【正文】 、 冪集公理無(wú)窮公理 、 正則公理代換公理 、 選擇公理 167。 后經(jīng)費(fèi)蘭克爾 、 斯克朗等人的改進(jìn) ，于 19211923年間逐漸形成了一個(gè)嚴(yán)格的形式化集合論公理系統(tǒng) ， 這就是著名的 ZF公理系統(tǒng) 。 這也是希爾伯特公理 體 系 的一個(gè)美妙的特點(diǎn) 。 因?yàn)閹缀螌W(xué)所研究的只是由什么樣的前提出發(fā)能推出什么樣的結(jié)論 ， 而對(duì)所討論的對(duì)象是什么事不關(guān)心的 。 這部分的詳細(xì)內(nèi)容可參見(jiàn)傅秀章先生著《 幾何基礎(chǔ) 》 （北師大出版社）。 一 、 希爾伯特 《 幾何基礎(chǔ) 》 的公理系統(tǒng) 基本對(duì)象 幾何基礎(chǔ)公理系統(tǒng) 基本關(guān)系 基本公理 點(diǎn)、線、面 結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系 合同關(guān)系、連續(xù)關(guān)系 平行關(guān)系 結(jié)合公理、順序公理 合同公理、連續(xù)公理 平行公理 167。 所以對(duì)公理化方法的作用和意義估價(jià)要恰當(dāng)。例如，微積分的產(chǎn)生、發(fā)展直至完善所經(jīng)歷的道路就是一個(gè)突出的例證。 方法 的邏輯特征、意義和作用 公理化方法一般地講只能運(yùn)用于一個(gè)數(shù)學(xué)分支發(fā)展到一定的成熟階段，否則就有可能對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起束縛作用。 、意義和作用 ? 哥德?tīng)柖ɡ淼囊饬x在于 ， 不僅是數(shù)學(xué)的全部 ， 甚至任何一個(gè)有意義的科學(xué)體系也不能用一個(gè)合理系統(tǒng)概括起來(lái) ， 因?yàn)檫@樣的合理系統(tǒng)是不可能完備的 。 167。 167。 這就是所謂哥德?tīng)柕诙煌耆远ɡ怼? 167。 方法 的邏輯特征、意義和作用 四、公理化方法的局限性 每一個(gè)數(shù)學(xué)分支都要按公理化方法的三條標(biāo)準(zhǔn)去實(shí)現(xiàn)它的公理化是不可能的。aae ?? 下面我們?cè)賮?lái)看看群的公理化定義 ? 令 G是一個(gè)非空集合， 是它的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，如果滿(mǎn)足以下條件： 167。從 而 定 理 也 獲 證 。即，所以，00100200002??????yxgyfxfyxg? ? ? ?? ?0 0 0 000300.x y R g x g yg x y? ? ? ???定 理 、 如 果 ， ， 且 ，則證 ：? ? ? ?xgxg 2221 ??有、定理由定理? ? ? ? ? ?得，并利用，中分別令在方程 yfyfxxy ???? 21? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xgxgxfxfxfxgxgxfxf222 2?????? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?xgxgxgxgxfxfxfxf222 ????得上兩式消去? ? ? ? ? ? ? ?? ?.24 xgxgxfxg ???、定理? ? ? ? 11 22 ???? xgxfRx ，有、定理? ?2 fx定 理 、 是 偶 函 數(shù) 。? ? ? ? ? ? ? ?? ?.24 xgxgxfxg ???、定理? ?是奇函數(shù)。 方法 的邏輯特征、意義和作用 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的公理化定義 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? 。 方法 的邏輯特征、意義和作用 ? ? ? ? ? ?yxfyfxf ???的唯一不等于零的連續(xù)函數(shù) ? ? ? ?? ? ? ?為正常數(shù)。 ⑹ 夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體 ， 被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截 ， 如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等 ， 那么這兩個(gè)幾何體的體積相等 。 ⑵ 如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn) ， 那么它們有且只有一條通過(guò)該點(diǎn)的公共直線 。 ⑹ 角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 。 ⑵ 在所有連接兩點(diǎn)的直線中 ， 線段最短 。 ? 現(xiàn)行幾何教材正是這樣做的：通過(guò)采用擴(kuò)大公理系統(tǒng)的方法 ， 而其他概念 、 性質(zhì)和定理則采用推理和直觀相結(jié)合的方法演澤出來(lái) ， 即在學(xué)生可接受的情況下 ， 充分體現(xiàn)公理化方法思想 。此外，由于公理化方法可以揭示一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)和分支的內(nèi)在規(guī)律性，從而使它系統(tǒng)化，這也無(wú)疑有利于人們學(xué)習(xí)和掌握。 167。 、意義和作用 ? 完善和創(chuàng)新理論 ? 公理化方法的應(yīng)用要求一門(mén)科學(xué)的充分成熟：積累了一定數(shù)量的基礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)行了一定的系統(tǒng)分析和研究，對(duì)該門(mén)學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)有了較深入的理解。 、意義和作用 ? 具體地說(shuō)，公理化方法的意義和作用可以概括為以下幾點(diǎn)： ? 表述和總結(jié)科學(xué)理論 ? 公理化方法使有關(guān)的理論系統(tǒng)化，把它們按照某種邏輯順序構(gòu)建成一個(gè)系統(tǒng)，因而便于人們系統(tǒng)地理解知識(shí)體系，便于掌握理論的本質(zhì)。 特別是 ， 得力于公理化方法 ， 數(shù)學(xué)似乎就被請(qǐng)來(lái)在一切學(xué)問(wèn)中起領(lǐng)導(dǎo)的作用 ” 。 在這個(gè)意義上 ， 用公理化方法進(jìn)行研究就等于用已掌握了的東西進(jìn)行思考 。 現(xiàn)行中學(xué)幾何體系就放棄了這一要求 。當(dāng)且僅當(dāng)使 2121 ,: SyyRxxYX ??? ? ? ? YyyXxxxyxy ???? 21212211 ，其中 ?? 167。 ? 現(xiàn)代數(shù)學(xué)常借助模型的同構(gòu)給公理系的完備性下定義 ， 即如果公理系 T的所有模型或解釋都彼此同構(gòu) ， 就稱(chēng)這個(gè)公理系是完備的 。 、意義和作用 利用解釋法同樣可以證明所給公理系的獨(dú)立性問(wèn)題，所謂公理系 T中公理 A的獨(dú)立性無(wú)非是指 A由其他公理既不能證實(shí)，也不能否定。 167。 TT?TT?T? 解釋法實(shí)質(zhì)上是將一個(gè)公理系系統(tǒng)的無(wú)矛盾性證明化歸為另一個(gè)公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性的證明，是一種間接證明。 、意義和作用 AAA?A?A?A 這樣所得的集合與關(guān)系的全體叫做解釋域，公理系 T的每一命題 可以用自然的方法對(duì)應(yīng)于解釋域中相應(yīng)的命題 。 A 167。 、意義和作用 一 、 公理化方法的邏輯特征 ? 公理化方法的作用在于從一組公理出發(fā) ，以邏輯推理為工具 ， 把某一范圍系統(tǒng)內(nèi)的真命題推演出來(lái) ， 從而使系統(tǒng)成為演繹體系 . ? 對(duì)于所選公理 ， 我們一方面要求能從公理組推出該系統(tǒng)內(nèi)的全部真命題 ， 另一方面又要求從公理組不能推出邏輯矛盾 ， 再就是希望所選公理個(gè)數(shù)最少 . ? 這三個(gè)方面構(gòu)成了公理化方法的邏輯要求 ，此也是判別一個(gè)公理系統(tǒng)是否科學(xué)合理的準(zhǔn)則 。 