【正文】 第四章 數(shù)學(xué)中的公理化方法 與結(jié)構(gòu)方法 ? 公理化方法 在近代數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著基本的作用，它的思想對(duì)各門(mén)現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的系統(tǒng)形成有著深刻的影響，而 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 則是全面整理和分析數(shù)學(xué)的一種十分合理的方法，其觀點(diǎn)曾導(dǎo)致一場(chǎng)幾乎席卷世界的數(shù)學(xué)教學(xué)改革運(yùn)動(dòng)，即 “ 新數(shù)學(xué) ” 運(yùn)動(dòng)。 ? 兩種方法均是用來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)理論體系的，一個(gè)是局部，一個(gè)是整體。 ? 本章將概括介紹這兩種思想方法 ， 從中領(lǐng)略數(shù)學(xué)理論構(gòu)建的一般思想方法 。 167。 ? 公理化方法的基本思想 ? 數(shù)學(xué)是撇開(kāi)現(xiàn)實(shí)世界的具體內(nèi)容來(lái)研究其量性特征形式與關(guān)系的。其結(jié)果只有經(jīng)過(guò)證明才可信，而數(shù)學(xué)證明采用的是邏輯推理方法，根據(jù)邏輯推理的規(guī)則，每步推理都要有個(gè)大前提，我們不難想象到，最初的那個(gè)大前提是不可能再由另外的大前提導(dǎo)出的，既是說(shuō)，我們的逆推過(guò)程總有個(gè) “ 盡頭 ” ，同樣，概念需要定義，新概念由前此概念定義，必也出現(xiàn)這樣的情況最原始的概念無(wú)法定義。 167。 ? 因此，我們要想建立一門(mén)科學(xué)的嚴(yán)格的理論體系，只能采取如下方法：讓該門(mén)學(xué)科的某些概念以及與之有關(guān)的某些關(guān)系作為不加定義的原始概念與公設(shè)或公理，而以后的全部概念及其性質(zhì)要求均由原始概念與公設(shè)或公理經(jīng)過(guò)精確定義與邏輯推理的方法演繹出來(lái)，這種從盡可能少的一組原始概念和公設(shè)或公理出發(fā)，運(yùn)用邏輯推理原則，建立科學(xué)體系的方法叫做公理化方法 。 167。 ? 公理化方法的歷史考察 ? 眾所周知 ， 在長(zhǎng)達(dá)一千多年的光輝燦爛的希臘文化中 ，哲學(xué) 、 邏輯學(xué) 、 幾何學(xué)得到了很大的發(fā)展 ， 特別是哲學(xué)家和邏輯學(xué)家亞里斯多德 ， 總結(jié)了前人所發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)立的邏輯知識(shí) ， 以完全三段論作為出發(fā)點(diǎn) ， 用演繹的方法推導(dǎo)出其余十九個(gè)不同格式的所有三段論 ， 創(chuàng)立了人類(lèi)歷史上第一個(gè)公理化方法 ， 即邏輯公理化方法 ， 從而為數(shù)學(xué)公理化方法創(chuàng)造了條件 。 亞里斯多德的思想方法深深地影響了公元前 3世紀(jì)的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德，后者把形式邏輯的公理演繹方法應(yīng)用于幾何學(xué)，從而完成了數(shù)學(xué)史上重要著作 《 幾何原本 》 。 167。 ? 歐幾里德 《 幾何原本 》 是有史以來(lái)用公理化思想方法建立起來(lái)的第一門(mén)演繹數(shù)學(xué)，而且成為以后很長(zhǎng)時(shí)期嚴(yán)格證明的典范。 《 幾何原本 》 在數(shù)學(xué)發(fā)展史上樹(shù)立了一座不朽的豐碑，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起了巨大的作用，基本上完善了初等幾何體系。 當(dāng)然，現(xiàn)在看來(lái)由于受當(dāng)時(shí)整個(gè)科學(xué)水平的限制，這種公理化方法還是很原始的 ，其公理體系還是不完備的 。所以 ， 稱(chēng) 這一階段 為 公理化方法的初期階段 。 167。 ? 