【正文】 ；到；是，則，：令 ????? RAfabiafRAf。 ? ? ? ? ? ? ，同構(gòu)。同構(gòu)、同態(tài)就是代數(shù) 到同類代數(shù) 的特殊映射。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 ? 結(jié)構(gòu)的意義還在于它可以使數(shù)學(xué)家實現(xiàn)一種重要的 “ 思維經(jīng)濟(jì) ” ， 以往數(shù)學(xué)家為了解決一個具體的數(shù)學(xué)問題 ， 必須根據(jù)具體問題的特性 ， 為之探索適合于該問題的工具 。顯然，實數(shù)域的開區(qū)間都具有這個性質(zhì)。 即 X 中每一點至少有一鄰域。 ? ?3 , 9 , 2 7 , 8 1A ? 又如 自然數(shù)集Ｎ關(guān)于 “ ≤” 關(guān)系構(gòu)成一全序結(jié)構(gòu)。 167。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 ? ??。 167。 ? 由上述分析看出 ， 具體而言 結(jié)構(gòu)是集合中元素間滿足一定條件 （ 公理 ） 的某種關(guān)系 ， 一個抽象的集合只不過是一組元素而已 ， 無所謂結(jié)構(gòu) ， 但引進(jìn)了關(guān)系 ，就形成了結(jié)構(gòu) 。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 ? ?xezyx ?, ?yx? 由此看出記號 可以用相同的方式表達(dá)它們，對這三種不同的運算，借助于統(tǒng)一的之間的 “ 平行的 ” 運算性質(zhì)。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 首先讓我們考察三種運算： （ 1）實數(shù)的加法：實數(shù)的和按通常的方法確定。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 集合論 代數(shù)結(jié)構(gòu) 序結(jié)構(gòu) 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 布爾代數(shù)結(jié)構(gòu) 分析結(jié)構(gòu) 序拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) … … … … … 結(jié)構(gòu)層次框圖如下 : … 167。 塞爾（后三人均曾獲菲爾茲獎）等 ?? H. 嘉當(dāng) (法 , 1904 ) 布爾巴基學(xué)派 (法 , 1935 ) 迪多內(nèi) (法 , 1906 1992) 謝瓦萊 (法 , 19091984) 德爾薩特 (法 , 19031968) 韋伊 (法 , 19061998) 167。 ” 167。 那么 ， 對于整個數(shù)學(xué)而言 ， 能否采用某種統(tǒng)一觀點將其重新整理呢 ？ 167。 MMNMx? Mx ??167。 （ ii） 1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù) 。 皮亞諾 (意 , 18581932) 167。 然而 ， 盡管至今 ZFC公理系統(tǒng)尚未發(fā)現(xiàn)矛盾 ， 但這種無矛盾性還沒有得到嚴(yán)格的理論證明 。 二 、 集合論公理系統(tǒng) —— ZFC公理系統(tǒng) ZFC公理系統(tǒng)形成簡介 策梅羅 (德 , 18711953) 費蘭 克爾 (德 , 18911965) 斯克朗 (挪 , 18871963) 167。 ? 這里我們要特別指出的是 ， 若將 希爾伯特公理 體 系 中的平行公理換成相反的公理 ， 我們就得到羅氏幾何的公理體系 。 這里要指出的是 ， 希爾伯特公理 體 系 對歐幾里德 公理 體 系 的最重要的補充是順序公理中的點與線的順序公理及連續(xù)公理 。