【正文】 邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问交硐到y(tǒng) 。 從此公理化方法不僅是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要方法 ， 而且已被其他學(xué)科領(lǐng)域所采用 。所以人們稱它為公理化方法發(fā)展史上的一個(gè)里程碑 。 167。 ? 雖然希爾伯特幾何公理系統(tǒng)從本質(zhì)上講是一個(gè)形式化的公理系統(tǒng)，但它畢竟沒有完全擺脫幾何所研究的內(nèi)容范圍。為了使形式公理系統(tǒng)更形式化，涵蓋的模型更多，就必須使形式化公理系統(tǒng)來(lái)自具體模型而又要擺脫具體模型過多的條條框框的束縛，于是人們需要研究更復(fù)雜的邏輯結(jié)構(gòu)，從而就導(dǎo)致了現(xiàn)代數(shù)理邏輯的形成和發(fā)展。現(xiàn)代數(shù)理邏輯出現(xiàn)后，至少在下列兩個(gè)方面發(fā)揮了巨大作用。 167。 ? 其一 ， 本世紀(jì)初以希爾伯特 、 哥德爾為代表的數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家掀起了以數(shù)理邏輯為工具來(lái)研究整個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的高潮 ， 又因數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進(jìn)一步發(fā)展的需要 ， 反過來(lái)又促使現(xiàn)代數(shù)理邏輯的發(fā)展 ，從而也就導(dǎo)致了證明論 （ 或元數(shù)學(xué) ） 、 模型論 、遞歸函數(shù)論的出現(xiàn) 。 特別是英國(guó)大哲學(xué)家 、 數(shù)學(xué)家 、 和邏輯學(xué)家羅素于 1902年發(fā)現(xiàn)集合論的悖論 ，震動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)界 ， 從而更促進(jìn)了公理化集合論的形成和發(fā)展 。 集合論的公理化系統(tǒng)的出現(xiàn)及現(xiàn)代數(shù)理邏輯出現(xiàn) ， 將形式公理化方法推向一個(gè)更高的階段 —— 純形式公理化階段 。 希爾伯特建立的元數(shù)學(xué)是以形式系統(tǒng)為研究對(duì)象的一門新數(shù)學(xué)，它包括對(duì)形式系統(tǒng)的描述、定義、也包括對(duì)形式系統(tǒng)性質(zhì)的研究。簡(jiǎn)言之，元數(shù)學(xué)是以整個(gè)理論而不是以它的某一部分作為數(shù)學(xué)研究的對(duì)象。元數(shù)學(xué)等的創(chuàng)立把形式公理化方法向前推進(jìn)了一大步。 167。 ? 純形式公理化方法的特征是具有高度的形式化和抽象化，系統(tǒng)的基本概念、基本關(guān)系用抽象的符號(hào)表示，命題由符號(hào)組成的公式表示，命題的證明用一個(gè)公式串表達(dá)。一個(gè)符號(hào)化的形式系統(tǒng)只有在解釋之后才有意義。 ? 公理化方法的具體形態(tài)有三種：實(shí)體性公理化方法、形式公理化方法和純形式公理化方法，用它們建構(gòu)起來(lái)的理論體系分別為 《 幾何原本 》 、 《 幾何基礎(chǔ) 》 和 ZFC公理系統(tǒng)。 167。 ? 其二 ， 為數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)開辟了前景 。 電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)就是突出的一例 ， 這是因?yàn)殡娮佑?jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)需要研究如何用基本的邏輯運(yùn)算去表示和構(gòu)造復(fù)雜的邏輯結(jié)構(gòu)和運(yùn)算 ， 這正是現(xiàn)代數(shù)理邏輯研究的一個(gè)基本課題 。 由于電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)導(dǎo)致了機(jī)器證明及數(shù)學(xué)機(jī)械化方向的產(chǎn)生 ， 從而使現(xiàn)代純形式公理化方法又獲得了一個(gè)新的用場(chǎng) 。 ? 公理化方法本身及其在數(shù)學(xué)理論和實(shí)踐應(yīng)用中的巨大作用 ， 隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展還在繼續(xù)向前發(fā)展 。 