歐幾里德 《 幾何原本 》 孕育了一種理性精神，成為展示人類(lèi)智慧和認(rèn)識(shí)能力的一個(gè)光輝典范。 ? 歐幾里德的 《 原本 》 所表述的數(shù)學(xué)觀是： ? ⑴幾何理論是封閉的演繹體系。 《 原本 》 成功地將零散的數(shù)學(xué)理論編為一個(gè)以基本假設(shè)到最復(fù)雜結(jié)論的整體結(jié)構(gòu)。從邏輯結(jié)構(gòu)來(lái)看， 《 原本 》 是一個(gè)最早形成的演繹體系，除所用的邏輯規(guī)則外，具備了其理論推導(dǎo)的所有前提，從理論發(fā)展形勢(shì)來(lái)看是一個(gè)封閉的理論演繹體系。 167。 ? ⑵ 抽象化的內(nèi)容。 《 原本 》 中涉及的都是一般的、抽象的概念，它所探討的是這些概念和命題之間的邏輯關(guān)系，由一些給定的概念和命題推演出另一些概念和命題。它不考慮這些概念和命題與社會(huì)具體生活的關(guān)系，也不研究這些數(shù)學(xué) “ 模型 ” 所由之產(chǎn)生的那些顯示原型。如在 《 原本 》 中研究了 “ 所有的 ” 矩形（即抽象的矩形概念）的性質(zhì)，但不研究任何一個(gè)具體的矩形的實(shí)物大?。?《 原本 》 中研究了自然數(shù)的若干性質(zhì)，但卻一點(diǎn)也不涉及具體的自然數(shù)的計(jì)算及應(yīng)用。 167。 ? ⑶ 公理化方法。 《 原本 》 的基本結(jié)構(gòu)是由少數(shù)不定義的概念（如點(diǎn)、線、面等）和少量不證自明的命題（五個(gè)公設(shè)和五個(gè)公理）出發(fā)，定義出該體系中的所有其他概念，推演出所有其他的命題（定理）。 《 原本 》就是用這種公理化方法建立起了幾何學(xué)的邏輯體系，從而成為其后所有數(shù)學(xué)的范本。 ? 在公理化方法的初期階段，它的 “ 嚴(yán)格性 ” 也只是相對(duì)當(dāng)時(shí)的情況而言的。譬如，有些基本概念的定義不夠妥當(dāng)，有些證明只不過(guò)是借助于直觀等等。 167。 ? 特別是 《 原本 》 中 第五公設(shè)的陳述從字面上看很不自明，所以人們從兩個(gè)方面對(duì)它產(chǎn)生了懷疑：第一，第五公設(shè)是否正確地反映了空間的性質(zhì)；其二、它本身很可能是一個(gè)定理。 ? 對(duì)于這兩個(gè)問(wèn)題，人們從以下幾個(gè)方面進(jìn)行了探討：一是它能否從其他公理推出；二是換一個(gè)與它等價(jià)而本身卻又是很自明的公設(shè)；三是換一個(gè)與它相反的公設(shè)。 167。 通過(guò)很多第一流的數(shù)學(xué)家近兩千年的大量工作，第一方案尚未成功。到了十八世紀(jì)中葉，意大利數(shù)學(xué)家薩克利吸取了前人正面直接證明而失敗的教訓(xùn)，反其道而行之，改用反證法來(lái)證明（將第五公設(shè)換成它的否定，然后推出矛盾，那么就可以證明第五公設(shè)就是一個(gè)定理，即不獨(dú)立于其它公理），并于 1733年公布了他的證明，但隨后不久數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)他的證明有問(wèn)題。 167。 薩克利最先使用歸謬法來(lái)證明第五公設(shè)。他在一本名叫 《 歐幾里得無(wú)懈可擊 》 （ 1733年）的書(shū)中，從著名的 “ 薩克利四邊形 ” 出發(fā)來(lái)證明平行公設(shè)。 A BC D 薩克利四邊形是一個(gè)等腰雙直角四邊形，如圖，其中 且為直角。 ,A C B D A B? ? ? ? 薩克利指出，頂角具有三種可能性并分別將它們命名為： 直角假設(shè)： 和 是直角； C? D? 銳角假設(shè)： 和 是銳角； C? D? 鈍角假設(shè)： 和 是鈍角； C? D?可以證明，直角假設(shè)與第五公設(shè)等價(jià)。薩克利的計(jì)劃是證明后兩個(gè)假設(shè)可以導(dǎo)致矛盾，根據(jù)歸謬法就只剩下第一個(gè)假設(shè)成立。這樣就證明了第五公設(shè)。 薩克利在假定直線為無(wú)限長(zhǎng)的情況下，首先由鈍角假設(shè)推出了矛盾，然后考慮銳角假設(shè)，在這一過(guò)程中他獲得了一系列新奇有趣的結(jié)果，如三角形三內(nèi)角之和小于兩直角；過(guò)給定直線外一給定點(diǎn)，有無(wú)數(shù)多條直線不與該直線相交，等等。