公理化方法若不與實驗方法相結(jié)合，則不會更好地解決問題；若不與其它的科學(xué)方法相結(jié)合，也不會更好地發(fā)現(xiàn)問題。 、意義和作用 167。這一切突破了人們對數(shù)學(xué)真理的傳統(tǒng)理解，將對數(shù)學(xué)真理的認(rèn)識推向了嶄新的層次。也就是說，如果一個足以包含自然數(shù)算術(shù)的公理系統(tǒng)是相容的，那么這種相容性在該系統(tǒng)內(nèi)是不可證明的。 ?1?a（ 3） 對 G中每個元素 a，在 G中都有元素 ，叫做 a的左逆元，使 167。? ? ? ? ? ? ? ?2f x g x g x g x??? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?f x g x g x g x? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ?220 0 .g x g x g x g x? ? ? ? ?若 ， 則 由 ， 知? ? ? ? ? ?2 , 3 2 0g x g x x g x? ? ? ?????因 為 由 定 理 可 知 。 方法 的邏輯特征、意義和作用 ? ?2 fx定 理 、 是 偶 函 數(shù) 。式中冪函數(shù)是?? .0xXfxxf????? 指數(shù)函數(shù)的公理化定義 對于 x和 y的一切正實數(shù)值滿足方程 167。 、意義和作用 ? 立體幾何公理六條： ? ⑴ 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi) ， 那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi) 。 、意義和作用 ? 平面幾何公理七條： ? ⑴ 經(jīng)過兩點有一條直線 ， 并且只有一條直線 。而公理化方法使邏輯思維在數(shù)學(xué)中的作用得以充分發(fā)揮，大大提高了數(shù)學(xué)教育的成效，實現(xiàn)高度的思維經(jīng)濟(jì)，這無疑對培養(yǎng)和熏陶學(xué)生的邏輯思維能力有其十分重要的作用和意義。 167。 通過突進(jìn)到公理的更深層次 …… 我們能夠獲得科學(xué)思維的更深入的洞察力 ， 并弄清我們的知識的統(tǒng)一性 。 但是 ， 獨立性要求有時可降低 。 、意義和作用 （ 3） 完備性 ? 完備性要求在一個公理系統(tǒng)中 ， 公理組的選取能保證由公理組推出該系統(tǒng)的全部真命題 ， 所以 ， 公理不能過少 ， 否則就推不出某些真命題 ，這是關(guān)于完備性的古典定義 。 、意義和作用 ? 正是由于羅氏幾何的相容性要由歐氏幾何的相容性來得證 ， 本來并無疑問的歐氏幾何相容性問題也引起了人們的懷疑 ， 迫使人們再去尋找歐氏幾何相容性的證明 ， 由于解析幾何可以看成是實數(shù)系統(tǒng)中歐氏幾何的一個解釋模型 ，于是歐氏幾何相容性證明轉(zhuǎn)化為實數(shù)系統(tǒng)的無矛盾性的證明 ， 而實數(shù)系統(tǒng)可建立在 ZFC公理化集合論的基礎(chǔ)上 ， 因此 ， 實數(shù)系統(tǒng)的無矛盾性又化歸為集合論的無矛盾性證明 ， 而后者經(jīng)過幾代數(shù)學(xué)家們的努力 ， 至今尚未得到徹底解決 。 167。 167。 ? 純形式公理化方法的特征是具有高度的形式化和抽象化，系統(tǒng)的基本概念、基本關(guān)系用抽象的符號表示，命題由符號組成的公式表示，命題的證明用一個公式串表達(dá)。 167。 167。 167。數(shù)學(xué)家能夠而且應(yīng)該探索任何可能的問題，探索任何可能的公理系統(tǒng)，只要這種研究具有一定的意義。 ? ⑶ 非歐幾何系統(tǒng)已經(jīng)不是像 《 原本 》 那樣依賴于感性直觀的實質(zhì)性公理系統(tǒng)。 從而就證明了兩種幾何是互相協(xié)調(diào)的 ， 第五公設(shè)的獨立性問題得到解決 。 ? 到了十九世紀(jì)五十年代 ， 隨著微分幾何 、 射影幾何的進(jìn)一步發(fā)展 ， 為非歐幾何尋找模型提供了條件 。 