167。 、意義和作用 一 、 公理化方法的邏輯特征 ? 公理化方法的作用在于從一組公理出發(fā) ，以邏輯推理為工具 ， 把某一范圍系統(tǒng)內(nèi)的真命題推演出來(lái) ， 從而使系統(tǒng)成為演繹體系 . ? 對(duì)于所選公理 ， 我們一方面要求能從公理組推出該系統(tǒng)內(nèi)的全部真命題 ， 另一方面又要求從公理組不能推出邏輯矛盾 ， 再就是希望所選公理個(gè)數(shù)最少 . ? 這三個(gè)方面構(gòu)成了公理化方法的邏輯要求 ，此也是判別一個(gè)公理系統(tǒng)是否科學(xué)合理的準(zhǔn)則 。 167。 、意義和作用 （ 1）無(wú)矛盾性（相容性或協(xié)調(diào)性） ? 無(wú)矛盾性要求在一個(gè)公理系統(tǒng)中，公理之間不能自相矛盾，由公理系推出的結(jié)果也不能矛盾，即不能同時(shí)推出命題 A與其否定命題 ，顯然，這是對(duì)公理系統(tǒng)的最基本的要求。 ? 如何證明給定的公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性呢？若想通過 “ 由這一公理系作出全部可能的推論并指出其中沒有矛盾 ” 來(lái)證明是不可能的。 A 167。 、意義和作用 ? 為此，人們創(chuàng)造了一種特殊方法即解釋法或作模型法。 其 基本思想如下： ? 將公理系的每一不定義的概念與對(duì)象的某一集合相對(duì)應(yīng)，而且要求對(duì)應(yīng)于不同概念的集合沒有公共元素，然后，使公理系 T的每一關(guān)系對(duì)應(yīng)著對(duì)應(yīng)集合元素間的某一確定的關(guān)系。 167。 、意義和作用 AAA?A?A?A 這樣所得的集合與關(guān)系的全體叫做解釋域，公理系 T的每一命題 可以用自然的方法對(duì)應(yīng)于解釋域中相應(yīng)的命題 。如果所得的命題 為真，那么就稱公理系 T的命題 在這個(gè)解釋下是真的，如果 假，則 在這個(gè)解釋下是假的，如果公理系 T的全部公理在這個(gè)解釋下均為真，那么這個(gè)解釋稱為所給公理系的模型。 167。 、意義和作用 解釋域及其性質(zhì)常常是另一數(shù)學(xué)理論 的研究對(duì)象， 本身同樣可以是公理化的，所以說(shuō)，用解釋法能證明公理系 的相對(duì)相容性，即能作出 “ 如果 相容，即么 也相容 ” 的判斷。 TT?TT?T? 解釋法實(shí)質(zhì)上是將一個(gè)公理系系統(tǒng)的無(wú)矛盾性證明化歸為另一個(gè)公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性的證明，是一種間接證明。 克萊因就是采用這種方法將羅氏幾何的無(wú)矛盾性化歸為歐氏幾何的無(wú)矛盾性的。 167。 、意義和作用 ? 正是由于羅氏幾何的相容性要由歐氏幾何的相容性來(lái)得證 ， 本來(lái)并無(wú)疑問的歐氏幾何相容性問題也引起了人們的懷疑 ， 迫使人們?cè)偃ふ覛W氏幾何相容性的證明 ， 由于解析幾何可以看成是實(shí)數(shù)系統(tǒng)中歐氏幾何的一個(gè)解釋模型 ，于是歐氏幾何相容性證明轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)系統(tǒng)的無(wú)矛盾性的證明 ， 而實(shí)數(shù)系統(tǒng)可建立在 ZFC公理化集合論的基礎(chǔ)上 ， 因此 ， 實(shí)數(shù)系統(tǒng)的無(wú)矛盾性又化歸為集合論的無(wú)矛盾性證明 ， 而后者經(jīng)過幾代數(shù)學(xué)家們的努力 ， 至今尚未得到徹底解決 。 167。 、意義和作用 （ 2） 獨(dú)立性 ? 獨(dú)立性要求在一個(gè)公理系統(tǒng)中 ， 被選定的公理組中任何一個(gè)公理都不能由其他公理推出 。 ? 獨(dú)立性其實(shí)要求的是公理組中公理之間不能有依從關(guān)系 ， 若某一公理被其余公理推出 ， 那它實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)定理 ， 在公理組中就是多余的 ，所以 ， 獨(dú)立性要求公理組中公理數(shù)目最少 。 167。 、意義和作用 利用解釋法同樣可以證明所給公理系的獨(dú)立性問題，所謂公理系 T中公理 A的獨(dú)立性無(wú)非是指 A由其他公理既不能證實(shí)，也不能否定。 