想方法建立起來的第一門演繹數(shù)學(xué)，而且成為以后很長時期嚴格證明的典范。 167。 ? 公理化方法的基本思想 ? 數(shù)學(xué)是撇開現(xiàn)實世界的具體內(nèi)容來研究其量性特征形式與關(guān)系的。第四章 數(shù)學(xué)中的公理化方法 與結(jié)構(gòu)方法 ? 公理化方法 在近代數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著基本的作用，它的思想對各門現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的系統(tǒng)形成有著深刻的影響，而 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 則是全面整理和分析數(shù)學(xué)的一種十分合理的方法，其觀點曾導(dǎo)致一場幾乎席卷世界的數(shù)學(xué)教學(xué)改革運動，即 “ 新數(shù)學(xué) ” 運動。 167。 ? 因此，我們要想建立一門科學(xué)的嚴格的理論體系，只能采取如下方法：讓該門學(xué)科的某些概念以及與之有關(guān)的某些關(guān)系作為不加定義的原始概念與公設(shè)或公理，而以后的全部概念及其性質(zhì)要求均由原始概念與公設(shè)或公理經(jīng)過精確定義與邏輯推理的方法演繹出來，這種從盡可能少的一組原始概念和公設(shè)或公理出發(fā)，運用邏輯推理原則，建立科學(xué)體系的方法叫做公理化方法 。 167。所以 ， 稱 這一階段 為 公理化方法的初期階段 。 《 原本 》 成功地將零散的數(shù)學(xué)理論編為一個以基本假設(shè)到最復(fù)雜結(jié)論的整體結(jié)構(gòu)。 《 原本 》 中涉及的都是一般的、抽象的概念，它所探討的是這些概念和命題之間的邏輯關(guān)系，由一些給定的概念和命題推演出另一些概念和命題。 ? ⑶ 公理化方法。譬如，有些基本概念的定義不夠妥當(dāng)，有些證明只不過是借助于直觀等等。 167。 薩克利最先使用歸謬法來證明第五公設(shè)。薩克利的計劃是證明后兩個假設(shè)可以導(dǎo)致矛盾，根據(jù)歸謬法就只剩下第一個假設(shè)成立。 167。也就是說，除了歐幾里德幾何外，還有非歐幾何。 從此也就沖破了歐幾里德幾何 “ 一統(tǒng)天下 ” 的舊觀念對人們的束縛 ， 使人們意識到邏輯上無矛盾并不只限于一種幾何 。 ? 非歐幾何產(chǎn)生后 ， 還有兩方面的問題有待進一步解決 。 ? 到了十九世紀五十年代 ， 隨著微分幾何 、 射影幾何的進一步發(fā)展 ， 為非歐幾何尋找模型提供了條件 。 ? 由于非歐幾何在歐氏幾何中找到了它的模型 ，因此非歐幾何的無矛盾性就轉(zhuǎn)化為歐氏幾何的無矛盾性 ， 也就是說倘若歐氏幾何無矛盾 ， 則非歐幾何