從此也就沖破了歐幾里德幾何 “ 一統(tǒng)天下 ” 的舊觀念對人們的束縛 ， 使人們意識到邏輯上無矛盾并不只限于一種幾何 。 167。 薩克利最先使用歸謬法來證明第五公設(shè)。譬如，有些基本概念的定義不夠妥當(dāng)，有些證明只不過是借助于直觀等等。 《 原本 》 中涉及的都是一般的、抽象的概念，它所探討的是這些概念和命題之間的邏輯關(guān)系，由一些給定的概念和命題推演出另一些概念和命題。所以 ， 稱 這一階段 為 公理化方法的初期階段 。 ? 因此，我們要想建立一門科學(xué)的嚴(yán)格的理論體系，只能采取如下方法：讓該門學(xué)科的某些概念以及與之有關(guān)的某些關(guān)系作為不加定義的原始概念與公設(shè)或公理，而以后的全部概念及其性質(zhì)要求均由原始概念與公設(shè)或公理經(jīng)過精確定義與邏輯推理的方法演繹出來，這種從盡可能少的一組原始概念和公設(shè)或公理出發(fā)，運用邏輯推理原則，建立科學(xué)體系的方法叫做公理化方法 。第四章 數(shù)學(xué)中的公理化方法 與結(jié)構(gòu)方法 ? 公理化方法 在近代數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著基本的作用，它的思想對各門現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的系統(tǒng)形成有著深刻的影響，而 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 則是全面整理和分析數(shù)學(xué)的一種十分合理的方法，其觀點曾導(dǎo)致一場幾乎席卷世界的數(shù)學(xué)教學(xué)改革運動，即 “ 新數(shù)學(xué) ” 運動。 167。 167。它不考慮這些概念和命題與社會具體生活的關(guān)系，也不研究這些數(shù)學(xué) “ 模型 ” 所由之產(chǎn)生的那些顯示原型。 167。他在一本名叫 《 歐幾里得無懈可擊 》 （ 1733年）的書中，從著名的 “ 薩克利四邊形 ” 出發(fā)來證明平行公設(shè)。 數(shù)學(xué)家們從薩克利的錯誤中得到了啟發(fā)，銳角假設(shè)（三角形內(nèi)角和小于 180176。 167。 ? 意大利的貝特拉米于 1869年 在其論文 《 非歐幾何的實際解釋 》 中 提出了用歐氏球面作為黎曼幾何的一個解釋 （ 歐氏球面的部分大圓被解釋成黎曼幾何的直線 ， 球面上的點被解釋成黎曼幾何的點 ） 。 ? 非歐幾何的確立促進(jìn)了公理化方法及幾何基礎(chǔ)研究的進(jìn)展 。非歐幾何的建立標(biāo)志著從實質(zhì)性公理化方法向形式公理化方法的過渡，這表明人們的認(rèn)識已從直觀空間上升到抽象空間。 ? ⑷非歐幾何為數(shù)學(xué)提供了一個不受實用性左右，只受抽象思想和邏輯思維支配的范例，提供了一個理性的智慧摒棄感覺經(jīng)驗的范例。 ? 在非歐幾何創(chuàng)立之后，以希爾伯特為代表的數(shù)學(xué)家掀起了對幾何基礎(chǔ)的研究，同時也促進(jìn)了康托、維爾斯托拉斯、戴德金等為代表的數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的實數(shù)理論的研究。 ? 希爾伯特在他的 《 幾何基礎(chǔ) 》 中 ， 放棄了歐幾里德 《 幾何原本 》 中公理的直觀顯然性 ， 把那些在對空間直觀進(jìn)行邏輯分析時無關(guān)重要的內(nèi)容加以拼棄 ， 著眼于對象之間的聯(lián)系 ， 強(qiáng)調(diào)了邏輯推理 ， 第一次提出了一個簡明 、 完整 、 邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问交硐到y(tǒng) 。 ? 