AAA 建立一個(gè)新的公理系，就是將公理 換成它的否定 ，而其他公理保持不變，只要能證明新的公理系是相容的，就可斷言 在公理系 T中獨(dú)立，從而將獨(dú)立性問題化歸為相容性證明問題，而新公理系相容性證明可用解釋法。 167。 、意義和作用 （ 3） 完備性 ? 完備性要求在一個(gè)公理系統(tǒng)中 ， 公理組的選取能保證由公理組推出該系統(tǒng)的全部真命題 ， 所以 ， 公理不能過少 ， 否則就推不出某些真命題 ，這是關(guān)于完備性的古典定義 。 ? 現(xiàn)代數(shù)學(xué)常借助模型的同構(gòu)給公理系的完備性下定義 ， 即如果公理系 T的所有模型或解釋都彼此同構(gòu) ， 就稱這個(gè)公理系是完備的 。 167。 、意義和作用 ? 所謂模型的同構(gòu)是指這個(gè)公理系的兩個(gè)模型 （ X， R） 與 （ Y， S） （ 這是為簡(jiǎn)便計(jì) ， 假設(shè)給定的公理系中只有一個(gè)不定義的概念和一個(gè)不定義的關(guān)系 。 X與 Y是某兩個(gè)集合 ， R與 S分別是這兩個(gè)集合中的關(guān)系 ）間存在一個(gè)雙射 時(shí)成立。當(dāng)且僅當(dāng)使 2121 ,: SyyRxxYX ??? ? ? ? YyyXxxxyxy ???? 21212211 ，，，其中 ?? 167。 、意義和作用 ? 在上述公理化方法的三個(gè)特征中 ， 無(wú)矛盾性是最重要而又是非有不可的 。 ? 獨(dú)立性從理論上講 ， 從完美簡(jiǎn)煉上講 ， 應(yīng)該要求 ， 因?yàn)楣砗投ɡ碓谡麄€(gè)系統(tǒng)中處的地位不同 ， 公理是出發(fā)點(diǎn) ， 定理是推出的 ， 不能混在一塊 。 但是 ， 獨(dú)立性要求有時(shí)可降低 。 現(xiàn)行中學(xué)幾何體系就放棄了這一要求 。 ? 至于完備性 ， 要求就大大放寬了；而且 “ 從研究完備的公理系確定的對(duì)象轉(zhuǎn)向研究其公理系不完備的對(duì)象 ” 被認(rèn)為是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特征之一 。 167。 、意義和作用 二 、 公理化方法的意義和作用 ? 對(duì)于公理化方法的作用和意義 ， 希爾伯特曾評(píng)論道： “ 不管在哪個(gè)領(lǐng)域 ， 對(duì)于任何嚴(yán)肅的研究精神來(lái)說(shuō) ， 公理化方法都是并且始終是一個(gè)合適的不可缺少的手段；它在邏輯上是無(wú)懈可擊的 ，同時(shí)也是富有成果的；因此 ， 它保證了研究的完全自由 。 在這個(gè)意義上 ， 用公理化方法進(jìn)行研究就等于用已掌握了的東西進(jìn)行思考 。 早年沒有公理化方法的時(shí)候 ， 人們只能樸素地把某些關(guān)系作為信條來(lái)遵守 ， 公理化的研究方法則可以去掉這種樸素性而使信仰得到利益 ” 。 “ 能夠成為數(shù)學(xué)的思考對(duì)象的任何事物 ， 在一個(gè)理論的建立一旦成熟時(shí) ， 就開始服從于公理化方法 ， 從而進(jìn)入了數(shù)學(xué) 。 通過突進(jìn)到公理的更深層次 …… 我們能夠獲得科學(xué)思維的更深入的洞察力 ， 并弄清我們的知識(shí)的統(tǒng)一性 。 特別是 ， 得力于公理化方法 ， 數(shù)學(xué)似乎就被請(qǐng)來(lái)在一切學(xué)問中起領(lǐng)導(dǎo)的作用 ” 。 167。 、意義和作用 公理化方法對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大作用 ， 如在對(duì)公理化方法邏輯特征的研究中 ， 產(chǎn)生了許多新的數(shù)學(xué)分支理論 ，非歐幾何是由研究歐氏幾何公理系統(tǒng)的獨(dú)立性產(chǎn)生的 ， 元數(shù)學(xué)理論或證明論是由研究公理系統(tǒng)相容性產(chǎn)生的 ， 等等 。 167。 、意義和作用 ? 具體地說(shuō)，公理化方法的意義和作用可以概括為以下幾點(diǎn)： ? 表述和總結(jié)科學(xué)理論 ? 公理化方法使有關(guān)的理論系統(tǒng)化，把它們按照某種邏輯順序構(gòu)建成一個(gè)系統(tǒng)，因而便于人們系統(tǒng)地理解知識(shí)體系，便于掌握理論的本質(zhì)。它是應(yīng)用演繹推理的基本方法，它為認(rèn)識(shí)世界提供了演繹推理的模式，提供了一種理性證明的手段，它是表述科學(xué)理論一種比較完善的方法，它為各門科學(xué)提供了一種思想方法上的示范和有效的表述手段，有利于促進(jìn)理論的完善和嚴(yán)格化。