雖然這些結(jié)果實(shí)際上并不包含任何矛盾，但薩克利認(rèn)為它們太不合情理，便以為自己導(dǎo)出了矛盾而判定銳角假設(shè)是不真實(shí)的。 167。 數(shù)學(xué)家們從薩克利的錯(cuò)誤中得到了啟發(fā)，銳角假設(shè)（三角形內(nèi)角和小于 180176。 ）尚未導(dǎo)致矛盾，因而它與其他公理可能是協(xié)調(diào)的。 雖然薩克利的證明是錯(cuò)誤的，但他提出的反證法及其所得的結(jié)果卻起了他始終所未料到的作用，即兩種幾何并存的可能性。也就是說(shuō)，除了歐幾里德幾何外，還有非歐幾何。 167。 ? 一直到十九世紀(jì) ， 由高斯 、 羅巴切夫斯基 、包耶等許多杰出的數(shù)學(xué)家作了大量的推導(dǎo)工作都沒(méi)有發(fā)現(xiàn)矛盾 ， 于是采用銳角假設(shè) （ 三角形內(nèi)角和小于 180176。 ） 的羅巴切夫斯基幾何系統(tǒng)就產(chǎn)生了 。 從此也就沖破了歐幾里德幾何 “ 一統(tǒng)天下 ” 的舊觀念對(duì)人們的束縛 ， 使人們意識(shí)到邏輯上無(wú)矛盾并不只限于一種幾何 。 167。 ? 在 1854年又發(fā)現(xiàn)了鈍角假設(shè) （ 三角形內(nèi)角和大于 180176。 ） 也成立的黎曼幾何系統(tǒng) ， 后來(lái)人們稱(chēng)這兩種幾何為非歐幾何 。 ? 非歐幾何產(chǎn)生后 ， 還有兩方面的問(wèn)題有待進(jìn)一步解決 。 從邏輯方面看 ， 這種邏輯無(wú)矛盾性還有待于從理論上得到嚴(yán)格證明；從實(shí)踐方面看 ，非歐幾何的客觀原型是什么 ？ 人們還不清楚 。 也就是說(shuō) ， 非歐幾何到底反映了哪種空間形式也沒(méi)有得到具體的解釋 。 167。 ? 到了十九世紀(jì)五十年代 ， 隨著微分幾何 、 射影幾何的進(jìn)一步發(fā)展 ， 為非歐幾何尋找模型提供了條件 。 ? 意大利的貝特拉米于 1869年 在其論文 《 非歐幾何的實(shí)際解釋 》 中 提出了用歐氏球面作為黎曼幾何的一個(gè)解釋 （ 歐氏球面的部分大圓被解釋成黎曼幾何的直線 ， 球面上的點(diǎn)被解釋成黎曼幾何的點(diǎn) ） 。 167。 ? 德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因于 1870年在歐氏平面上用不包括圓周的圓內(nèi)部構(gòu)造了一個(gè)羅氏幾何模型 ，人們稱(chēng)它為羅氏平面 ， 在此平面上給羅氏幾何一個(gè)解釋 ， 即把歐氏幾何的直線解釋成羅氏平面上的直線 ， 歐氏幾何的點(diǎn)解釋成羅氏平面上的點(diǎn) 。 ? 由于非歐幾何在歐氏幾何中找到了它的模型 ，因此非歐幾何的無(wú)矛盾性就轉(zhuǎn)化為歐氏幾何的無(wú)矛盾性 ， 也就是說(shuō)倘若歐氏幾何無(wú)矛盾 ， 則非歐幾何也無(wú)矛盾 。 167。 ? 隨后不僅人們找到了非歐幾何在天文學(xué)與相對(duì)論中的解釋和應(yīng)用 ， 而且相繼發(fā)現(xiàn)歐氏幾何的每條公理在羅氏空間的極限球上得以全部成立 。于是 ， 反過(guò)來(lái)歐氏幾何的相容性可借助非歐幾何協(xié)調(diào)性給以保證 。 從而就證明了兩種幾何是互相協(xié)調(diào)的 ， 第五公設(shè)的獨(dú)立性問(wèn)題得到解決 。 ? 非歐幾何的確立促進(jìn)了公理化方法及幾何基礎(chǔ)研究的進(jìn)展 。 167。 ? 在創(chuàng)立非歐幾何的過(guò)程中，公理化方法得到了如下發(fā)展： ? ⑴非歐幾何誕生的第一步就在于認(rèn)識(shí)到：平行公設(shè)不能在其他九條公設(shè)和公理的基礎(chǔ)上證明。它是獨(dú)立的命題，所以可以采用一個(gè)與之相反的公理并發(fā)展成為全新的幾何。這就是說(shuō)，在一個(gè)公理系統(tǒng)中，我們可以把一個(gè)具有獨(dú)立性的公理?yè)Q成另外的公理而得到一個(gè)全新的公理系統(tǒng)，這種方法是現(xiàn)代的一個(gè)重要的公理化方法。 ? ⑵非歐幾何的創(chuàng)立深刻地啟示人們，可以證明 “ 在一個(gè)給定的公理系統(tǒng)中某些命題不可能證明 ” 。 167。 ? ⑶ 非歐幾何系統(tǒng)已經(jīng)不是像 《 原本 》 那樣依賴(lài)于感性直觀的實(shí)質(zhì)性公理系統(tǒng)。非歐幾何的建立標(biāo)志著從實(shí)質(zhì)性公理化方法向形式公理化方法的過(guò)渡，這表明人們的認(rèn)識(shí)已從直觀空間上升到抽象空間。 ? ⑷非歐幾何的創(chuàng)立，為公理化方法可以推廣和建立新的理論提供了依據(jù)，大大提高了公理化方法。 ? 非歐幾何的創(chuàng)立，還產(chǎn)生了如下重大影響： ? ⑴非歐幾何的誕生標(biāo)志著歐氏幾何統(tǒng)治的終結(jié)，歐氏幾何統(tǒng)治的終結(jié)則標(biāo)志著所有絕對(duì)真理的終結(jié)。 167。 ? ⑵ 非歐幾何的創(chuàng)立，使人們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)空間與物理空間之間有著本質(zhì)的區(qū)別。數(shù)學(xué)確實(shí)是人的思想產(chǎn)物，而不是獨(dú)立于人的永恒世界的東西。 ? ⑶非歐幾何的創(chuàng)立使數(shù)學(xué)喪失了真理性，但卻使數(shù)學(xué)獲得了自由。數(shù)學(xué)家能夠而且應(yīng)該探索任何可能的問(wèn)題，探索任何可能的公理系統(tǒng)，只要這種研究具有一定的意義。 ? ⑷非歐幾何為數(shù)學(xué)提供了一個(gè)不受實(shí)用性左右，只受抽象思想和邏輯思維支配的范例，提供了一個(gè)理性的智慧摒棄感覺(jué)經(jīng)驗(yàn)的范例。 167。 ? 當(dāng)然，非歐幾何并非毫無(wú)實(shí)用性。例如， 1916年愛(ài)因斯坦發(fā)現(xiàn)的廣義相對(duì)論的研究中，必須用一種非歐幾何來(lái)描述這樣的物理空間，這種非歐幾何便是黎曼幾何。又如，由 1947年對(duì)視空間（從正常的有雙目視覺(jué)的人心理上觀察到的空間）所作的研究得出結(jié)論：這樣的空間最好用羅巴切夫斯基非歐幾何來(lái)描述。這些事實(shí)說(shuō)明：數(shù)學(xué)對(duì)人類(lèi)文明發(fā)展的作用是何等重大。 非歐幾何的創(chuàng)立，標(biāo)志著公理化方法進(jìn)入到其 完善階段。 167。 ? 在非歐幾何創(chuàng)立之后，以希爾伯特為代表的數(shù)學(xué)家掀起了對(duì)幾何基礎(chǔ)的研究，同時(shí)也促進(jìn)了康托、維爾斯托拉斯、戴德金等為代表的數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的實(shí)數(shù)理論的研究。從而導(dǎo)致了“ 分析算術(shù)化 ” 方向的出現(xiàn)，使數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)立足于實(shí)數(shù)理論之上，取代了直觀的幾何說(shuō)明。由于對(duì)實(shí)數(shù)理論的研究，又推動(dòng)了代數(shù)的重大變化，即由代數(shù)方程的求解導(dǎo)致了群論的產(chǎn)生，從而使代數(shù)的研究對(duì)象發(fā)生了質(zhì)的變化，逐漸變成一門(mén)研究各種代數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)形式結(jié)構(gòu)的科學(xué)。 167。 ? 由于形式公理化方法在分析、代數(shù)領(lǐng)域中取得了成功，反過(guò)來(lái)又將幾何公理化方法的研究推向一個(gè)新的階段，即 形式公理化階段 。 希爾伯特在 1899年出版的名著 《 幾何基礎(chǔ) 》 就是這個(gè)時(shí)期研究成果的突出代表。 ? 所謂形式公理化方法，是指在一個(gè)公理系統(tǒng)中，基本概念規(guī)定為不加定義的原始概念，它的涵義、特征和范圍不是先于公理而確定，而是由公理組隱含確定。 167。 ? 希爾伯特在他的 《 幾何基礎(chǔ) 》 中 ， 放棄了歐幾里德 《 幾何原本 》 中公理的直觀顯然性 ， 把那些在對(duì)空間直觀進(jìn)行邏輯分析時(shí)無(wú)關(guān)重要的內(nèi)容加以拼棄 ， 著眼于對(duì)象之間的聯(lián)系 ， 強(qiáng)調(diào)了邏輯推理 ， 第一次提出了一個(gè)簡(jiǎn)明 、 完整 、