電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)就是突出的一例 ， 這是因?yàn)殡娮佑?jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)需要研究如何用基本的邏輯運(yùn)算去表示和構(gòu)造復(fù)雜的邏輯結(jié)構(gòu)和運(yùn)算 ， 這正是現(xiàn)代數(shù)理邏輯研究的一個(gè)基本課題 。一個(gè)符號(hào)化的形式系統(tǒng)只有在解釋之后才有意義。簡(jiǎn)言之，元數(shù)學(xué)是以整個(gè)理論而不是以它的某一部分作為數(shù)學(xué)研究的對(duì)象。 ? 其一 ， 本世紀(jì)初以希爾伯特 、 哥德?tīng)枮榇淼臄?shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家掀起了以數(shù)理邏輯為工具來(lái)研究整個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的高潮 ， 又因數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進(jìn)一步發(fā)展的需要 ， 反過(guò)來(lái)又促使現(xiàn)代數(shù)理邏輯的發(fā)展 ，從而也就導(dǎo)致了證明論 （ 或元數(shù)學(xué) ） 、 模型論 、遞歸函數(shù)論的出現(xiàn) 。 ? 雖然希爾伯特幾何公理系統(tǒng)從本質(zhì)上講是一個(gè)形式化的公理系統(tǒng)，但它畢竟沒(méi)有完全擺脫幾何所研究的內(nèi)容范圍。 ? 希爾伯特在他的 《 幾何基礎(chǔ) 》 中 ， 放棄了歐幾里德 《 幾何原本 》 中公理的直觀顯然性 ， 把那些在對(duì)空間直觀進(jìn)行邏輯分析時(shí)無(wú)關(guān)重要的內(nèi)容加以拼棄 ， 著眼于對(duì)象之間的聯(lián)系 ， 強(qiáng)調(diào)了邏輯推理 ， 第一次提出了一個(gè)簡(jiǎn)明 、 完整 、 邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问交硐到y(tǒng) 。 ? 由于形式公理化方法在分析、代數(shù)領(lǐng)域中取得了成功，反過(guò)來(lái)又將幾何公理化方法的研究推向一個(gè)新的階段，即 形式公理化階段 。 ? 在非歐幾何創(chuàng)立之后，以希爾伯特為代表的數(shù)學(xué)家掀起了對(duì)幾何基礎(chǔ)的研究，同時(shí)也促進(jìn)了康托、維爾斯托拉斯、戴德金等為代表的數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的實(shí)數(shù)理論的研究。又如，由 1947年對(duì)視空間（從正常的有雙目視覺(jué)的人心理上觀察到的空間）所作的研究得出結(jié)論：這樣的空間最好用羅巴切夫斯基非歐幾何來(lái)描述。 ? ⑷非歐幾何為數(shù)學(xué)提供了一個(gè)不受實(shí)用性左右，只受抽象思想和邏輯思維支配的范例，提供了一個(gè)理性的智慧摒棄感覺(jué)經(jīng)驗(yàn)的范例。 ? ⑵ 非歐幾何的創(chuàng)立，使人們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)空間與物理空間之間有著本質(zhì)的區(qū)別。非歐幾何的建立標(biāo)志著從實(shí)質(zhì)性公理化方法向形式公理化方法的過(guò)渡，這表明人們的認(rèn)識(shí)已從直觀空間上升到抽象空間。這就是說(shuō)，在一個(gè)公理系統(tǒng)中，我們可以把一個(gè)具有獨(dú)立性的公理?yè)Q成另外的公理而得到一個(gè)全新的公理系統(tǒng)，這種方法是現(xiàn)代的一個(gè)重要的公理化方法。 ? 非歐幾何的確立促進(jìn)了公理化方法及幾何基礎(chǔ)研究的進(jìn)展 。 167。 ? 意大利的貝特拉米于 1869年 在其論文 《 非歐幾何的實(shí)際解釋 》 中 提出了用歐氏球面作為黎曼幾何的一個(gè)解釋 （ 歐氏球面的部分大圓被解釋成黎曼幾何的直線 ， 球面上的點(diǎn)被解釋成黎曼幾何的點(diǎn) ） 。 從邏輯方面看 ， 這種邏輯無(wú)矛盾性還有待于從理論上得到嚴(yán)格證明；從實(shí)踐方面看 ，非歐幾何的客觀原型是什么 ？ 人們還不清楚 。 167。 167。 數(shù)學(xué)家們從薩克利的錯(cuò)誤中得到了啟發(fā)，銳角假設(shè)（三角形內(nèi)角和小于 180176。