其一 ， 本世紀(jì)初以希爾伯特 、 哥德爾為代表的數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家掀起了以數(shù)理邏輯為工具來研究整個數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的高潮 ， 又因數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進(jìn)一步發(fā)展的需要 ， 反過來又促使現(xiàn)代數(shù)理邏輯的發(fā)展 ，從而也就導(dǎo)致了證明論 （ 或元數(shù)學(xué) ） 、 模型論 、遞歸函數(shù)論的出現(xiàn) 。一個符號化的形式系統(tǒng)只有在解釋之后才有意義。 、意義和作用 一 、 公理化方法的邏輯特征 ? 公理化方法的作用在于從一組公理出發(fā) ，以邏輯推理為工具 ， 把某一范圍系統(tǒng)內(nèi)的真命題推演出來 ， 從而使系統(tǒng)成為演繹體系 . ? 對于所選公理 ， 我們一方面要求能從公理組推出該系統(tǒng)內(nèi)的全部真命題 ， 另一方面又要求從公理組不能推出邏輯矛盾 ， 再就是希望所選公理個數(shù)最少 . ? 這三個方面構(gòu)成了公理化方法的邏輯要求 ，此也是判別一個公理系統(tǒng)是否科學(xué)合理的準(zhǔn)則 。 、意義和作用 AAA?A?A?A 這樣所得的集合與關(guān)系的全體叫做解釋域，公理系 T的每一命題 可以用自然的方法對應(yīng)于解釋域中相應(yīng)的命題 。 167。 ? 現(xiàn)代數(shù)學(xué)常借助模型的同構(gòu)給公理系的完備性下定義 ， 即如果公理系 T的所有模型或解釋都彼此同構(gòu) ， 就稱這個公理系是完備的 。 現(xiàn)行中學(xué)幾何體系就放棄了這一要求 。 特別是 ， 得力于公理化方法 ， 數(shù)學(xué)似乎就被請來在一切學(xué)問中起領(lǐng)導(dǎo)的作用 ” 。 、意義和作用 ? 完善和創(chuàng)新理論 ? 公理化方法的應(yīng)用要求一門科學(xué)的充分成熟：積累了一定數(shù)量的基礎(chǔ)知識，進(jìn)行了一定的系統(tǒng)分析和研究，對該門學(xué)科知識結(jié)構(gòu)有了較深入的理解。此外，由于公理化方法可以揭示一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)和分支的內(nèi)在規(guī)律性，從而使它系統(tǒng)化，這也無疑有利于人們學(xué)習(xí)和掌握。 ⑵ 在所有連接兩點的直線中 ， 線段最短 。 ⑵ 如果兩個平面有一個公共點 ， 那么它們有且只有一條通過該點的公共直線 。 方法 的邏輯特征、意義和作用 ? ? ? ? ? ?yxfyfxf ???的唯一不等于零的連續(xù)函數(shù) ? ? ? ?? ? ? ?為正常數(shù)。? ? ? ? ? ? ? ?? ?.24 xgxgxfxg ???、定理? ?是奇函數(shù)。從 而 定 理 也 獲 證 。 方法 的邏輯特征、意義和作用 四、公理化方法的局限性 每一個數(shù)學(xué)分支都要按公理化方法的三條標(biāo)準(zhǔn)去實現(xiàn)它的公理化是不可能的。 這就是所謂哥德爾第二不完全性定理。 167。 方法 的邏輯特征、意義和作用 公理化方法一般地講只能運用于一個數(shù)學(xué)分支發(fā)展到一定的成熟階段，否則就有可能對數(shù)學(xué)的發(fā)展起束縛作用。 所以對公理化方法的作用和意義估價要恰當(dāng)。 這部分的詳細(xì)內(nèi)容可參見傅秀章先生著《 幾何基礎(chǔ) 》 （北師大出版社）。 這也是希爾伯特公理 體 系 的一個美妙的特點 。 ZFC公理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖 集合論公理系統(tǒng) 基本公理 基本關(guān)系 基本對象 “集”及其“元素” “集 ” 及它的 “ 元素 ”的隸屬關(guān)系 “ ” ?外延公理 、 空集公理對偶公理 、 并集公理子集公理 、 冪集公理無窮公理 、 正則公理代換公理 、 選擇公理 167。