它賦與數(shù)學(xué)內(nèi)在的統(tǒng)一性，有助于人們了解數(shù)學(xué)各分支、各部門之間的本質(zhì)聯(lián)系。 167。 、意義和作用 ? 完善和創(chuàng)新理論 ? 公理化方法的應(yīng)用要求一門科學(xué)的充分成熟：積累了一定數(shù)量的基礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)行了一定的系統(tǒng)分析和研究，對(duì)該門學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)有了較深入的理解。因此，實(shí)現(xiàn)公理化的過程也是深入研究理論體系的過程。采用公理化方法還可以發(fā)現(xiàn)和補(bǔ)充理論系統(tǒng)中的缺陷和漏洞。從而有利于完善已有理論，創(chuàng)建新的理論。 167。 、意義和作用 ? 培養(yǎng)和熏陶人們的邏輯思維能力 ? 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，重要的不在于只是記住概念、公式、定理和法則，而在于學(xué)會(huì)如何去獲得這些知識(shí)，即學(xué)會(huì)正確地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，邏輯思維正是數(shù)學(xué)思維的核心成分之一。邏輯思維能力是一種重要的數(shù)學(xué)能力。而公理化方法使邏輯思維在數(shù)學(xué)中的作用得以充分發(fā)揮，大大提高了數(shù)學(xué)教育的成效，實(shí)現(xiàn)高度的思維經(jīng)濟(jì)，這無(wú)疑對(duì)培養(yǎng)和熏陶學(xué)生的邏輯思維能力有其十分重要的作用和意義。此外，由于公理化方法可以揭示一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)和分支的內(nèi)在規(guī)律性，從而使它系統(tǒng)化，這也無(wú)疑有利于人們學(xué)習(xí)和掌握。 167。 、意義和作用 ? 中學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何體系就是按照公理化方法的思想編排的 ， 這使中學(xué)幾何成為大家公認(rèn)為最有利于培養(yǎng)邏輯思維能力的科目 。 但正如蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾所言：“ 在學(xué)校中普通能夠?qū)崿F(xiàn)的 ， 只是有實(shí)際內(nèi)容的公理體系 ” 。 ? 現(xiàn)行幾何教材正是這樣做的：通過采用擴(kuò)大公理系統(tǒng)的方法 ， 而其他概念 、 性質(zhì)和定理則采用推理和直觀相結(jié)合的方法演澤出來(lái) ， 即在學(xué)生可接受的情況下 ， 充分體現(xiàn)公理化方法思想 。 ? 中學(xué)幾何課本中的公理系統(tǒng)是一個(gè)擴(kuò)大的公理系統(tǒng) ，只滿足相容性 ， 不滿足獨(dú)立性和完備性 。 167。 、意義和作用 ? 平面幾何公理七條： ? ⑴ 經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線 ， 并且只有一條直線 。 ⑵ 在所有連接兩點(diǎn)的直線中 ， 線段最短 。 ⑶ 平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn) ， 有且只有一條直線和該直線平行 。 ⑷ 兩條直線被第三條直線所截 ， 如果同位角相等 ， 那么 ， 這兩條直線平行 。 ⑸ 邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 。 ⑹ 角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 。 ⑺ 矩形的面積等于它的長(zhǎng)與寬的積 。 167。 、意義和作用 ? 立體幾何公理六條： ? ⑴ 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi) ， 那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi) 。 ⑵ 如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn) ， 那么它們有且只有一條通過該點(diǎn)的公共直線 。 ⑶ 經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn) ， 有且只有一個(gè)平面