這樣就證明了第五公設(shè)。他在一本名叫 《 歐幾里得無(wú)懈可擊 》 （ 1733年）的書(shū)中，從著名的 “ 薩克利四邊形 ” 出發(fā)來(lái)證明平行公設(shè)。 通過(guò)很多第一流的數(shù)學(xué)家近兩千年的大量工作，第一方案尚未成功。 167。 《 原本 》 的基本結(jié)構(gòu)是由少數(shù)不定義的概念（如點(diǎn)、線、面等）和少量不證自明的命題（五個(gè)公設(shè)和五個(gè)公理）出發(fā)，定義出該體系中的所有其他概念，推演出所有其他的命題（定理）。它不考慮這些概念和命題與社會(huì)具體生活的關(guān)系，也不研究這些數(shù)學(xué) “ 模型 ” 所由之產(chǎn)生的那些顯示原型。從邏輯結(jié)構(gòu)來(lái)看， 《 原本 》 是一個(gè)最早形成的演繹體系，除所用的邏輯規(guī)則外，具備了其理論推導(dǎo)的所有前提，從理論發(fā)展形勢(shì)來(lái)看是一個(gè)封閉的理論演繹體系。 167。 ? 歐幾里德 《 幾何原本 》 是有史以來(lái)用公理化思想方法建立起來(lái)的第一門(mén)演繹數(shù)學(xué)，而且成為以后很長(zhǎng)時(shí)期嚴(yán)格證明的典范。 167。 ? 公理化方法的基本思想 ? 數(shù)學(xué)是撇開(kāi)現(xiàn)實(shí)世界的具體內(nèi)容來(lái)研究其量性特征形式與關(guān)系的。第四章 數(shù)學(xué)中的公理化方法 與結(jié)構(gòu)方法 ? 公理化方法 在近代數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著基本的作用，它的思想對(duì)各門(mén)現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的系統(tǒng)形成有著深刻的影響，而 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 則是全面整理和分析數(shù)學(xué)的一種十分合理的方法，其觀點(diǎn)曾導(dǎo)致一場(chǎng)幾乎席卷世界的數(shù)學(xué)教學(xué)改革運(yùn)動(dòng)，即 “ 新數(shù)學(xué) ” 運(yùn)動(dòng)。 167。 ? 因此，我們要想建立一門(mén)科學(xué)的嚴(yán)格的理論體系，只能采取如下方法：讓該門(mén)學(xué)科的某些概念以及與之有關(guān)的某些關(guān)系作為不加定義的原始概念與公設(shè)或公理，而以后的全部概念及其性質(zhì)要求均由原始概念與公設(shè)或公理經(jīng)過(guò)精確定義與邏輯推理的方法演繹出來(lái)，這種從盡可能少的一組原始概念和公設(shè)或公理出發(fā)，運(yùn)用邏輯推理原則，建立科學(xué)體系的方法叫做公理化方法 。 167。所以 ， 稱(chēng) 這一階段 為 公理化方法的初期階段 。 《 原本 》 成功地將零散的數(shù)學(xué)理論編為一個(gè)以基本假設(shè)到最復(fù)雜結(jié)論的整體結(jié)構(gòu)。 《 原本 》 中涉及的都是一般的、抽象的概念，它所探討的是這些概念和命題之間的邏輯關(guān)系，由一些給定的概念和命題推演出另一些概念和命題。 ? ⑶ 公理化方法。譬如，有些基本概念的定義不夠妥當(dāng)，有些證明只不過(guò)是借助于直觀等等。 167。 薩克利最先使用歸謬法來(lái)證明第五公設(shè)。薩克利的計(jì)劃是證明后兩個(gè)假設(shè)可以導(dǎo)致矛盾，根據(jù)歸謬法就只剩下第一個(gè)假設(shè)成立。 167。也就是說(shuō)，除了歐幾里德幾何外，還有非歐幾何。 從此也就沖破了歐幾里德幾何 “ 一統(tǒng)天下 ” 的舊觀念對(duì)人們的束縛 ， 使人們意識(shí)到邏輯上無(wú)矛盾并不只限于一種幾何 。 ? 非歐幾何產(chǎn)生后 ， 還有兩方面的問(wèn)題有待進(jìn)一步解決 。 ? 到了十九世紀(jì)五十年代 ， 隨著微分幾何 、 射影幾何的進(jìn)一步發(fā)展 ， 為非歐幾何尋找模型提供了條件 。 ? 由于非歐幾何在歐氏幾何中找到了它的模型 ，因此非歐幾何的無(wú)矛盾性就轉(zhuǎn)化為歐氏幾何的無(wú)矛盾性 ， 也就是說(shuō)倘若歐氏幾何無(wú)矛盾 ， 則非歐幾何